Last Updated on 2025-07-31 by BallPen
한 주기에 걸친 사인 제곱 함수의 적분을 계산해 봐요.
사인 제곱 함수 적분 방법을 알아 봐요. 즉 다음의 적분을 계산해 보자는 거에요.
\begin{align}
\tag{1}
\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta d\theta
\end{align}
이 계산을 위해서는 코사인 두배각 공식을 이용하는게 좋아요. 코사인 두배각 공식은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2}
\cos2\theta = 1- 2 \sin^2 \theta
\end{align}
위 (2)식을 \(\sin^2 \theta\)에 대해 풀면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{3}
\sin^2 \theta = {{1}\over{2}}\big(1-\cos2\theta\big)
\end{align}
이제 (3)식을 (1)식에 대입하고 적분합니다.
\begin{align}
\require{cancel}
\tag{4}
\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta d\theta &= {1 \over 2} \int_0^{2\pi} (1 – \cos 2\theta)d\theta\\[5pt]
&={1 \over 2} \Big[ \theta – {1 \over 2} \sin 2\theta \Big]_0^{2\pi}\\[5pt]
&={1 \over 2} \Big[2\pi – {1 \over 2} \sin 4\pi – 0 + 0 \Big]\\[5pt]
&={1 \over {\cancel 2}} {\cancel 2}\pi\\[5pt]
&=\pi
\end{align}
결국 사인 제곱 함수 적분 결과는 다음과 같습니다.
\begin{align}
\tag{5}
\int_0^{2 \pi} \sin^2 \theta d\theta = \pi
\end{align}
