Last Updated on 2025-09-12 by BallPen
등차수열의 일반항을 유도해 봐요.
등차수열의 일반항 개념을 알아보고 그 일반항을 유도해 봐요.
등차 수열(Arithmetic Sequence)이란 수열의 인접한 두 항 사이의 차이가 일정한 값을 갖는 수의 순서있는 나열을 뜻해요. 이때 n항이 어떤 값을 가질지 알려주는 식을 일반항이라고 합니다.
그래서 일반항을 알고 있으면 3번째 항, 10번째 항, 100번째 항, 어떤 항이든 그 값이 얼마가 될지를 쉽게 구할 수 있어요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 등차수열의 일반항
아래는 첫째항이 a_1, 공차가 d인 등차수열이라고 생각해봐요.
\tag{1-1}
\{a \} = \{a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,\cdots\}그러면 위 수열은 다음 관계를 만족할 거에요.
\tag{1-2}
\begin{aligned}
a_2 &= a_1 + d\\
a_3 &= a_2 + d\\
a_4 &= a_3 + d\\
&~~~\vdots\\
a_{n-1} &=a_{n-2} + d\\
a_n &= a_{n-1} + d
\end{aligned}이때 우리가 구하고자 하는 것은 위 식에서 a_n를 구하고 싶은 거에요. 이를 구하기 위해 위 식에서 좌변끼리 합하고 우변끼리 모두 합해 봐요.
그러면 다음과 같을 거에요.
\tag{1-3}
\begin{aligned}
&{\cancel {a_2}} + {\cancel {a_3}} +{\cancel{a_4}} \cdots+{\cancel{a_{n-1}}}+a_n \\[10pt]
&~~~~~~~~~~~~~= a_1 + d + {\cancel {a_2}} + d + {\cancel{a_3}} +d \cdots+ {\cancel{a_{n-2}}}+d + {\cancel {a_{n-1}}} + d
\end{aligned}좌변과 우변의 많은 항들이 서로 소거되는데요. 남는 항들만 정리하면 다음과 같아요.
\tag{1-4}
a_n = a_1 + (n-1)d바로 윗 식이 등차 수열의 일반항입니다. 이때 주의할 것은 d가 총 n개가 아니고 (n-1)개라는 거에요.
2. 일반항으로 임의 항의 값 구하기
등차 수열의 일반항을 이용하면 우리가 원하는 항의 값을 쉽게 구할 수 있어요.
예를 들어 n=50인 항의 값은 (1-4)식의 n에 50을 대입하고, 수열의 첫째항 a_1과 공차 d를 대입하면 됩니다.
만일 첫째항 a_1이 3이고 공차 d가 4라면 그 수열의 n=50 항은 다음과 같아요.
\tag{2-1}
a_{50} = 3 + (50-1)4 = 199흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
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