벡터의 덧셈 : 기하학적 표현과 수학적 처리

Last Updated on 2021-11-18 by BallPen

벡터를 합한다는 것은 기하학 및 수학적으로 어떻게 표현하고 처리할 수 있을까요?

벡터의 덧셈 에 대한 기하학적 표현과 수학적 처리 방법을 설명드립니다.

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아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 물체에 하나의 힘 벡터가 작용할 때

벡터량에는 여러가지 물리량이 있습니다. 속도, 가속도, 힘, 운동량 등이 이에 해당하는데요. 이중에서 우리가 가장 이해하기 쉬운 것이 힘 벡터일것입니다.

어느 물체에 힘 벡터가 작용할 때 그 물체의 운동 특성을 우선 알아보겠습니다.

아래의 사진을 보아 주세요. 파이프가 실려있는 바지선이 견인선(tug boat)에 이끌려 이동되고 있습니다. 이때 앞에 있는 견인선은 바지선을 잡아 끄는 힘 $\vec{F}$을 제공하고 있습니다. 이 힘은 질량이 $m$인 바지선에 작용되는 것이죠.

[그림 1] 견인선이 바지선을 끌고 가고 있습니다. (이미지 출처: Tug boat and pipes” by Phil_Parker is licensed under CC BY 2.0)

만일 바지선에 작용하는 모든 마찰력을 무시한다면 이 상황을 그림으로 아래와 같이 나타낼 수 있습니다. 또한 뉴턴 운동의 제2법칙에 따라 물체의 운동방정식은 (1)식과 같습니다.

[그림 2] 질량이 $m$인 물체에 힘 $\vec{F_1}$이 $x$방향으로 작용하고 있습니다.

따라서 바지선은 견인선이 제공하는 힘에 의해 아래의 (2)식과 같이 가속도를 갖게 됩니다. 또한 가속도의 방향은 힘의 방향과 동일하게 $x$방향을 향합니다.

2. 벡터의 덧셈 : 물체에 2개 이상의 힘 벡터가 작용할 때

벡터를 더하기 위해서는 2개 이상의 동일한 종류의 벡터가 있어야 합니다.

여기에서도 힘 벡터들을 생각해 보겠습니다. 아래 사진을 보세요.

이 사진에는 커다란 군함이 있는데요. 이 군함은 지금 스스로의 동력으로 움직이고 있지 않습니다. 줄로 연결되어 있는 견인선들이 이 군함을 끌고 있어요.

이와 같이 하나의 물체에 2개 이상의 힘이 작용하는 경우 이들 힘에 대한 벡터 합의 방향으로 물체는 움직이게 됩니다. 그렇다면 두개 이상의 벡터가 작용할 때 그 합 벡터를 어떻게 구할 수 있을까요?

[그림 3] 실생활 속 벡터의 덧셈이 필요한 순간. 견인선에 의한 두개 이상의 힘이 로프에 의해 군함에 작용하고 있습니다. 벡터 합의 방향과 크기에 따라 군함은 움직이게 됩니다. (이미지 출처: “USS Mount Whitney is escorted by tug boats as it pulls into the Viktor Lenac dry dock.” by Official U.S. Navy Imagery is licensed under CC BY 2.0)

2-1. 벡터의 덧셈 : 기하학적 표현

단순한 예를 들어 보겠습니다.

아래 [그림 4]는 질량 $m$인 어느 물체에 두 힘이 작용하고 있는 것을 위에서 본 그림입니다. 그림과 같이 $x$방향과 $y$방향으로 두 힘이 동시에 작용하고 있는데요.

힘이 하나뿐인 경우에는 힘이 작용하는 방향으로 그 물체는 가속됩니다. 그런데 2개의 힘이 작용할 때는 두 힘의 알짜힘은 어느 방향을 향할까요? 또 알짜 힘의 크기는 어떻게 주어질까요?

[그림 4] $x$방향과 $y$방향으로 두 힘이 작용하고 있습니다. 이러한 상황에서 물체에 작용하는 알짜 힘의 크기와 방향은 어떻게 될까요?

알짜힘의 크기와 방향을 구하기 위해서는 두 힘 $\vec{F_1}$과 $\vec{F_2}$를 합해야 합니다. 그런데 어떻게 해야 합하는 걸까요?

그래서 예전 사람들은 이 상황에 대해 수많은 실험을 했어요. [그림 4]와 같이 두 힘이 작용할 때 물체는 어느 방향으로 이동하고 그때 작용하는 알짜힘의 크기를 구해본거에요. 이때 알짜 힘의 방향은 물체가 움직이는 방향을 뜻하고, 알짜힘의 크기는 (3)식에서와 같이 가속도를 구하면 알짜힘의 크기를 구할 수 있어요.

그 결과 두개 이상의 힘이 한 물체에 작용할 때 합의 합성법이 정립되었답니다.

아래 [그림 5]는 [그림 4]에서 주어진 두 힘의 합에 대한 기하학적 절차를 나타냅니다. 여기서 주목할 것은 이러한 합성의 방법과 동일하게 자연 현상이 실제로 벌어진다는 거에요. 자연에 이러한 현상이 존재하기 때문에 벡터의 합을 이러한 방식으로 구하는 것으로 이해하시면 좋습니다.

[그림 5] 벡터의 덧셈. 두 힘을 합한다는 것은 첫번째 벡터의 머리에 두번째 벡터의 꼬리를 평행이동하여 붙인 후, 첫번째 벡터의 꼬리와 두번째 벡터의 머리를 잇는 벡터가 두 벡터의 합 벡터입니다.

벡터를 합한다는 것은 [그림 5]와 같이 첫번째 벡터 $\vec{F_1}$의 머리에 두번째 벡터 $\vec{F_2}$를 오른쪽으로 평행 이동하여 꼬리에 붙입니다. 그 다음에 $\vec{F_1}$의 꼬리에서 시작하여 $\vec{F_2}$의 머리를 향하는 벡터를 그렸을 때 그것이 두 벡터의 합벡터 $\vec{F}=\vec{F_1} + \vec{F_2}$입니다.

벡터의 덧셈을 처음 접할 때 이러한 합성 방법이 매우 어색해요. 왜 이렇게 해야 하는지 잘 이해가 안가죠. 하지만 위에서 말씀드렸듯이 자연이 이러한 규칙을 따르기 때문에 벡터 합의 절차를 이렇게 정했다고 생각하시면 편합니다.

[그림 5]에서 제시한 벡터합은 $F_1$에 $F_2$를 더했는데요, 아래 [그림 6]과 같이 $F_2$에 $F_1$을 더해도 결과는 같게 나옵니다.

이러한 특성을 벡터 합의 교환법칙이라고 합니다.

[그림 6] 벡터의 덧셈 순서를 달리해도 벡터 합의 결과는 달라지지 않습니다. 이 그림에서의 벡터 합의 결과는 [그림 5]의 결과와 동일한 크기와 방향을 갖습니다.

결국 2개 이상의 벡터가 있을 때 각 벡터의 크기와 방향을 알고 있다면 [그림 5] 또는 [그림 6]의 방법대로 각각의 벡터를 작도합니다. 그 다음에는 합 벡터를 그리세요. 그리고 합 벡터의 길이와 각도를 자와 콤파스로 측정하면 크기와 방향을 구할 수 있습니다.

2-2. 벡터의 덧셈 : 수학적 처리

작도법을 이용하면 기하학적으로 합 벡터의 크기와 방향을 쉽게 구할 수 있어요. 그러나 아주 엄밀한 결과를 얻기 위해서는 작도 방법으로는 어렵습니다. 그래서 수학적으로 벡터를 합하는 방법이 필요해요.

이에 대한 공식을 만들기 위해 다음과 같은 상황을 생각해보세요.

아래의 [그림 7]에도 $\vec{F}_1$과 $\vec{F}_2$가 한 물체에 작용하고 있습니다. 이때 $\vec{F}_1$은 가로축 방향성분만 가지므로 $F_{1y}$는 일단 0이 됨을 알 수 있습니다.

우선 기하학적으로 두 벡터를 합해보겠습니다.

[그림 7] 두 힘 벡터가 한 물체에 동시에 작용하고 있습니다. 그렇다면 이 물체는 어느 방향으로 가속운동을 하게 될까요? 이를 알기 위해서는 벡터의 덧셈 연산을 해야 합니다.

그러면 아래 [그림 8]과 같이 작도할 수 있어요. 빨강색 벡터 $\vec{F}_1$에 노랑색 벡터 $\vec{F}_2$를 합했습니다. 그리고 빨강색 벡터의 꼬리에서 노랑색 벡터의 머리를 향해 합벡터 $F$를 그렸어요.

제대로 잘 한거에요. 틀리지 않았습니다.

그런데 여기서 조금만 더 생각을 해봐요. 아래 [그림 8]과 같이 노랑색 벡터를 $x$성분과 $y$성분벡터로 분해하여 그릴 수 있을 거에요. 그러면 $F_{2x}\hat{x}$와 $F_{2y}\hat{y}$벡터가 그려지게 됩니다.

이것을 ‘벡터를 성분분해했다”라고 말하는데요.

[그림 8] 벡터는 $x$방향과 $y$방향으로 분해될 수 있습니다. 벡터를 합한다는 것은 $x$방향끼리 합하고 $y$방향끼리 합하면 됩니다.

합 벡터는 성분분해된 벡터끼리의 합으로도 표현이 가능합니다. [그림 8]에서 $x$방향으로 2개의 성분벡터가 있어요. 그리고 $y$방향으로는 하나의 성분벡터가 있습니다.

그리고 수학적으로 각 방향의 성분끼리 더하는거에요. 바로 아래 (3)식 처럼요

이와 같이 벡터를 합한다는 것은 수학적으로는 $x$방향의 모든 벡터 성분을 합하고, $y$방향의 모든 벡터 성분을 합하는 절차를 거치면 됩니다.

[예제] 벡터의 합

아래 [그림 9]와 같이 한 물체에 두 힘이 작용하고 있다. (1) 이 물체에 작용하는 알짜 힘을 구하여라. (2) 알짜 힘의 방향을 구하여라. (3) 알짜 힘의 단위 벡터를 구하여라.

[그림 9] 벡터의 덧셈 예제 상황. 두 힘이 한 물체에 작용하고 있습니다. 이 물체에 작용하는 알짜 힘을 구하고 그 방향을 구해보세요.

(1) 알짜힘 구하기

문제에서 주어진 두 힘 벡터를 성분별로 분해하여 그림으로 나타내면 아래 [그림 10]과 같다.

[그림 10] 벡터의 덧셈을 연산하기 위한 벡터의 성분 분해

물체에 작용하는 알짜 힘인 합 벡터는 다음과 같이 구한다.

(2) 알짜 힘의 방향 구하기

알짜 힘은 (4)식에 주어져 있습니다. 알짜힘의 방향은 아래와 같이 구하면 됩니다.

(3) 알짜 힘의 단위벡터 구하기

벡터 정규화를 통해 알짜 힘의 단위벡터를 구할 수 있습니다. 우선 알짜 힘의 크기를 구하면 아래 (6)식과 같습니다.

벡터 정규화를 하면 단위벡터가 나옵니다.

3. 벡터의 덧셈 요약

• 벡터를 더한 다는 것은 2개 이상의 벡터가 한 물체에 작용하는 경우에 알짜 벡터를 구하는 과정으로 볼 수 있다.
• 벡터의 덧셈은 처음 벡터의 머리에 나중 벡터의 꼬리를 붙인 후, 처음 벡터의 꼬리에서 나중 벡터의 머리를 연결하는 벡터를 그려 기하학적으로 표현할 수 있다.
• 수학적으로는 벡터를 $x$성분과 $y$성분으로 분해하고 같은 방향성분끼리 더하면 된다.