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제차 2계 선형 상미분 방정식의 한 해를 알 때 다른 해를 구하는 방법입니다.
제차 2계 선형 상미분 방정식 일반형은 다음과 같아요.
\tag{D1}
y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} + Q(x)y = 0이 미분 방정식은 2계이므로 해가 2개 나와야 하는데요. 그중 하나의 해를 알고 있을 때 다른 해를 구하는 방법을 알아봐요.
결론부터 말씀드리면 하나의 해를 y_1(x)라고 할 때 다른 해 y_2(x)는 다음과 같이 주어집니다.
\tag{D1}
\begin{align}
y_2(x) = y_1 \int{{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}} dx
\end{align}이번 글에서는 위 (D1)식이 어떻게 도출되었는지 유도해 보고, 관련 예제도 풀어보겠습니다.
아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 제차 선형 상미분 방정식 해의 특징
제차 선형 상미분 방정식의 해는 두개의 특징을 갖는데요. 하나는 중첩의 원리(superposition principle)이고 다른 하나는 선형성(linearity)의 원리에요.
1-1. 중첩의 원리
두 함수 y_1 (x), y_2 (x)가 제차 선형 상미분 방정식 F(x,y,y^{\prime}, y^{\prime\prime})=0의 해이면 그 둘을 서로 합한 y_1 (x)+ y_2 (x)도 해입니다.
이것을 중첩의 원리라고 불러요.
1-2. 선형성의 원리
함수 y_1 (x)가 제차 선형 상미분 방정식 F(x,y,y^{\prime}, y^{\prime\prime})=0의 해이면 임의의 실수 k에 대해 k y_1 (x)도 해입니다.
이것을 선형성이라고 불러요.
1-3. 일차 결합과 1차 독립
중첩의 원리와 선형성의 원리에 따라 두 함수 y_1 (x), y_2 (x)가 제차 선형 상미분 방정식 F(x,y,y^{\prime}, y^{\prime\prime})=0의 해이면, 임의의 두 상수를 c_1, c_2라 할 때 다음 식을 미분방정식의 일반해라고 합니다.
\tag{1-1}
y = c_1 y_1 (x) + c_2 y_2 (x)이러한 성질을 y_1 (x)와 y_2 (x)의 일차결합(linear combination)이라고 해요. 이때 y_1 (x)와 y_2(x)는 서로 1차 독립의 관계를 가져야 합니다.
만일 두 함수 y_1 (x)와 y_2 (x)가 적당한 상수 c에 대해 y_2(x) = c y_1(x)을 만족한다면 1차 종속이라고 해요. 그러나 이러한 상수 c가 존재하지 않으면 1차 독립(또는 선형 독립)이라고 합니다.
즉, 상수 c_1, c_2에 대해 c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)=0을 만족하는 경우가 c_1과 c_2가 모두 0인 경우 밖에 없다면 두 함수는 1차 독립이 됩니다.
2. 제차 2계 선형 상미분 방정식 두번째 해
앞서 말씀드린것처럼 제차 2계 선형 상미분 방정식 일반형은 다음과 같아요.
\tag{2-1}
y^{\prime \prime} + p(x) y^{\prime} + Q(x)y = 0이 미분 방정식은 2계 미분방정식이므로 두 개의 해를 갖습니다. 그런데 그중 하나의 해를 이미 알고 있을 때 두번째 해를 구하는 방법을 설명드리는 것이 이번 글의 목적이에요.
2-1. 첫번째 해
첫번째 해는 이미 알고 있다고 가정해야 합니다. 이 상태에서 두번째 해를 어떻게 구하느냐 하는 것이니까요.
그래서 첫번째 해를 아래 (2-2)식처럼 정할께요.
\tag{2-2}
y_1 (x)자 이제부터 두번째 해 y_2(x)를 구해 봐요.
2-2. 1차 독립인 두번째 해
(2-1)식의 첫번째 해를 y_1 (x)로 정했으니 두번째 해의 모양을 정하면 좋겠는데요. 다음과 같이 일단 정해보겠습니다.
\tag{2-3}
y_2 (x) = u(x) y_1(x)그러면 제차 2계 선형 상미분방정식의 일반해는 (1-1)식에 따라 다음과 같이 쓸 수 있어요.
\tag{2-4}
\begin{align}
y &= c_1 y_1(x) + c_2 y_2(x)\\
&=c_1 y_1 (x) + c_2 u(x) y_1(x)
\end{align}이때 u(x)는 상수가 되면 안됩니다. 그 이유는 y_1(x)와 y_2(x)가 서로 1차 독립이어야 하기 때문이에요.
만일 u(x)가 상수 u가 된다면 c_2 u도 상수 c가 되므로 y_2(x) = c y_1 (x)의 관계가 성립합니다. 그러면 y_2(x)가 y_1(x)의 상수배로 주어지므로 1차 종속 관계가 성립하기 때문이에요.
한편, (2-3)식에 따라 우리가 구하고자 하는 y_2(x)에서 y_1(x)는 이미 알고 있으므로 u(x)만 구하면 된다는 것을 알 수 있어요.
이를 위해 (2-3)식에 주어진 해 y_2(x)를 한번 미분하고 또 한번 미분해봐요. 곱의 미분을 적용하면 됩니다. 그리고 식이 복잡하니 x의 함수임을 뜻하는 (x)의 기호를 이제부터 생략할게요.
\tag{2-5}
\begin{align}
&y^{\prime} = u^{\prime} y_1 + uy_1^{\prime}\\
&y^{\prime \prime} = u^{\prime \prime} y_1 + u^{\prime} y_1^{\prime }+u^{\prime} y_1^{\prime} + uy_1^{\prime\prime}\\
&~~~~=uy_1^{\prime \prime} + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + u^{\prime\prime} y_1
\end{align}이번에는 (2-5)식을 (2-1)식의 원래의 미분 방정식에 대입하세요.
\tag{2-6}
\begin{align}
&\Big( uy_1^{\prime \prime} + 2u^{\prime}y_1^{\prime} + u^{\prime\prime} y_1 \Big) + p\Big( u^{\prime} y_1 + uy_1 ^{\prime} \Big) + Q u y_1 = 0\\
\end{align}그리고 윗식을 정리하면 다음과 같아요.
\tag{2-7}
u\Big({\color{red}y_1^{\prime \prime} + p y_1^{\prime} + Qy_1} \Big) +{\color{blue} u^{\prime} \Big(2 y_1^{\prime} + p(x) y_1 \Big) + u^{\prime\prime} y_1 =0}그런데 윗식에서 빨강색 부분은 원식인 (2-1)식에 의해 0이 됩니다. 그러므로 파랑색 부분만 더 정리해서 u를 구해봐요. 이를 위해 일단 u^{\prime}을 w로 치환하겠습니다.
그러면 아래와 같이 원식인 (2-1)식의 2계 선형 상미분방정식이 1계 선형 상미분방정식으로 계수가 낮아지게 됩니다. 그래서 이 풀이 방법을 계수 낮추기(reduction of order)라고 불러요.
\tag{2-8}
\begin{align}
&w\big(2 y_1^{\prime} + p y_1 \big) + w^{\prime}y_1 \\
&~~~~~~~~~=w\big(2 y_1^{\prime} + p y_1 \big) + {{dw}\over{dx}}y_1 =0
\end{align}윗식의 두번째 줄에 대해 양변을 \omega로 나누고 {{dx}\over{y_1}}를 곱해주고 정리합니다.
\tag{2-9}
\begin{align}
{{dw}\over{w}} + 2{{y_1^{\prime}}\over{y_1}} dx + pdx =0\\[10pt]
{{dw}\over{w}} + 2{{1}\over{y_1}}{{dy_1}\over{\cancel {dx}}} \cancel {dx} + pdx =0\\[10pt]
{{dw}\over{w}} + 2{{dy_1}\over{y_1}} + pdx =0\\[10pt]
\end{align}이제 윗식 세번째 줄의 양변을 적분합니다.
\tag{2-10}
\begin{align}
&\int {{1}\over{\omega}}d \omega + \int 2 {{1}\over{y_1}}dy_1 + \int p dx = 0 \\
\end{align}그러면 다음과 같아요.
\tag{2-11}
\begin{align}
&\ln|\omega| + \ln |y_1|^2 + \int pdx =0\\
&\ln|\omega y_1^2| = - \int p dx + c
\end{align}윗식의 양변에 exponential을 취하세요.
\tag{2-12}
\begin{align}
\omega y_1^2 &= \exp {\Big(-\int pdx + c\Big)}\\
&={\color{blue} \exp(c)}\exp \Big(-\int pdx\Big)\\
&={\color{blue}c_1}e^{-\int p dx}
\end{align}윗식에서 e^{c}는 상수이므로 c_1으로 나타냈어요. 그리고 아래와 같이 한번 더 정리합니다.
\tag{2-13}
\begin{align}
\omega = u^{\prime} = {{du}\over{dx}}&=c_1 {{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}}\\[5pt]
du &= c_1 {{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}}dx\\
\end{align}우리가 구하려고 하는 것은 u이므로 이번에는 윗식의 두번째 줄을 적분하세요.
\tag{2-14}
u=c_1 \int{{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}} dx+c_2이렇게 해서 우리가 구하려고 했던 u(x)를 구했습니다. (2-3)식에서 y_2 (x) = u(x) y_1(x)로 정했으므로 두번째 해인 y_2(x)를 구하면 다음과 같아요.
\tag{2-15}
\begin{align}
y_2(x) = c_1 y_1 \int{{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}} dx + \color {red}c_2y_1
\end{align}이때 윗식의 빨강색은 일반해를 표현할 때 첫번째 해와 결합하게 됩니다(아래 예제 풀이 참고). 따라서 최종적으로 두번째 해는 다음과 같아요.
\tag{2-16}
\begin{align}
y_2(x) = y_1 \int{{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}} dx
\end{align}결국 (2-16)식을 이용하면 제차 2계 선형 상미분 방정식에서 하나의 해 y_1(x)를 알고 있을 때 두번째 해 y_2(x)를 구할 수 있게 됩니다.
3. 제차 2계 선형 상미분 방정식 예제
다음 미분방정식이 있습니다. 이 미분 방정식의 한 해를 y_1 = x^2으로 이미 알고 있을 때 두번째 해를 구해 보세요.
\tag{ex-1}
x^2 y ^{\prime\prime} - 3xy^{\prime} + 5y =0우선 위 식을 다음과 같이 정리해보니 제차 2계 선형 상미분 방정식 일반형의 모습이에요.
\tag{ex-2}
y^{\prime\prime} - {3 \over x} y^{\prime} + {5 \over x^2} y =03-1. 공식을 적용하지 않는 풀이
두번째 해를 y_2 = u y_1로 가정합니다. 그리고 한번 미분하고, 두번 미분하여 정리하면 아래와 같습니다.
\tag{ex-3}
\begin{align}
&y_2 = u y_1\\
&y_2{^\prime} = u^{\prime} y_1 + uy_1^{\prime}\\
&y_2^{\prime\prime} = u^{\prime\prime} y_1 + 2 u^{\prime}y_1^{\prime} + u y_1^{\prime\prime}
\end{align}윗식을 원래 식인 (ex-1)식에 대입하고 다음과 같이 정리합니다.
\tag{ex-4}
\begin{align}
&x^2(u^{\prime\prime} y_1 + 2 u^{\prime}y_1^{\prime} + u y_1^{\prime\prime})-3x(u^{\prime} y_1 + uy_1^{\prime})+5uy_1 =0\\[5pt]
&x^2y_1 u^{\prime\prime}+(2x^2 y_1^{\prime}-3xy_1)u^{\prime} + {\color{red}(x^2 y_1 ^{\prime\prime} - 3xy_1^{\prime} + 5y_1)}u=0
\end{align}윗식에서 빨강색 부분은 원식과 같은 형태이므로 0이 됩니다.
한편 y_1 = x^2, y_1^{\prime}=2x, y_1^{\prime\prime}=2가 되므로 이 값들을 위 (ex-4)식의 두번째 줄에 대입하고 정리합니다.
\tag{ex-5}
x^4 u^{\prime\prime} + x^3 u^{\prime} =0그리고 u^{\prime}를 \omega로 치환합니다.
그러면 원식의 제차 2계 선형 상미분 방정식이 아래의 첫번째 줄과 같이 제차 1계 선형 상미분 방정식으로 계수가 낮아집니다. 정리해서 양변을 적분하세요.
\tag{ex-6}
\begin{align}
&x^4 {{d\omega}\over{dx}}+x^3 \omega =0\\[10pt]
&{{dw}\over{\omega}} =-{{dx}\over{x}}\\[10pt]
&\int{{dw}\over{\omega}} =-\int{{dx}\over{x}}\\[10pt]
&\ln|\omega| = -\ln|x|+c\\[10pt]
&\omega = c_1{1 \over x}
\end{align}윗식에서 \omega는 u^{\prime}이므로 이를 환원한 후 적분합니다.
\tag{ex-7}
\begin{align}
\omega = u^{\prime} = {{du}\over{dx}} = c_1{1 \over x}
\end{align}\tag{ex-8}
\begin{align}
u &=c_1 \int {1 \over x} dx\\
&=c_1 \ln|x|+c_2
\end{align}따라서 두번째 해 y_2는 다음과 같습니다.
\tag{ex-9}
\begin{align}
y_2 = u y_1=(c_1 \ln|x|+c_2)x^2
\end{align}결국 문제에 주어진 제차 2계 선형 상미분 방정식의 일반해는 다음과 같이 구해집니다.
\tag{ex-10}
\begin{align}
y &= c_3y_1 + c_4y_2\\
&=c_3x^2 + c_4 c_1x^2\ln|x|+c_4c_2 x^2\\
&=(c_3+c_4c_2)x^2 + c_4c_1 x^2\ln|x|\\
&=c_5x^2 + c_6x^2 \ln|x|
\end{align}3-2. 공식을 적용하는 풀이
제차 2계 선형 상미분 방정식 일반형으로 정리된 (ex-2)식을 참고하여 (2-16)식의 공식을 적용합니다.
\tag{ex-11}
\begin{align}
y_2 &= y_1 \int{{e^{-\int pdx}}\over{y_1^2}} dx\\[10pt]
&=x^2\int{{e^{\int {3 \over x} dx}}\over{x^4}} dx\\[10pt]
&=x^2 \int {{e^{\ln|x|^3}}\over{x^4}}dx \\[10pt]
&=x^2 \int {1 \over x} dx\\[10pt]
&=x^2 \ln |x| + \color{red}cx^2
\end{align}이때 윗식에서 빨강색 부분은 일반해를 표현할 때 첫번째 해와 결합됩니다.
따라서 두번째 해 y_2는 다음과 같습니다.
\tag{ex-12}
y_2 = x^2 \ln|x|또한 두 해 y_1(x), y_2(x)에 대한 중첩의 원리와 선형성을 적용하면 일반해는 다음과 같습니다.
\tag{ex-13}
\begin{align}
y &= c_1 y_1 + c_2 y_2\\[10pt]
&=c_1 x^2 + c_2 x^2 \ln|x|
\end{align}이 결과는 공식을 적용하지 않은 (ex-10)풀이 결과와 동일함을 알 수 있어요.
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