밀도 정의와 활용 사례

Last Updated on 2024-03-04 by BallPen

밀도란 무엇이고 부피\cdot면\cdot선 밀도에 대한 다양한 쓰임을 알아보겠습니다.

밀도(density)란 보통 꽉 찬 정도를 표현하는 개념입니다.

그런데 이 밀도 개념은 의외로 아주 다양하게 정의되고 그 사용 방법도 다채로운데요. 이번 글에서는 밀도에 대해 함께 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 부피 밀도(density)

일반적으로 밀도(density)라 함은 단위부피당 질량으로 정의되는 부피 밀도 (또는 체적 밀도)를 말합니다. 따라서 단위는 \mathrm{kg/m^3}가 사용되죠.

이를 수학적으로 표현하면 어떤 물체의 부피를 V, 질량을 m이라 할 때 밀도 \rho는 다음과 같이 정의됩니다.

\tag{1}
\rho = {m \over V}

(1)식에 따르면 동일한 부피를 갖는 두 물체가 있을 때, 질량이 큰 물체는 밀도가 크고 질량이 작은 물체는 밀도가 작습니다. 이것은 밀도가 클 수록 더 촘촘하게 물질이 존재한다는 의미로 볼 수 있습니다.

예를 들어 쇠와 플라스틱으로 만들어진 야구공 크기의 물체가 있을때, 쇠로 만들어진 물체는 플라스틱으로 만들어진 것보다 질량이 더욱 큽니다. 따라서 쇠의 밀도가 플라스틱의 밀도보다 더 크다고 말하죠.

아래 [그림 1]은 도로에서 촬영한 석유 운반차의 모습입니다.

이 사진을 보면 석유 운반차에 적재할 수 있는 석유의 양에 대한 정보를 알 수 있습니다.

사진에서 ‘유별\cdot품명’은 기름의 종류를 뜻합니다. 그리고 ‘저장 취급량’은 운반차에 최대로 실을 수 있는 석유의 부피를 말해요. 그리고 최대 적재량은 석유를 최대로 실었을 때 석유의 질량을 뜻합니다.

이때 ‘저장 취급량’과 ‘최대 적재량’으로 석유의 밀도를 구할 수 있어요.

‘저장 취급량’이 3,000리터라고 쓰여 있는데요. 우선 이 리터단위를 국제단위계인 \mathrm{m^3}로 바꾸어야 합니다.

1리터는 한 변이 10 cm, 즉 0.1 m인 정육면체의 부피를 뜻하므로 이 환산인자를 사용하면 아래와 같이 단위를 쉽게 바꿀 수 있습니다.

\tag{2}
\begin{align}
3000~\mathrm{L} = 3000 ~ \mathrm{L} \times {{0.1\mathrm{m} \times 0.1\mathrm{m} \times 0.1\mathrm{m} } \over {1~\mathrm{L}}} = 3~ \mathrm{ m^3 }
\end{align} 

변환 결과 3,000리터는 3 \mathrm{m^3}에 대응합니다.

자 이제 (1)식의 밀도 구하는 공식을 활용하여 석유의 밀도를 계산해 봐요.

\tag{3}
\begin{align}
\rho &= {{m}\over{V}}\\
&={{최대~적재량}\over{저장~취급량}}\\
&={{2,400~ \mathrm{kg}}\over{3~\mathrm{m^3}}}\\
&= 800~\mathrm{kg/m^3}
\end{align}

밀도가 800 \mathrm{kg/m^3}로 구해졌습니다. 이것은 한변이 1 m인 정육면체의 기름 질량이 800 \mathrm{kg}이 된다는 뜻입니다.

자료를 찾아보았더니 이 정도의 밀도 값을 갖는 기름은 등유와 경유였어요.

만약 사진에 있는 운반차가 등유나 경유를 운반하는 것이 아닌 물을 운반한다면 최대 적재량은 얼마로 표기해야 할까요?

물의 밀도는 1,000 \mathrm{kg/m^3}입니다. 그러므로 저장 취급량이 3,000 \mathrm{L}인 경우 최대 적재량 표기는 3,000 \mathrm{kg}으로 바뀌어야 합니다.

1-1. 활용 사례

어떤 물체의 부피 밀도 값을 알면 물체의 질량을 알아내는데 유용하게 사용됩니다. 구체적으로 말씀드리면 (1)식을 질량에 대한 식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tag{4}
m = \rho V

그러므로 물질의 밀도 \rho를 알고 있고 부피 V가 주어지면 물질의 질량을 쉽게 계산할 수 있습니다.

예를 들어 에탄올이 부피 3.2~\mathrm{m^3}만큼 있을 때 에탄올의 질량은 얼마일까요? 이것을 계산하기 위해서는 에탄올 밀도 값이 필요한데요.

에탄올의 밀도는 789~\mathrm{kg/m^3}입니다. 이를 이용하여 질량을 계산하면 아래와 같습니다.

\tag{5}
\begin{align}
m &= \rho V \\
&= 789 ~\mathrm{kg/m^3} \times 3.2~\mathrm{m^3}\\
&\approx 2.5 \times10^3~\mathrm{kg}
\end{align}

한편, (1)식의 부피 밀도 공식에 따르면 분모는 부피, 분자는 질량으로 주어집니다.

그러나 어떤 경우에는 분모는 부피로 동일하지만 분자가 에너지로 주어지는 경우도 있습니다. 그때는 에너지 밀도라는 용어를 사용합니다. 즉 단위부피 공간당 에너지가 얼마나 존재하느냐의 척도인 것이죠.

이와 유사하게 단위부피당 갯수도 부피 밀도의 개념으로 볼 수 있습니다. 주어진 부피에 어떤 대상의 갯수가 얼마나 촘촘히 있느냐의 척도로 활용할 수 있죠.

이 경우 분포 밀도라는 용어를 사용할 수도 있을 거에요.

또한 전자기학을 공부하다 보면 부피전하밀도라는 용어가 나옵니다. 이것이 뜻하는 것은 물질의 단위 부피당 전하량의 정도를 의미합니다. 이 경우 (1)식의 분모는 부피, 분자는 전하량이 됩니다.

2. 면 밀도(Area density)

위에서 말씀드렸듯이 통상적으로 밀도라 하면 (1)식으로 주어진 부피 밀도를 말합니다. 부피 밀도는 분모가 부피, 분자가 질량으로 주어집니다.

그런데 어떤 경우에는 분모가 면적, 분자가 질량으로 주어진 경우가 있어요. 이러한 것을 면 밀도라고 불러요. 공식은 아래 (6)식과 같습니다.

단위는 \mathrm{kg/m^2}입니다. 물론 \mathrm{g/cm^2}도 가능해요.

\tag{6}
\sigma = {m \over A}

면 밀도는 대상 물체의 두께가 아주 얇은 경우에 활용됩니다. 예를 들어 아래 [그림 2]의 사진을 보면 두께가 매우 얇은 금박의 모습을 보여주고 있어요.

이 금박은 부피 밀도가 19.32~\mathrm{g/cm^3}인 순금으로 만들어진 거에요. 그런데 하루는 어떤 손님이 와서 20 mg만큼의 금박을 주문했다고 상상해보세요. 그러면 (4)식을 이용하여 금박의 부피를 계산한 후 그 부피만큼 손님에게 드리면 될거에요.

그런데 문제는 금박의 부피를 계산하기 위해서는 아주 얇은 금박의 두께를 측정해야 하고 잘라낼 금박의 면적도 결정해야 합니다. 따라서 부스러지기 쉬운 아주 얇은 금박의 두께를 측정해야 하는 번거로움이 있는거에요.

그런데 금박을 제조한 사람이 부피 밀도 19.32~\mathrm{g/cm^3}와 함께 면 밀도 2.00~\mathrm{mg/cm^2}의 정보를 알려주었다면 20 mg의 금박을 판매하기 위해서는 10~\mathrm{cm^2}의 면적만큼 금박을 잘라내면 20 mg이 되는 것입니다.

즉, 면 밀도 값을 알면 두께가 아주 얇은 물질의 경우 면적을 통해 물질의 질량을 계산할 수 있게 되는 것입니다.

2-1. 활용 사례

순수한 금으로 만들어진 금박이 있어요. 이 금박의 부피 밀도 \rho는 위에서 말씀드렸듯이 19.32~\mathrm{g/cm^3}입니다. 또한 이 금박의 면 밀도 \sigma가 2.00~\mathrm{mg/cm^2}라고 했을 때 금박의 두께는 얼마일까요?

부피 밀도 \rho와 면밀도 \sigma의 관계는 아래와 같습니다. 이때 t는 두께를 뜻합니다.

\tag{7}
\rho = \sigma \times {1 \over t}

(7)식을 t에 대해 정리하고 값을 대입하면 두께는 아래와 같습니다.

\tag{8}
\begin{align}
t &= {\sigma \over \rho}\\[10pt]
&={{2.00~\mathrm{mg/cm^2}\over{19.32~\mathrm{g/cm^3}}}}\\[10pt]
&={{2.00\times10^{-3}~\mathrm{g/cm^2}\over{19.32~\mathrm{g/cm^3}}}}\\[10pt]
&\approx 104~ \mu m 
\end{align}

전자기학을 공부하다 보면 면전하밀도라는 용어가 나옵니다. 이것이 뜻하는 것은 물질의 단위 면적당 전하량의 정도를 의미합니다. 이 경우 (6)식의 분모는 면적, 분자는 전하량이 됩니다.

3. 선 밀도(Linear density)

면 밀도와 유사하게 분모가 길이, 분자가 질량으로 주어지는 밀도도 있어요. 이러한 것을 선 밀도라고 불러요. 공식은 아래 (9)식과 같아요.

단위는 \mathrm{kg/m}입니다. 물론 \mathrm{g/m}도 가능해요.

\tag{9}
\lambda = {m \over L}

선 밀도는 대상 물체의 단면적이 아주 작은 경우에 활용됩니다. 예를 들어 [그림 3]의 사진을 보면 단면적이 아주 작은 구리 도선의 모습을 보여주고 있어요.

얇은 박막의 경우 면적 단위로 판매가 이루어진다면 단면적이 작은 도선은 길이 단위로 판매합니다. 즉 ‘구리선 87 m 주세요.’ 이렇게요.

이때는 부피 밀도보다는 단위길이당 질량의 척도인 선밀도가 더 유용하답니다. 사례를 들어 설명드립니다.

3-1. 활용 사례

구리선 87 m는 몇 g의 질량에 해당할까요? 참고로 구리의 부피 밀도는 8.96~\mathrm{g/cm^3}입니다.

이 문제는 (9)식을 질량에 대해 변경한 후 해당 값들을 적용하면 됩니다.

\tag{10}
\begin{align}
m &= \lambda L\\
\end{align}

이때 구리선의 선밀도 \lambda를 알아야 하는데요. 예를 들어 45~\mathrm{g/m}의 선밀도라고 가정하겠습니다.

이때 부피 밀도는 물질마다의 고유 상수이기 때문에 물질의 밀도 표를 보면 언제든지 확인할 수 있습니다. 그러나 면 또는 선 밀도는 고정된 상수 값이 아닙니다. 물질의 두께를 얼마로 하였는지, 단면적을 얼마로 하였는지에 따라 면 밀도와 선 밀도는 달라집니다. 통상적으로 면밀도와 선밀도는 물질을 만든 제조업자 또는 연구자 등이 계산의 편의를 위해 제공하는 값으로 보시면 됩니다.

선 밀도와 구입하고자 하는 길이를 (10)식에 대입합니다.

\tag{11}
\begin{align}
m &= \lambda L\\[7pt]
&= 45~\mathrm{g \over m} \times87~\mathrm{m}\\[7pt]
&=3915~\mathrm{g}\\[7pt]
&\approx 3.9~\mathrm{kg}
\end{align}

이와 같이 선 밀도가 주어지면 편리하게 사용할 수 있어요.

전자기학을 공부하다 보면 선전하밀도라는 용어가 나옵니다. 이것이 뜻하는 것은 물질의 단위 길이당 전하량의 정도를 의미합니다. 이 경우 (9)식의 분모는 길이, 분자는 전하량이 됩니다.

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등가소음도 계산 방법 알려 드립니다. 음압레벨도 함께 공부해요. 전자기파 스펙트럼 대역의 구분, 특징과 활용 네이비즘 서버 시간 알림 사이트를 보고 떠오른 옛 추억과 표준 시간의 중요성 표준 오차 계산 예제 벡터의 방향 표기를 정확하게 하는 방법 내적의 분배법칙 등온 과정 (isothermal process) 전하 (electric charge)