고도에 따른 중력 및 중력가속도 변화

Last Updated on 2022-03-26 by BallPen

지구 표면으로부터의 높이에 따라 중력과 중력가속도의 크기가 달라지게 되는데요. 각각의 변화 형태와 공식을 알아보겠습니다.

고도에 따른 중력 변화를 알아보고 이해하는 것은 아주 재미있어요.

과연 지구 표면으로부터 높이가 높아질수록 우리가 흔히 알고 있는 중력가속도 크기인 9.8 \mathrm{m/s^2}은 어떻게 변할까요?

또 중력의 크기는 어떻게 달라지며 관련 공식은 어떻게 표현될까요?

함께 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 고도에 따른 중력 변화

[그림 1]에 질량이 M이고 반지름이 R_E인 지구가 있습니다. 그리고 그 지구 표면으로부터 높이가 x인 곳에 질량 m인 물체가 있어요.

그러므로 지구 중심으로부터 물체 중심까지의 거리는 R_E + x가 됩니다.

[그림 1] 고도에 따른 중력 변화. 지구 표면으로부터의 고도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>가 높아질수록 지구와 물체사이의 중력은 감소합니다.
[그림 1] 고도에 따른 중력 변화. 지구 표면으로부터의 고도 x가 높아질수록 지구와 물체사이의 중력은 감소합니다.

1.1. 중력 : 뉴턴의 만유인력 법칙

질량을 갖는 두 물체는 서로 잡아 당기는 힘이 존재합니다. 우리는 그것을 뉴턴의 만유인력의 법칙 또는 중력이라고 부르죠.

지구 표면으로부터 높이 x인 곳에서의 중력 F(x)는 다음 (1)식과 같이 표현됩니다. 이것이 잘 알려진 만유인력의 법칙입니다.

\tag{1}
\begin{align}
F(x) = -G {{Mm}\over{(R_E + x )^2}}
\end{align}

여기서 G는 만유인력 상수로 G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{{N \cdot m^2 / kg^2}}이고, 마이너스 부호는 작용하는 힘의 방향이 두 물체가 서로 잡아당기는 인력임을 의미합니다.

1.2. 고도에 따른 중력 변화 공식

그런데 이 식을 조금만 변형해보겠습니다. 즉 (1)식에서 x=0을 생각하면 지구 표면이 될 거에요. 지구 표면위에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 중력의 크기는 F=mg가 되는데요. 여기서 g는 지구 표면에서 측정된 중력가속도 9.8 m/s2입니다.

F=mg를 (1)식의 x=0인 지구 표면에서의 만유인력의 크기와 같게 놓으면 다음과 같습니다. 이때 크기만 생각하므로 마이너스 부호는 생략해도 됩니다.

\tag{2}
\begin{align}
mg &= G {{Mm}\over{(R_E + 0 )^2}}\\
&=m \big( {{GM}\over{{R_E}^2}} \big)\\
\end{align}

이때 (2)식의 좌변과 우변에 있는 질량 m을 서로 약분하면 지구 표면에서의 중력가속도 g는 다음과 같이 주어집니다.

\tag{3}
\begin{align}
g={{GM}\over{{R_E}^2}}
\end{align}

즉, 만유인력상수 G, 지구의 질량 M, 지구의 반지름 R_E를 알면 지구 표면에서의 중력가속도를 구할 수 있습니다.

그러므로 우리가 흔히 알고 있는 중력가속도 g=9.8~\mathrm{m/s^2}는 아무곳에서나 사용하는 것이 아니라 지구 표면에서만 사용해야 하는 것임을 알 수 있어요.

이제 (1)식을 (3)식의 g로 표현하기 위해 (1)식의 우변을 {R_E}^2으로 나누고 곱해주겠습니다.

\tag{4}
\begin{align}
F(x) &= -G {{Mm}\over{(R_E + x )^2}}\\
&=- \Big( {{GM}\over{\red{{R_E}^2}}} \Big) {{m \red{{R_E}^2}}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&=-g {{m {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
\end{align}

식 (4)가 바로 고도 x에 따른 중력의 변화를 나타내는 식이 되겠습니다.

1.3. 고도에 따른 중력 변화 그래프

아래의 [그림 2]는 (4)식에 중력가속도 g=9.8~\mathrm{m/s^2}, 지구의 평균 반지름 R_E = 6,371 ~\mathrm{km}를 대입하고 m=15~\mathrm{kg}의 물체에 작용하는 중력 F의 크기를 고도 x의 함수로 나타낸 그래프 입니다.

[그림 2] 고도에 따른 중력 변화. 고도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>가 높아질수록 물체를 잡아당기는 중력 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">F</span>는 감소합니다. 0에 가까울수록 중력은 작아집니다. 또한 중력이 미치는 공간은 무한대입니다. 고도가 높아질수록 중력의 크기는 작아지지만 0은 아니기 때문입니다.
[그림 2] 고도에 따른 중력 변화. 고도 x가 높아질수록 물체를 잡아당기는 중력 F는 감소합니다. 0에 가까울수록 중력은 작아집니다. 또한 중력이 미치는 공간은 무한대입니다. 고도가 높아질수록 중력의 크기는 작아지지만 0은 아니기 때문입니다.

x=0인 지구표면에서 물체에 작용하는 중력과 x=45,000 ~\mathrm{km}인 곳에서의 중력을 각각 구해보면 다음과 같습니다.

\tag{5}
\begin{align}
F(0) &= -g {{m {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&= -9.8 ~\mathrm{m/s^2} \times {{15~\mathrm{kg} \times(6371 \times10^3~ \mathrm{m})^2}\over{(6371 \times10^3 ~\mathrm{m} +0~\mathrm{m})^2}}\\
&=-147~\mathrm{N}
\end{align}
\tag{6}
\begin{align}
F(45,000~\mathrm{km}) &= -g {{m {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&= -9.8 ~\mathrm{m/s^2} \times {{15~\mathrm{kg} \times(6371 \times10^3~ \mathrm{m})^2}\over{(6371 \times10^3 ~\mathrm{m} +4.5 \times10^7~\mathrm{m})^2}}\\
&=-2.26~\mathrm{N}
\end{align}

지구 표면에서 147 N의 크기를 갖던 중력은 고도 45,000 km에서 2.26 N으로 감소하여 초기값의 1.54%로 줄어들게 됩니다.

결국 고도가 높아질수록 중력은 0을 향해 감소하죠. 그렇다고 0이되지는 않습니다. 그래서 중력이 미치는 공간은 무한대라고 말합니다.

2. 고도에 따른 중력 가속도 변화

이번에는 중력가속도 변화를 알아보겠습니다.

여기서 주의해야 할것은 위에서 말씀드렸듯이 지구 표면에서의 중력 가속도 g9.8 ~\mathrm{m/s^2}인데요. 이 값이 언제나 사용할 수 있는 상수가 아니라는 거에요.

지구 표면에서만 사용해야 합니다.

지구 표면으로부터 고도가 높아질수록 중력이 작아지듯이 중력가속도도 변한다는 것을 꼭 이해해야 합니다.

2.1. 고도에 따른 중력 가속도 변화 공식

그렇다면 지구 표면으로부터 어떤 고도 x에서 질량 m인 물체를 낙하시키고, 그 위치에서 측정한 가속도를 a라고 해보겠습니다. 그러면 그 고도에서의 중력은 뉴턴운동의 제2법칙에 따라 F=ma가 됩니다. 이때 힘 F는 (4)식과 같이 주어지므로 다음의 식이 성립합니다.

\tag{7}
\begin{align}
ma&= -G {{Mm}\over{(R_E + x )^2}}\\
&=- \Big( {{GM}\over{\red{{R_E}^2}}} \Big) {{m \red{{R_E}^2}}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&=-g {{m {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
\end{align}

(7)식의 좌변과 우변에 있는 질량 m을 서로 약분하면 고도 x에 따른 중력 가속도 a를 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\tag{8}
\begin{align}
a&=-g {{ {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
\end{align}

식 (8)이 바로 고도 x에 따른 중력 가속도의 변화를 나타내는 식이 되겠습니다. 식에서 x=0인 지구 표면을 생각하면 가속도 a의 크기는 g와 같아짐을 알 수 있습니다.

또한 (8)식을 자세히 보면 고도 x에 따른 중력가속도 a는 지구 표면에서의 중력가속도 g와 지구의 반지름 R_E에 의해서만 결정될 뿐 질량 m인 물체와는 어떠한 관련도 없습니다.

그래서 중력가속도는 지구가 만든 중력장의 세기로서 다루어지기도 합니다. 마치 전하에 의한 전기장의 세기와 유사한 개념입니다.

즉, 지구가 고도 x인 곳에 중력장 a를 만들고 그 위치에 질량 m인 물체가 놓여지게 되면 중력장과 물체간의 상호작용에 의해 힘 F(=ma)를 받게되는 것으로 이해할 수 있습니다.

2.2. 고도에 따른 중력 가속도 변화 그래프

아래의 [그림 3]은 (8)식에 중력가속도 g=9.8~\mathrm{m/s^2}, 지구 반지름 R_E = 6,371 \mathrm{km}를 대입하여 중력가속도 a를 고도 x의 함수로 나타낸 그래프 입니다.

[그림 3] 고도에 따른 중력 가속도 변화. 고도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>가 높아질수록 중력 가속도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">a</span>는 감소합니다.  물론 지구 표면인 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x=0</span>인 지점에서의 가속도는 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">g</span>와 동일한 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">9.8~\mathrm{m/s^2}</span>이 됩니다.
[그림 3] 고도에 따른 중력 가속도 변화. 고도 x가 높아질수록 중력 가속도 a는 감소합니다. 물론 지구 표면인 x=0인 지점에서의 가속도는 g와 동일한 9.8~\mathrm{m/s^2}이 됩니다.

고도 x=0인 지구표면에서 물체의 중력 가속도와 x=45,000 \mathrm{km}인 곳에서의 중력 가속도를 각각 구하면 다음과 같습니다.

\tag{9}
\begin{align}
a(0) &= -g {{ {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&= -9.8 ~\mathrm{m/s^2} \times {{(6371 \times10^3~ \mathrm{m})^2}\over{(6371 \times10^3 ~\mathrm{m} +0~\mathrm{m})^2}}\\
&=-9.8~\mathrm{m/s^2}
\end{align}
\tag{10}
\begin{align}
a(45,000~\mathrm{km}) &= -g {{ {R_E}^2}\over{({R_E} + x)^2}}\\
&= -9.8 ~\mathrm{m/s^2} \times {{(6371 \times10^3~ \mathrm{m})^2}\over{(6371 \times10^3 ~\mathrm{m} +4.5 \times 10^7~\mathrm{m})^2}}\\
&=-0.151~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

지구 표면에서 9.8 ~\mathrm{m/s^2}의 크기를 갖던 중력 가속도는 45,000 km의 고도에서 0.151~\mathrm{m/s^2}으로 감소하여 초기값의 1.54%로 줄어들게 됩니다.

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