운동량(momentum)

Last Updated on 2023-09-18 by BallPen

점입자와 입자계에서 선운동량과 각운동량은 각각 어떻게 기술될까요?

운동량(momentum)이란 물체의 운동상태를 나타내는 벡터량입니다. 운동량에는 병진운동에서의 선운동량과 회전운동에서의 각운동량으로 구분되는데요.

이 운동량은 특별한 조건에서 그 크기와 방향이 보존되기 때문에 운동의 특성을 파악하는데 아주 중요하게 활용됩니다.

이번 글에서는 입자 하나인 점 입자와 입자들이 여러개 모여 있는 입자계에서 운동량과 각운동량이 각각 어떻게 표현되고 기술되는지 이야기하겠습니다.

궤도각운동량과 스핀각운동량까지 이해할 수 있는 상당히 재미있는 주제에요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 점 입자의 운동량 표현

질량 m인 하나의 점 입자가 있다고 생각해봐요. 이 입자가 병진운동, 즉 옆으로 이동하는 운동을 하면 선운동량이 정의되고, 이 입자가 어느 중심축을 기준으로 공전하면 각운동량을 정의할 수 있습니다.

각각은 다음과 같아요.

1-1. 선운동량

선운동량은 아래의 뉴턴 운동 제2법칙에서 출발합니다. “질량 m을 갖는 물체에 알짜힘 \vec F가 작용하면 가속도 \vec a가 나타난다”는 법칙이죠.

\tag{1-1}
\vec F=m \vec a

이 식에서 가속도를 속도의 시간변화율로 표현하면 다음과 같아요. 이때 질량 m은 상수라고 가정하겠습니다. 그러면 미분기호 안으로 질량이 들어갈 수 있어요.

\tag{1-2}
\begin{align}
\vec F &= m \vec a \\[7pt]
&= m {d \vec v \over dt}\\[7pt]
&={{d(m \vec v)}\over{dt}} 
\end{align}

(1-2)식의 마지막 줄에서 분자에 있는 질량과 속도의 곱 m \vec v를 바로 선운동량 \vec p라고 정의합니다.

\tag{1-3}
\vec p = m \vec v

(1-3)식의 관계를 (1-2)식에 대입하면 다음의 (1-4)식으로 표현할 수 있습니다.

\tag{1-4}
\vec F = {{d \vec p}\over {dt}}

이때 좌변의 알짜힘 \vec F가 만일 0이면, 우변도 0이 되어야 합니다. 이를 충족하기 위해서는 미분의 대상이 되는 선운동량 \vec p가 상수가 되어야 하죠.

따라서 외력 \vec F가 0이면 (1-4)식에 주어진 선운동량 \vec p는 상수로써 시간에 따라 변하지 않아야 합니다. 이것을 우리는 선운동량 보존 법칙이라고 불러요.

1-2. 각운동량

이번에는 회전하는 물체의 운동상태를 의미하는 각운동량을 알아보겠습니다.

아래 [그림 1]은 원점 O를 중심으로 질량 m인 물체가 회전할 때의 어느 순간을 나타냅니다.

더 쉽게 말씀드리면 원점으로부터 물체가 질량을 무시할 수 있는 막대로 연결되어 있는데, 이 물체가 원점을 기준으로 회전하고 있는거에요.

이때 원점에서 물체가 있는 곳까지의 위치벡터를 \vec r이라고 할께요. 그리고 물체가 속도 \vec v로 회전하고 있다면 그 물체가 갖는 선운동량은 \vec p = m \vec v가 됩니다.

이러한 상황에서 물체의 각운동량 \vec L은 물체의 위치벡터 \vec r과 물체가 갖는 선운동량 \vec p의 벡터곱으로 정의됩니다.

\tag{1-5}
\vec L = \vec r \times \vec p

(1-4)식에 따르면 선운동량의 시간 미분은 외력 \vec F로 정의되었잖아요. 그래서 선운동량이 시간에 따라 변하면 외력이 존재한다는 의미이고, 선운동량이 시간에 무관하게 일정하면 외력이 0임을 의미했어요.

이와 유사하게 만일 (1-5)식으로 정의된 각운동량을 시간으로 미분하면 어떤 의미를 찾을 수 있을까요? 한번 해보겠습니다

\tag{1-6}
\begin{align}
{{d \vec L}\over{dt}} &= {{d}\over{dt}}(\vec r \times \vec p)\\[7pt]
&= \Big({{d \vec r}\over{dt}} \times \vec p\Big) + \Big(\vec r \times {{d \vec p}\over{dt}} \Big)\\[7pt]
&={\cancel {\color{blue}\Big(\vec v \times m \vec v\Big)}} + \Big( \vec r \times{\Big( \cancel{\color{red}{dm \over dt}} \times \vec v + m \times {{d \vec v}\over{dt}} \Big)}\Big)\\[7pt]
&=\vec r \times m \vec a\\[7pt]
&=\vec r \times \vec F\\[7pt]
&= \vec \tau
\end{align}

그 결과 각운동량 \vec L을 시간으로 미분하면 토크 \vec \tau가 나오는 것을 알 수 있어요.

한편 위 수식에서 파랑색 부분이 0이 되는 이유는 방향이 동일한 두 속도 벡터를 외적했기 때문이에요. 그리고 질량을 시간으로 미분한 빨강색 부분이 0이 되는 이유는 질량이 일정하게 유지된다고 가정했기 때문입니다.

이때 토크가 무엇인지 직관적으로 이해하고 싶으면 (1-4)식과 (1-6)식을 서로 대응해보면 쉬워요.

\tag{1-7}
\begin{align}
&\vec F = {{d \vec p}\over{dt}}\\[10pt]
&\vec \tau = {{d \vec L}\over{dt}} 
\end{align}

그 결과 힘 \vec F가 작용하면 선운동량 \vec p가 변하며, 토크 \vec \tau가 작용하면 각운동량 \vec L이 변함을 알 수 있어요.

결국 병진운동에서의 힘은 회전운동에서 토크에 대응함을 알 수 있습니다.

회전운동의 경우에도 물체에 작용하는 토크가 0이면 각운동량은 상수로써 시간에 따라 변하지 않아요. 바로 이것을 각운동량보존법칙이라고 합니다.

2. 입자계의 운동량 표현

입자계는 입자들의 상대적 위치가 변하지 않는 입자들의 집합이에요. 그러므로 입자계는 하나의 점이 아니라 우리가 주변에서 볼 수 있는 물체와 같이 입자들이 서로 연결되어 부피를 갖는 것으로 이해하시면 좋습니다.

그럼 이제부터 이러한 입자계가 있을 때 (1-3)식의 선운동량과 (1-5)식의 각운동량은 어떻게 기술될까요?

2-1. 선운동량

입자들의 집합, 즉 입자들이 서로 연결된 상태로 병진운동 할 때 그 입자계의 전체 선운동량 \vec p는 각 입자가 갖는 운동량 \vec p_i을 단순히 벡터 합하면 됩니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-1}
\begin{align}
\vec p &= \sum \vec p _i \\
&=\sum m_i \vec v _i
\end{align}

2-2. 각운동량

그렇다면 입자계가 어느 기준축을 중심으로 공전하고 있을 때 입자계 전체의 각운동량은 어떻게 기술될까요?

네 맞습니다. 병진운동에서 개별 입자의 선운동량을 벡터 합하여 전체 선운동량을 구했듯이, 회전운동에서는 개별입자가 갖는 각운동량 \vec L_i을 벡터합하면 전체 각운동량 \vec L을 구할 수 있습니다.

이를 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\tag{2-2}
\begin{align}
\vec L &=  \sum \vec L_i\\[10pt]
&= \sum(\vec r_i \times m_i \vec v_i)
\end{align}

그런데 여기서 조금만 더 물리적 의미를 도출하기 위해 (2-2)식의 형태를 조금 다른 형태로 바꾸어 볼께요. 그러면 입자계의 각운동량이 궤도각운동량과 스핀각운동량으로 구분된다는 것을 알게 되요.

[궤도각운동량과 스핀각운동량]

아래 [그림 2]는 입자계가 z축을 중심으로 공전하고 있는 모습을 나타내고 있어요. 그림에서는 마치 덩어리로 그려져 있는데요. 수많은 입자들이 질량을 무시할 수 있는 막대로 서로 연결되어 있다고 생각하면 됩니다.

입자계를 구성하는 i번째 입자의 질량을 m_i라 하고, 입자계의 질량중심을 cm이라고 하겠습니다.

그림과 같이 어느 순간에 기준점으로부터 입자 m_i까지의 위치벡터를 \vec r_i, 질량중심 cm을 향하는 위치벡터를 \vec r_{cm}, 질량중심에서 입자 m_i를 향하는 위치벡터를 \bar{r_i}라고 하겠습니다.

그러면 각 위치벡터 사이에는 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{2-3}
\vec r_i = \vec r_{cm} + \bar{r_i}

그런데 입자계가 회전하고 있으므로 (2-3)의 시간 변화율, 즉 속도를 구하면 다음과 같아요.

\tag{2-4}
\begin{align}
&{{d{\vec r_i}}\over{dt}} = {{d{\vec r_{cm}}}\over{dt}} + {{d \bar{ r_i}}\over{dt}}\\[10pt]
&\vec v_i =  \vec v_{cm} + \bar v_i
\end{align}

여기서 \vec v_i는 i번째 입자의 속도이고, \vec v_{cm}은 질량중심점의 속도이며, \bar{v_i}는 질량중심점에서 바라본 입자 i의 상대속도입니다.

그러면 (2-3)식과 (2-4)식을 (2-2)식에 대입하고 정리해 볼께요.

\tag{2-5}
\begin{align}
\vec L &= \sum (\vec r_i \times m_i \vec v_i)\\[10pt]
&=\sum\Big[(\vec r_{cm } + \bar r_i ) \times m_i (\vec v_{cm} + \bar v_i) \Big]\\[10pt]
&=\Big[\vec r_{cm} \times \Big (\sum m_i \Big) \vec v_{cm} \Big] + \color{red}\Big[\vec r_{cm} \times \sum m_i \bar v_i \Big]\\[10pt]
&~~~~~~~~~~~~~~~~+\color{red}\Big[ \sum m_i \bar r_i \times \vec v_{cm} \Big] \color{black}+ \Big[ \sum\Big( \bar r_i \times m_i \bar v_i\Big)\Big]
\end{align}

위 식과 같이 입자계가 갖는 총 운동량은 4개의 항으로 구분되는데요. 그 중에서 빨강색으로 표시된 두 항은 0이 됩니다. 이에 대한 증명은 제일 아래쪽에 따로 설명드리겠습니다.

일단 빨강색 항이 두개 사라지고, \sum{m_i}가 입자계의 전체 질량이므로 이를 m으로 치환하여 표기하다면 입자계의 총 각운동량은 다음과 같이 표현되요.

\tag{2-6}
\begin{align}
\vec L = \big( \vec r_{cm} \times m \vec v_{cm} \big) + \sum \big( \bar r_i \times m_i \bar v_i \big)
\end{align}

이 식의 우변에서 첫번째 항은 질량중심으로 표현되는 각운동량인데요. 입자의 전체 질량이 질량중심점에 모여 있다고 했을 때 회전 축을 중심으로 그 질량중심점이 크게 공전하듯이 궤도운동을 함으로써 갖게 되는 각운동량입니다.

이와 같이 공전하는 궤도운동과 관련된 각운동량이라는 의미에서 이 항을 궤도각운동량(orbital angular momentum)이라고 불러요.

두번째 항은 질량중심에서 각 입자들을 보았을 때 입자들이 갖는 각운동량의 합을 말합니다. 이 항이 존재하기 위해서는 질량중심점에서 각 입자를 보았을 때 상대속도 \bar v가 존재해야 해요.

그러기 위해서는 입자계가 질량중심점을 기준으로 자전하듯이 회전해야 하죠.

만일 질량중심점을 기준으로 입자들이 자전하지 않으면 (2-6)식의 두번째 항은 0이 됩니다. 왜냐면 질량중심점에서 바라본 입자의 상대속도 \bar v_i가 0이 되기 때문이에요.

이와 같이 질량중심을 기준으로 입자계의 자전(spin)에 의한 각운동량이라는 의미에서 이 항을 스핀각운동량(spin angular momentum)이라고 부릅니다.

따라서 입자계가 갖는 총 각운동량은 질량중심의 공전에 의한 궤도각운동량과 입자계의 자전에 의한 스핀각운동량의 합으로 주어진다는 것을 알 수 있어요.

[증명]

(2-5)식에서 \sum m_i \bar v_i는 0인데요. 이를 증명하기 전에 우선 질량중심의 위치벡터와 이를 시간으로 미분한 속도벡터는 다음과 같이 표현될 수 있어요.

\tag{R-1}
\begin{align}
&\vec r_{cm} = {{\sum m_i \vec r_i}\over{\sum m_i}}\\[10pt]
&\vec v_{cm} = {{\sum m_i \vec v_i}\over{\sum{m_i}}}
\end{align}

(R-1)식과 (2-4)식을 활용하면 \sum m_i \bar v_i가 0인 이유를 다음과 같이 설명할 수 있어요.

\tag{R-2}
\begin{align}
\sum m_i \bar v_i &= \sum m_i (\vec v_i - \vec v_{cm})\\
&=\sum m_i \vec v_i - \sum m_i \vec v_{cm}\\
&=\sum m_i \vec v_i - \cancel {\sum m_i} {{\sum m_i \vec v_i}\over{\cancel {\sum m_i}}}\\
&=\sum m_i \vec v_i - \sum m_i \vec v_i\\
&=0
\end{align}

이번에는 \sum m_i \bar r_i도 0이 되는데요. 이것도 증명해보면 다음과 같아요.

\tag{R-3}
\begin{align}
\sum m_i \bar r_i &= \sum m_i \big( \vec r_i - \vec r_{cm} \big)\\
&= \sum m_i \vec r_i - \sum m_i \vec r_{cm}\\
&=\sum m_i \vec r_i - \cancel{\sum m_i} {{\sum m_i \vec r_i}\over{\cancel{\sum m_i}}}\\
&=\sum m_i \vec r_i - \sum m_i \vec r_i\\
&=0 
\end{align}

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