두배각 공식

BallPen · 2022-02-20T22:01:40+09:00

삼각함수 항등식 중 두배각 공식에 대한 유도입니다.

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

삼각함수 항등식 중 두배각 공식을 알아보겠습니다.

이번 글에서는 삼각함수 두배각 공식(double angle formulas)을 알아보겠습니다.

여기서 두배각이란 어떤 각도를 $x$ 라 할 때 그 두 배인 $(x+x)$ 가 되어 $(2x)$ 가 된다는 의미에요.

즉 $\sin (2x)$ , $\cos (2x)$ , $\tan (2x)$ 가 어떻게 표현되느냐 하는 것입니다.

결론부터 말씀드리면 다음과 같아요.

\tag{D1} \begin{align} &\sin (2x) = 2 \sin x \cos x\\[10pt] &\cos (2x) = 1-2 \sin^2 x=2 \cos^2 x -1\\[10pt] &\tan (2x) = {{2 \tan x}\over{1- \tan^2 x}} \end{align}

위 (D1)식의 두배각 공식들이 각각 어떻게 유도되는지는 아래를 참고하세요.

Contents [hide]

1. 사인 두배각 공식
2. 코사인 두배각 공식
3. 탄젠트 두배각 공식
- - [공식 유도에 필요한 관계식]
  - [탄젠트 두배각 공식 유도]

1. 사인 두배각 공식

sine 두배각 공식의 유도과정 입니다. 삼각함수의 합차 공식을 적용하면 됩니다.

\tag{1} \begin{align} \sin(2x)&=\sin(x+x)\\ &=\sin x \cos x + \cos x \sin x\\ &=2\sin x \cos x \end{align}

2. 코사인 두배각 공식

이번에는 cosine 두배각 공식입니다. 삼각함수의 합차 공식과 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 의 관계를 적용하면 됩니다.

\tag{2} \begin{align} \cos(2x) &= \cos(x+x)\\ &=\cos x \cos x - \sin x \sin x\\ &=\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=(1-\sin^2 x) - \sin^2 x\\ &=1-2 \sin^2 x \end{align}

한편 위 (2)식의 세번째 줄에 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ 의 관계를 $\sin^2 x$ 에 적용하면 아래(3)식도 성립합니다.

\tag{3} \begin{align} \cos(2x) &= \cos(x+x)\\ &=\cos x \cos x - \sin x \sin x\\ &=\cos^2 x - \sin^2 x\\ &=\cos^2 x - (1-\cos^2 x)\\ &=2 \cos^2 x -1 \end{align}

3. 탄젠트 두배각 공식

계속 이어서 tangent 두배각 공식도 유도해봐요.

그런데 공식을 유도하는 과정중에 $1 / (\cos^2 x)$ 의 관계가 필요해서 이것을 먼저 구하겠습니다.

[공식 유도에 필요한 관계식]

$\tan x = \sin x / \cos x$ 입니다. 이를 제곱해서 정리하면 다음과 같아요.

\tag{4} \begin{align} &\tan^2 x = {{\sin^2 x}\over{\cos^2 x}} = {{1 - \cos^2 x}\over{\cos^2 x}} = {{1}\over{\cos^2 x}} - 1\\[10pt] &{{1}\over{\cos^2 x}} = \tan^2 x + 1 \end{align}

[탄젠트 두배각 공식 유도]

(4)식 두번째 줄의 관계를 이용해 탄젠트 두배각 공식을 구해보면 아래 (5)식과 같아요.

\tag{5} \begin{align} \tan(2x) &= {{\sin(x+x)}\over{\cos(x+x)}}\\[10pt] &={{2\sin x \cos x}\over{1-2 \sin^2 x}}\\[10pt] &={{{2 \sin x \cos x}\over{\cos ^2 x}}\over{{1- 2 \sin^2 x}\over{\cos^2 x}}}\\[10pt] &={{2 \tan x}\over{{{1}\over{\cos^2 x}}-2 \tan^2 x}}\\[10pt] &={{2 \tan x}\over{\tan^2x + 1 - 2 \tan^2x}}\\[10pt] &={{2 \tan x}\over{1-\tan^2 x}} \end{align}

위 식의 첫번째 줄에 (1)식과 (2)식을 적용한 것이 두번째 줄입니다. 그리고 두번째 줄에서 분자와 분모를 공통적으로 $\cos^2x$ 로 나누면 세번째 줄이 됩니다. 그리고 네번째 줄의 분모에 $1/{\cos^2 x}$ 가 있는데요. (4)식의 두번째 줄을 그곳에 대입하면 됩니다.

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