Last Updated on 2025-08-28 by BallPen
등비수열의 일반항을 유도해 봐요.
등비수열의 일반항 개념을 알아보고, 그 일반항을 직접 유도해 보겠습니다.
등비수열(Geometric Sequence)이란 수열의 인접한 두 항 사이의 비율(ratio)이 일정한 값을 갖는 수의 순서있는 나열을 뜻해요. 이때 n항이 어떤 값을 가질지 알려주는 공식을 일반항이라고 합니다.
그래서 일반항을 알고 있으면 우리가 구하고자 하는 항의 값을 손쉽게 구할 수 있어요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 등비수열의 일반항
아래는 첫째항이 a_1, 공비가 r인 등비수열이라고 생각해 봐요.
\tag{1-1}
\{ a\} = \{{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \cdots} \}그러면 위 수열은 다음의 관계를 만족합니다.
\tag{1-2}
\begin{aligned}
a_2 &= a_1 r\\
a_3 &= a_2 r\\
a_4 &= a_3 r\\
&~~\vdots \\
a_{n-1} &= a_{n-2} r\\
a_n &= a_{n-1} r
\end{aligned}이때 우리가 구하고자 하는 것은 위 식에서 a_n을 구하고 싶은 거에요. 그래서 위 식의 좌변끼리 곱하고 우변끼리 곱해 보세요.
그러면 다음과 같아요.
\tag{1-3}
\begin{aligned}
&{\cancel a_2} {\cancel a_3} {\cancel a_4} \cdots {\cancel a_{n-1}} a_n \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~= a_1 r {\cancel a_2}r {\cancel a_3}r \cdots {\cancel a_{n-2}} r {\cancel a_{n-1}}r
\end{aligned}좌변과 우변이 서로 약분이 되는데요. 결국 남는 항들만 정리하면 우리가 구하고자 했던 a_n을 다음과 같이 구할 수 있어요.
\tag{1-4}
a_n = a_1 r^{n-1}바로 윗 식이 등비수열의 일반항입니다. 여기서 주의할 것은 r^n이 아닌 r^{n-1}이라는 거에요.
2. 일반항으로 임의 항의 값 구하기
등비수열의 일반항을 이용하면 우리가 원하는 항의 값을 쉽게 구할 수 있어요.
예를 들어 n=7인 항의 값은 (1-4)식의 n에 7를 대입하고, 수열의 첫째항 a_1과 공비 r을 대입하면 됩니다.
만일 첫째항 a_1이 3이고, 공비 r이 2라면 그 수열의 n=7항의 값은 다음과 같아요.
\tag{2-1}
a_{7} = 3 \times 2^{6} = 192흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
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