속박 전하 (bound charges)

Last Updated on 2025-01-15 by BallPen

편극된 물체의 속박 전하에 대해 알아 봐요.

속박 전하(bound charges)란 편극(분극)된 물체로부터 \eta만큼 떨어진 곳의 전위를 구할 때 등장하는 개념인데요. 아래 식은 그 편극된 물체에 의한 전위를 나타내는 공식입니다.

\tag{D1}
\begin{align}
V = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big( {\color{blue}\oint} {{\color {blue}\sigma_b}\over{\eta}}{\color{blue}da^\prime} + {\color{red}\int} {{{\color{red}\rho^{\prime}}}\over{\eta}} {\color{red}d \tau^{\prime}} \Big)
\end{align}

이 식을 점전하에 의한 전위 관계식인 아래 (D2)식과 비교해 보세요.

\tag{D2}
V = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {Q \over r} 

그러면 (D1)식은 (D2)식 두 개가 서로 합해진 형태임을 알 수 있어요.

그러면 (D1)식의 파랑색 부분 \oint \sigma_b da^{\prime}은 전하량 Q에 대응되어야 하는데 이를 위해서는 \sigma_b가 면 전하 밀도가 되어야 합니다.

유사한 방식으로 빨강색 부분 \int \rho^{\prime} d \tau^{\prime}도 전하량에 대응하므로 \rho^{\prime}은 부피 전하 밀도가 되어야 하겠죠.

하지만 편극된 물체에는 자유전하가 없어요.

단지 원자에 속박된 전하만 존재할 뿐이므로 \sigma_b는 속박 전하에 의한 면 전하 밀도로, \rho^{\prime}은 속박 전하에 의한 부피 전하 밀도라고 정의하게 됩니다.

그럼 (D1)식이 어떻게 유도되는지 알아보겠습니다. 아래는 이번 글의 목차에요.

이 글에서 사용된 그림 파일은 키노트로 작성되었습니다. bound_charges.key

1. 편극과 편극밀도

유전체에 전기장이 인가되면 원자 속의 양전하와 음전하가 공간적으로 아주 작게 분리되는 편극(polarization) 현상이 일어나고 이로 인해 유도형 전기쌍극자(electric dipole)가 형성됩니다.

물론 물질을 구성하는 분자가 극성을 갖는 경우라면 분자들이 전기장 방향으로 회전하여 배치되는 배향형 전기쌍극자를 형성할 수도 있을 거에요.

아래 [그림 1]은 전기장 \vec E에 부피 V를 갖는 두 유전체가 놓여짐으로써 유전분극으로 쌍극자가 형성된 모습을 나타냅니다.

[그림1(a)]는 부피 V 내에 총 21개의 전기쌍극자들이 형성되었으며 파랑색 화살표로 표시한 전기쌍극자모멘트가 전기장 방향과 나란히 분포된 것을 알 수 있어요.

이에 비해 [그림1(b)]는 동일한 부피 V 내에 총 8개의 쌍극자만이 있으며 화살표를 그리지는 않았지만 이 경우에도 음전하에서 양전하를 향하는 전기쌍극자모멘트는 전기장과 나란히 놓여 있어요.

이때 단위부피당 전기쌍극자 모멘트의 합을 편극밀도(polarization)라고 하여 아래 식과 같이 정의합니다.

\tag{1-1}
\vec P = {{\sum \vec p}\over{V}} ={{\sum q \vec d}\over{V}}

편극밀도의 관점에서 보면 [그림 1(a)]는 [그림1(b)]에 비해 편극밀도가 더 높다는 것을 알 수 있을 거에요.

왜냐면 동일한 부피에서 총 쌍극자 모멘트의 합이 [그림1(a)]는 21 q\vec d, [그림1(b)]는 8 q\vec d이기 때문이에요.

2. 편극된 물체 전체가 만드는 전위

아래 [그림 1]과 같이 부피 V, 표면적 S인 편극된 물질을 가정해봐요. 이때 이 물질이 어떻게 편극되었는지에 대해서는 생각하지 마세요.

단지 편극된 물체가 있다고 가정하고 이 물체로부터 떨어진 A점에서의 전위를 구해 보도록 해요.

2-1. 미소 부피내 쌍극자모멘트에 의한 전위

그림을 보면 편극된 물체안에 미소부피 d \tau^{\prime}가 있어요.

물체가 편극되었으므로 이 미소부피 안에는 (1-1)식에 따라 총 쌍극자모멘트의 합 \sum q \vec d 이 있을거에요.

그런데 \sum 기호를 편의상 무시하고 미소부피안의 총 쌍극자모멘트의 합을 그림처럼 그냥 \vec p로 표기하겠습니다.

그러면 (1-1)식의 편극밀도는 다음과 같아요.

\tag{2-1}
\vec P = {{\vec p}\over{d \tau^{\prime}}}

그러면 미소부피 안의 쌍극자모멘트 \vec p로부터 \eta만큼 떨어진 A점의 전위는 아래 식처럼 전기쌍극자 한 개에 의한 전위식을 그대로 적용하면 될 거에요.

\tag{2-2}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} {{\vec p \cdot \hat \eta}\over{\eta^2}}

위 식을 통해 쌍극자모멘트 \vec p와 \vec \eta = \vec r - \vec r^{\prime}의 단위벡터 \hat \eta이 서로 평행할 때 전위의 크기는 최대가 되고 서로 수직하면 0이 됨을 이해할 수 있어요.

그렇다면 편극된 물체 전체에 의한 전위도 계속 구해 봐요.

2-2. 편극된 물체 전체에 의한 전위

(2-2)식은 미소 부피안의 총 쌍극자모멘트 \vec p에 의해 A점에 형성된 전위인데요.

편극된 물체 전체에 의한 전위를 구하기 위해서는 (2-1)식에서 \vec p = \vec P d \tau^{\prime}의 관계를 (2-2)식에 대입 후 적분하면 됩니다.

\tag{2-3}
\begin{align}
V(\vec r) &={1 \over{4 \pi \epsilon_0}} \int {{\vec P \cdot {\color{red}\hat \eta}}\over{\color{red}\eta^2}} d \tau^{\prime}
\end{align}

이때 윗 식에서 빨강색 부분은 직각좌표계에서 1/\eta의 그래디언트에 대한 다음 관계를 활용해 변형할 수 있습니다.

\tag{2-4}
{{\hat \eta}\over{\eta^2}} =  \nabla^{\prime} \Big({1 \over \eta} \Big)

그러면 (2-3)식은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

\tag{2-5}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}\int {\color {red}\vec P \cdot \nabla^{\prime} \Big({1 \over {\eta}}\Big)} d \tau^{\prime}

한편 아래의 벡터 미분 연산 규칙을 (2-5)식의 빨강색 수식 부분에 적용해봐요. 아래 식에서 파랑색 부분이 (2-5)식의 빨강색 부분에 대응하는 것을 알 수 있어요.

\tag{2-6}
\nabla \cdot (f \vec A) = f(\nabla \cdot \vec A) + {\color{blue}\vec A \cdot \nabla f}

그러면 (2-5)식은 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{2-7}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}}\Big[ \int \Big(\nabla^{\prime} \cdot {{\vec P}\over{\eta}} \Big) d \tau^{\prime} - \int {1 \over \eta} \Big(\nabla^{\prime} \cdot \vec P \Big) d \tau^{\prime} \Big]

윗 식의 첫번째 적분에 대해 아래의 발산정리를 적용해봐요. 좌변의 적분 기호에 동그라미가 붙어 있으므로 닫힌 곡면에 대해 적분하면 됩니다.

\tag{2-8}
\oint \vec A \cdot d \vec a = \int (\nabla \cdot \vec A) d \tau

즉 [그림 2]에서 유전체를 둘러싼 표면 S에 대해 적분하면 됩니다.

그러면 (2-7)식은 아래와 같이 변형됩니다. 부피적분인지 표면적분인지를 명확히 구분하기 위해 적분기호 아래에 표면적 S와 부피 V를 구분해서 표기할께요.

\tag{2-9}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big[ \oint_S {{\vec P}\over{\eta}}\cdot d \vec a^{\prime} - \int_V {1 \over \eta} \Big( \nabla^{\prime} \cdot \vec P \Big) d \tau^{\prime} \Big]

그리고 윗식에서 d \vec a^{\prime} = da^{\prime} \hat n로 크기와 방향을 분리해서 정리하면 다음과 같습니다. 여기서 \hat n는 면벡터로서 유전체 표면에 수직한 바깥쪽 방향을 향합니다.

\tag{2-10}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big[ \oint_S {{\vec P \cdot \hat n}\over{\eta}} d a^{\prime} - \int_V {1 \over \eta} \Big( \nabla^{\prime} \cdot \vec P \Big) d \tau^{\prime} \Big]

바로 윗 식이 [그림 2]에 주어진 A점에서 유전체 전체의 분극에 의한 전위를 나타내는 식이 됩니다. 그런데 위 식을 점전하에 의한 전위 (D2)식과 비교하면 다음과 같이 대응시킬 수 있을 거에요.

\tag{2-11}
V(\vec r) = {1 \over {4 \pi \epsilon_0}} \Big[ \oint_S {{\sigma_b}\over{\eta}} d  a^{\prime} + \int_V {{\rho_b}\over{\eta}} d \tau^{\prime} \Big]

이때 (2-11)식의 \sigma_b와 \rho_b는 다음 관계를 가집니다.

\tag{2-12}
\begin{align}
&\sigma_b = \vec P \cdot \hat n\\[10pt]
&\rho_b = -\nabla^{\prime} \cdot \vec P
\end{align}

그리고 윗 식의 \sigma_b를 표면 속박 전하 밀도(surface bound charge density), \rho_b를 부피 속박 전하 밀도(체적 속박 전하 밀도, volume bound charge density)라고 부릅니다.

결국 편극된 유전체에 의한 전위는 표면 속박 전하 밀도와 부피 속박 전하 밀도에 의한 전위의 합으로 해석할 수 있다는 의미가 됩니다.

3. 표면 속박 전하 밀도와 부피 속박 전하 밀도

아래 [그림 3]은 (a)편극된 유전체의 쌍극자 모멘트, (b)편극밀도가 일정한 경우와 (c)일정하지 않은 경우(편극밀도의 발산이 0이 아닌 경우)의 그림을 개략적으로 나타낸 거에요.

[그림 3(a)]를 보면 유전체가 편극되어 여러개의 쌍극자 모멘트가 모두 한쪽 방향으로 배열되어 있음을 알 수 있어요.

그리고 [그림 3(b)]는 [그림 3(a)]에서 위쪽과 아래쪽 표면에 있는 양전하와 음전하를 제외하고 나머지 쌍극자들을 모두 삭제했는데요.

이 그림에서 파랑색 화살표는 편극밀도를 의미합니다. 편극밀도는 단위부피당 쌍극자모멘트의 합이므로 쌍극자 모멘트가 모두 한쪽방향으로 정렬된 경우 쌍극자모멘트의 방향과 편극밀도의 방향은 서로 동일하겠죠.

따라서 편극밀도는 상수벡터가 되므로 (2-12)식에서 \nabla^{\prime} \cdot \vec P =0이 성립합니다. 결국 부피 속박 전하 밀도 \rho_b는 0이 됨을 알 수 있어요(그래서 부피 안쪽의 쌍극자들을 모두 삭제한 거에요).

반면에 (2-12)식에 따라 편극밀도 \vec P와 유전체 표면의 면벡터 \hat n이 평행하면 표면 속박 전하 밀도 \sigma_b가 존재해야 합니다.

결국 유전체 위쪽은 \vec P와 \hat n이 평행한 경우에 해당하므로 표면 속박 전하 밀도 +\sigma_b가 있어야 합니다.

반면에 유전체 아래쪽은 \vec P와 \hat n이 반평행한 경우이므로 표면 속박 전하 밀도 -\sigma_b가 존재해야 함을 알 수 있어요.

결국 유전체의 쌍극자 모멘트가 한쪽 방향으로 정렬되어 있으면 편극밀도가 상수벡터가 되므로 분극현상을 표면 속박 전하 밀도만으로 해석할 수 있다는 것을 알 수 있어요.

[그림 3(c)]는 [그림 3(b)]와 모두 동일한데요. 다만 유전체 내부의 편극밀도가 균일하지 않고 일부 발산되는 성분이 존재하는 경우를 나타냅니다.

이 경우에는 편극밀도의 발산, 즉 \nabla \cdot \vec P \ne 0이기 때문에 부피 속박 전하 밀도가 존재해야 합니다. 물론 유전체 위와 아래에는 표면 속박 전하 밀도도 여전히 존재하겠죠.

Related posts.

자동차 사양서 – 토크, 등급, CO2, 정부 공인 표준 연비 등의 제원 설명 자동차 배기량(displacement)의 정의와 어떻게 계산하는지를 알아볼까요? 자동차의 최고출력 개념과 이 값이 크면 무엇이 좋은가? 인공지능 기술 분야. 중소기업은 머신러닝 중심, 그럼 대기업은? 밀도 정의와 활용 사례 단위 표기 오류가 있는 도쿄 올림픽 중계방송이 불편한 이유 등가소음도 계산 방법 알려 드립니다. 음압레벨도 함께 공부해요. 선풍기 살 때 풍량 효율 큰 것 고르면 되는 거에요?