Last Updated on 2024-09-21 by BallPen
진행파의 수학적 표현과, 파동의 모양을 알아봐요.
진행파(travelling wave, progressive wave)란 공간을 전파해나가는 파동을 말해요. 마치 길다란 용수철의 한 끝을 손으로 잡고 주기적으로 흔들면 그 파동이 용수철을 따라 진행하는 모습을 상상하면 됩니다.
시간 t에 따라 x방향을 향하는 진행파는 수학적으로 다음과 같이 표현되는데요. 여기서 A는 진폭, k는 파수(wave number), \omega는 각속도입니다.
\tag{D1}
y = A \sin (kx-\omega t)그럼 이제부터 위 (D1)식이 어떻게 만들어지고, 진행파의 모양은 어떤지 알아봐요.
1. 정지된 파동
진행파를 알아보기 전에 먼저 정지파를 알아 봐요. 파동이 정지되어 있다고 하면 이상하게 들릴텐데요.
여기서 말하는 정지파는 아래 [그림 1]과 같이 백조가 만든 물결파를 사진으로 찍어 순간적으로 기록된 파동의 모습을 말해요.
![[그림 1] 백조가 움직이면 호수에 물결이 생깁니다. 그 물결의 모양을 사진으로 찍으면 위 아래로 진동하는 정지된 파동을 볼 수 있어요.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/09/백조가-만드는-파동-1024x658.jpg)
그림에서 빨강색 화살표 방향을 x방향이라고 했을 때 주기적 물결파의 정지된 파동은 아래 식으로 표현할 수 있습니다.
\tag{1-1}
y = A \sin (kx-\theta)여기서 A는 정지된 파동의 진폭이고, k는 파수로서 k = {{2 \pi}\over{\lambda}}의 관계를 갖습니다. 또한 \theta는 초기위상이라고 해요.
아래 [그림 2]는 정지된 파동의 예시인데요.
![[그림 2] 정지파, <span class="katex-eq" data-katex-display="false">A = 4</span>, <span class="katex-eq" data-katex-display="false">k=\pi</span>로 파랑색 파동의 초기위상은 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\theta=0</span>, 주황색 파동의 초기위상은 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\theta={{\pi}/2}</span>임.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/09/정지파1-1-1024x637.jpg)
그림에서 파랑색과 오렌지색 파동은 아래의 파랑색 수식과 빨강색 수식으로 만든거에요. 이때 \lambda =2로 설정하여 파수 k가 \pi가 됨을 알 수 있어요.
\tag{1-2}
\begin{align}
&{\color{blue} y = 4 \sin(\pi x - 0)}\\[10pt]
&{\color{red} y = 4 \sin (\pi x - {{\pi}\over{2}})}
\end{align}그림과 같이 두 파동은 사인꼴 모양을 갖고 있어 백조가 만드는 물결파와 그 형태가 같음을 알 수 있어요.
이때 중요한 것은 파랑색 파동은 (1-2)식처럼 초기위상 \theta가 0이고, 주황색 파동은 {{\pi}\over{2}}라는 거에요. 이 초기위상의 차이는 [그림 2]에서 파랑색 파동이 오른쪽으로 {{\pi}\over{2}}rad만큼 이동된 효과를 가져와요.
이 초기 위상에 의한 파동의 이동 현상을 꼭 기억해 주세요.
2. 진행파
그럼 이제부터 진행파를 설명드릴게요.
정지파는 [그림 2]처럼 정지된 파동을 의미해요. 그런데 이 파동이 실제 파동처럼 연속적으로 이동하면 그것을 진행파라고 합니다. 그렇다면 수학적으로 어떻게 진행파를 표현할 수 있을까요?
이미 눈치를 채셨겠습니다만, 아주 간단해요. 바로 (1-2)식에서 초기위상 \theta를 시간에 따라 연속적으로 바꾸어주면 파동이 마치 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 효과를 만들어 낼 수 있어요.
이를 위해서는 \theta가 시간의 함수를 가지면 되는데요. 이때 사용할 수 있는 것이 각속도 개념입니다. 각속도는 다음과 같이 정의됩니다.
\tag{2-1}
w = {\theta \over t}위 식을 (1-1)식에 대입하면 다음과 같아져요.
\tag{2-2}
y = A \sin (kx-\omega t)바로 위 식이 진행파를 나타내는 식입니다.
2-1. 오른쪽으로 이동하는 진행파
진행파 공식인 (2-2)식에 적당한 값들을 대입한 후 시간을 연속적으로 바꾸면 오른쪽으로 이동하는 진행파를 볼 수 있어요.
예를 들어 다음의 식을 매스매티카에 입력하고 시간을 연속적으로 바꾸어 봤어요.
\tag{2-3}
y = 4 \sin(\pi x - 0.5t)아래 유튜브 동영상이 그 결과입니다.
보시는 바와 같이 파동이 오른쪽으로 이동해 나가는 것을 볼 수 있어요. 그래서 진행파 입니다.
2-2. 왼쪽으로 이동하는 진행파
이번에는 왼쪽으로 진행하는 진행파를 만들어 봐요.
이것은 아주 간단한데요. (2-2)식에서 \omega t 앞의 부호를 바꾸어 주며 됩니다.
예를 들어 아래의 공식을 매스매티카로 입력한 후 실행해 봤어요.
\tag{2-4}
y = 4 \sin(\pi x + 0.5t)그 결과가 아래의 유튜브 동영상입니다.
이번에는 파동이 왼쪽으로 이동해 나가는 것을 볼 수 있어요.
