Last Updated on 2026-05-01 by BallPen
영의 이중 슬릿 실험에서 스크린에 나타나는 간섭무늬의 이상적 세기 분포를 알아 봐요.
이중 슬릿 간섭 무늬 세기 분포에 관한 식을 유도해 봐요.
지난 글에서 영의 이중슬릿 실험에 의한 간섭 무늬 분포는 경로차에 의해 결정됨을 알아 봤는데요. 이번 글에서는 조금 더 수학적인 내용이 되겠습니다.
이 공식은 회절에 의한 효과가 반영되지 않으므로 이상적인 간섭무늬의 분포로 이해하면 좋아요.
1. 간섭무늬 세기 분포
스크린 상의 점 p에서 전기장의 전체 크기는 두 슬릿을 통과한 파동의 중첩에 의한 결과라고 가정해 봐요.
그러면 점 p에 도달하는 두 슬릿을 통과한 파동이 다음과 같이 각각 E_1과 E_2라고 하겠습니다.
물론 두 파동의 진폭은 식의 간결성을 위해 E_0로 동일하다고 간주하겠습니다.
\tag{1}
E_1 = E_0
\sin (\omega t)\tag{2}
E_2 = E_0 \sin (\omega t + \phi)위 식에서 \phi는 경로차에 의해 나타난 두 파동 사이의 위상차를 뜻해요.
점 p에서의 전체 전기장 E는 (1)식과 (2)식을 서로 합하면 될거에요.
\tag{3}
\begin{aligned}
E&=E_1 + E_2\\[8pt]
&=E_0 \sin(\omega t ) + E_0 \sin(\omega t + \phi)\\[8pt]
&=E_0 \big[ \sin (\omega t) + \sin (\omega t + \phi ) \big]
\end{aligned}윗 식에 삼각함수 합을 곱으로 바꾸는 공식을 적용하면 다음과 같아져요.
\tag{4}
\begin{aligned}
E &=E_0 \Big[2 \sin \Big({{\omega t + \omega t + \phi}\over{2}} \Big) \cos \Big({{\omega t - \omega t - \phi}\over{2}} \Big) \Big]\\[8pt]
&=2E_0 \sin \Big(\omega t + {{\phi}\over{2}} \Big) \cos \Big( {{-\phi}\over{2}}\Big)\\[8pt]
&= 2E_0 \sin \Big(\omega t + {{\phi}\over{2}} \Big) \cos \Big( {{\phi}\over{2}}\Big)\\[8pt]
&=2 \cos \Big( {{\phi}\over{2}}\Big) E_0 \sin \Big(\omega t + {{\phi}\over{2}}\Big)
\end{aligned}여기서 \cos은 우함수(even function)이므로 \cos (-\phi/2)=\cos(\phi /2)가 성립하는 성질을 이용했어요.
또한 빛의 세기 I는 E^2에 비례하므로 위 (4)식을 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
\tag{5}
\begin{aligned}
I &\approx E^2\\[8pt]
&=4 \cos^2 \Big({{\phi}\over{2}} \Big) \color{blue}\Big[E_0^2 \sin^2 \Big( \omega t + {{\phi}\over{2}}\Big)\Big]
\end{aligned}한편 윗 식에서 파랑색 부분의 사인 제곱 함수의 시간 평균은 E_0^2 / 2와 같아요. 이것은 두 슬릿 중 하나를 통과하는 빛의 세기와 같으므로 I_0로 표현할 게요.
또한 (5)식의 위상차 \phi는 영의 이중 슬릿 실험에 따르면 다음 (6)식의 관계가 성립해요. 여기서 \Delta L은 점 p에서 만나는 두 광선의 경로차에요. 그리고 x는 스크린의 중앙에서부터 점 p까지의 거리를 의미합니다.
\tag{6}
\begin{aligned}
\phi &= {2\pi \over \lambda} \Delta L\\[8pt]
&={{2\pi}\over{\lambda}} d \sin \theta\\[8pt]
&={{2 \pi}\over{\lambda}} d {{x}\over{L}}
\end{aligned}결국 (6)식을 (5)식에 대입하면 다음과 같아요.
\tag{7}
\begin{aligned}
I&=4I_0 \cos^2 \Big({\phi \over 2} \Big)\\[8pt]
&=I_{max} \cos^2 \Big({{\phi}\over{2}}\Big)\\[8pt]
&=I_{max} \cos^2 \Big({1 \over 2 }{{2\pi}\over{\lambda}}d{{x}\over{L}}\Big)\\[8pt]
&=I_{max} \cos^2 \Big({{\pi}\over{\lambda}}d{{x}\over{L}}\Big)
\end{aligned}위 (7)식이 바로 스크린에 나타나는 간섭무늬의 세기분포를 나타냅니다.
2. 간섭무늬 세기 분포 모습
아래 [그림 1]은 간섭무늬 세기 분포를 시뮬레이션 한 결과에요.
세로축이 있는 부분이 스크린의 중앙점, 즉 x=0인 지점이에요.
중앙점을 기준으로 양쪽이 대칭적으로 간섭무늬의 세기 분포가 나타남을 알 수 있어요.
