일률(power)

Last Updated on 2023-10-22 by BallPen

일률의 개념을 사례를 통해 알아봐요.

일률(power)이란 단위시간당 변환되는 에너지의 크기를 말하는데요. 일률은 다른 말로 효율, 출력, 능력이라고도 불리고, 전자기학에서는 전력이라고도 부릅니다.

과연 일률이 무슨 의미를 갖고 어떻게 수식으로 표현되는지 함께 알아봐요.

이해하기 쉽도록 다양한 사례를 들어 설명드리겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 단위시간당 변환되는 에너지 = 일률

일률을 이해하기 위해서는 우선 에너지(energy)를 알아야 합니다. 에너지란 일을 할 수 있는 능력을 말해요. 반대로 일과 에너지 정리에 따라 일은 에너지로 전환될 수도 있죠.

또한 에너지 보존 법칙에 따르면 에너지의 크기가 동일하게 보존되면서 서로 다른 형태로 전환될 수 있어요. 예를 들어 위치에너지가 전기에너지로, 전기에너지는 운동에너지로, 운동에너지는 열에너지로 바뀔 수 있죠.

이와 같이 일이 에너지로 변하거나, 에너지가 일로 변하거나, 어느 에너지의 크기가 변하거나, 다른 유형의 에너지로 전환되거나 하는 등의 현상이 벌어질 때 우리는 단위시간당 에너지가 얼마만큼 빠르게 변하는지 알고 싶은 경우가 있어요.

이때 사용하는 개념이 일률 P입니다. 평균 일률은 아래 (1)식과 같이 단위 시간 \Delta t동안 변환된에너지 \Delta W로 정의됩니다.

\tag{1}
P = {{\Delta W} \over {\Delta t}}

따라서 일률의 단위는 J/s 또는 이를 줄여서 W (와트, watt)를 사용합니다.

그럼 이제부터 일률 개념을 구체적인 사례를 들어 설명드리겠습니다.

2. 일률에 대한 다양한 사례

2-1. 크레인이 물체를 들어올리는 경우

아래 [그림 1]을 보면 크레인이 콘크리트 덩어리를 들어올리고 있는데요. 이러한 크레인이 두 대 있다고 상상해봐요.

두대의 크레인 모두 콘크리트를 들어올리는 힘이 F= 10000~{\rm{N}}이며, \Delta s =35~{\rm {m}}만큼 끌어올려요.

이때 A 크레인은 \Delta t = 30.0 ~\mathrm{s}, 다른 B크레인은 55.0~ \mathrm{s}만큼 시간이 걸렸어요.

그렇다면 어느 크레인의 일률이 더 클까요? 이 말은 단위시간당 한 일이 어느 크레인이 더 크냐와 동일한 질문입니다.

두 크레인은 동일한 힘의 크기로 같은 높이만큼 콘크리트를 들어올렸으므로 한 일의 크기는 모두 같애요. 하지만 일을 하는 동안 경과된 시간이 서로 다르죠.

그렇다면 (1)식을 이용하여 크레인 A와 B의 일률을 각각 구해 볼까요?

우선 A 크레인의 일률 P_A입니다.

\tag{2}
\begin{align}
P_A={{\Delta W}\over{\Delta t}}&={{\vec F \cdot \Delta\vec s} \over {\Delta t}} \\
&= {{10000~\mathrm{N} \times 35.0~\mathrm{m}}\over{30.0 ~\mathrm{s}}}\\
&=1.17 \times10^{4}~{ \mathrm{J/s}}\\
&=1.17 \times 10^4 ~\mathrm{W}
\end{align}

다음은 B 크레인의 일률 P_B입니다.

\tag{3}
\begin{align}
P_B={{\Delta W}\over{\Delta t}}&={{\vec F \cdot \Delta\vec s} \over {\Delta t}} \\
&= {{10000~\mathrm{N} \times 35.0~\mathrm{m}}\over{55.0 ~\mathrm{s}}}\\
&=6.36 \times10^{3}~{\mathrm{J/s} }\\
&=6.36 \times 10^3 ~\mathrm{W}
\end{align}

그 결과 어느 쪽의 일률이 더 큰가요? A크레인의 일률이 B크레인보다 더 크다는 것을 알 수 있어요.

이 말은 똑같은 시간 동안 A크레인이 더 많은 일을 한다는 의미가 됩니다. 즉 A 크레인이 더 빠르게 일을 하고 있다는 것을 일률의 개념으로 명확히 전달할 수 있는거죠.

이 사례에서는 콘크리트를 끌어 당기는 힘이 동일하고 끌어올리는 시간이 서로 다른 경우를 설명드렸는데요. 만일 끌어올린 시간이 서로 동일한 경우에는 끌어당기는 힘 F가 더 큰 크레인이 일률이 큽니다. 왜냐면 시간은 동일할지라도 더 무거운 콘크리트를 끌어올렸기 때문에 한 일이 더 크기 때문이에요.

2-2. 사람이 계단을 오르는 경우

이번 사례는 사람이 계단을 오르는 경우에요.

아래 [그림 2]를 보면 사진이 있는데요. 왼쪽 사진은 젊은 사람이 계단을 뛰어 오르는 모습이고, 오른쪽 사진은 노인이 계단을 천천히 올라가는 모습입니다.

일반적으로 나이를 들면 행동이 젊을때 만큼 민첩하지 못해요. 아무래도 느릴 수 밖에 없어요.

여기서 상상을 해보겠습니다.

계단의 수직 높이가 h = 45.0~\rm m인데, 젊은 사람이 오를 때 9분 38초가 걸렸고, 노인이 오를 때 23분 12초가 걸렸다고 생각해봐요. 두 사람의 질량은 모두 72.0 kg으로 동일합니다.

그렇다면 두 사람중 어느 사람의 일률이 더 클까요?

두 사람 모두 지상으로부터 동일한 높이만큼 올라갔으므로 위치에너지의 변화량은 서로 같아요. 하지만 위치에너지를 변화시키는 동안의 시간이 서로 다릅니다.

먼저 젊은 사람의 일률을 구해볼까요. (1)식을 적용하면 됩니다. 다만 이 경우에는 변환된 에너지 \Delta W를 45.0 m인 지점과 지상의 위치에너지 변화량으로 구하면 됩니다.

\tag{4}
\begin{align}
P_{young} = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &= {{mgh - mgh_0}\over{\Delta t}}\\
&={{(72.0~\rm kg)}(9.8 ~\rm m/s^2)(45.0~\rm m) - 0\over{578~\rm s}}\\
&=54.9~\rm W
\end{align}

여기서 지상은 h_0 = 0~\rm m이므로 지상의 위치에너지 mgh_0는 0이 됩니다.

이번에는 노인의 일률을 구해볼께요.

\tag{5}
\begin{align}
P_{old} = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &= {{mgh - mgh_0}\over{\Delta t}}\\
&={{(72.0~\rm kg)}(9.8 ~\rm m/s^2)(45.0~\rm m) - 0\over{1392~\rm s}}\\
&=22.8~\rm W
\end{align}

예상대로 젊은 사람의 일률이 노인의 일률보다 더 크다는 것을 알 수 있습니다.

2-3. 날아가는 비행기의 경우

비행기는 제트엔진이 뿜어내는 추진력에 의해 앞방향으로 날아갈 수 있어요. 만일 비행기의 추진력 F와 비행기의 속력 v를 알고 있을 때 제트 엔진의 일률을 구할 수 있을까요?

이를 위해서는 평균속력의 개념을 활용하여 일률의 공식을 아래와 같이 조금만 변형하면 됩니다.

\tag{6}
\begin{align}
P = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &= {{F  \Delta s}\over{\Delta t}}\\
&=F \Big({{\Delta s}\over{\Delta t}}\Big)\\
&=Fv
\end{align}

이때 힘 F와 평균속력 v는 같은 방향을 향합니다. 따라서 (6)식에서 도출된 일률에 관한 식을 벡터의 스칼라곱을 이용해 일반적으로 표현하면 아래 (7)식과 같습니다.

\tag{7}
\begin{align}
P = \vec F \cdot \vec v
\end{align}

[등속으로 날아가는 비행기]

아래 [그림 3]은 제트 엔진이 달려있는 날아가는 비행기를 보여주고 있어요. 만일 제트엔진 하나의 추진력이 197000 N이고 비행기가 275 m/s의 일정한 속력으로 날아갈 때 엔진의 일률은 얼마일까요?

이 경우 (6)식을 그대로 적용하면 일률을 구할 수 있어요.

\tag{8}
\begin{align}
P &= Fv\\
&=197000~ \rm {N} \times 275~ \rm {m/s}\\
&= 5.42 \times 10^7~\rm W
\end{align}

즉, 1 s당 5.42 \times 10^7~\rm {J}의 에너지를 제트엔진이 만들어내고 있어요. 그런데 이 에너지는 비행기의 운동에너지를 변화시키는데 사용되지 않아요. 비행기가 등속으로 날아가고 있으므로 모두 공기 저항력이 하는 일로 상쇄됩니다.

[가속되며 날아가는 비행기]

이번에는 비행기가 일정한 가속도로 속도가 점점 빨라지는 경우를 생각해 보겠습니다. 이것은 엔진 추진력 197000 N 중 공기저항력으로 상쇄되고 남은 일부의 힘이 비행기로 전달되어 비행기의 운동에너지를 점점 증가시키고 있음을 의미해요.

만일 비행기로 전달되는 엔진의 알짜 추진력이 2.68 \times 10^4~\rm{N}이고, 이로 인해 \Delta t = 5분 동안 처음 속력 v_i = 230~\rm{m/s}에서 나중 속력 v_f = 275~\rm{m/s}로 변화되었다면 비행기의 일률은 어떻게 구할 수 있을까요? 이때 비행기의 질량은 1.79 \times 10^5~\rm{kg}을 적용합니다.

이 경우에도 (6)식을 그대로 사용하면 되는데요. 문제는 속도가 달라졌으니 v에 어느 값을 넣어야 하는지 헷갈려 하는 경우가 있어요. 이 경우 속도가 v_i = 230~\rm{m/s}에서 v_f = 275~\rm{m/s}로 변했으므로 속력의 평균값을 넣어주면 됩니다.

\tag{9}
\begin{align}
P={{\Delta W}\over{\Delta t}}&=Fv\\
&= (2.68 \times 10^4~\rm N)\Big[ {{(275~\rm {m/s) + (230~\rm{m/s})}}\over{2}} \Big]\\
&=6.78 \times 10^6 ~\rm W
\end{align}

즉, 평균적으로 1 s당 6.78 \times 10^6~\rm J의 에너지가 비행기에 전달되는 거에요.

한편 (9)식으로 도출된 일률 값은 단위시간동안 비행기의 운동에너지 변화량을 통해서도 구할 수 있어요.

\tag{10}
\begin{align}
P = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &= {{{1 \over 2}m(v_f^2 - v_i^2)}\over{\Delta t}}\\
&={{{1 \over 2}(1.79 \times 10^5~\rm{kg})[(275~\rm{m/s})^2 -(230~\rm{m/s})^2]}\over{300~\rm s}}\\
&=6.78 \times 10^6~\rm{W}
\end{align}

(9)식과 동일한 결과가 얻어졌음을 알 수 있어요.

2-4. 냄비에 물을 끓이는 경우

이번에는 아래 [그림 4]와 같이 냄비에 물을 넣고 가스불로 가열하는 경우를 생각해봐요.

재질은 알루미늄으로 같지만 모양이 서로 다른 두개의 냄비 안에 25.0 \mathrm{^{\circ}C}의 물 1.00 kg이 각각 들어있어요. 그리고 동일한 두대의 가스레인지를 켜서 냄비를 가열하는데요.

물의 온도가 90.0 \mathrm {^{\circ}C}까지 상승하는데 걸리는 시간이 A 냄비는 8.0분이 걸렸고, B 냄비는 11.0분이 걸렸어요.

그렇다면 물로 전달되는 일률은 어느 쪽이 더 클까요?

이쯤 되면 위에서 설명드린 사례처럼 시간이 짧게 걸린 쪽의 일률이 더 크다고 짐작할 수 있을 건데요. 맞는 말입니다.

하지만 이 사례를 도입한 이유는 일률을 계산할 때 꼭 일을 하거나 에너지를 변화시키는 입장에서만 생각하지 말고 에너지를 받는 입장에서의 일률도 중요하다는 것을 알려드리고 싶었어요.

그러니까 이 사례의 핵심은 가스레인지 불꽃의 열에너지가 냄비를 거쳐 물로 전달되기도 하지만 주변 공기의 대류로 열에너지가 손실되기도 하고, 물과 직접 닿지 않는 부분의 냄비를 가열하여 열에너지가 손실되기도 할거에요. 결국 이것 저것 손실되는 에너지는 신경쓰지 말고 물로 전달되는 일률만을 구해보자는 관점입니다.

그러면 일률이 큰 냄비가 열에너지를 상대적으로 주변에 덜 손실시키고 물로 열을 전달하는 효율이 좋은 냄비라는 것을 알 수 있게 되는 거죠.

우선 A 냄비의 일률부터 구해 봐요. 물의 온도가 \Delta T만큼 증가했을 때 물로 전달된 에너지 Q는 물의 질량을 m, 물의 비열을 c라고 할 때 Q = m c \Delta T로 주어집니다.

\tag{11}
\begin{align}
P_A = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &={{mc \Delta T}\over{\Delta t}}\\
&={{(1.00~\rm kg)(4190~\rm{J/kg \cdot K  })(90.0~^{\circ}C - 25.0~^\circ C)}\over{480~\rm s}}\\
&=5.67 \times 10^2 ~\rm W
\end{align}

같은 방식으로 구한 B 냄비의 일률입니다.

\tag{12}
\begin{align}
P_B = {{\Delta W}\over{\Delta t}} &={{mc \Delta T}\over{\Delta t}}\\
&={{(1.00~\rm kg)(4190~\rm{J/kg \cdot K  })(90.0~^{\circ}C - 25.0~^\circ C)}\over{660~\rm s}}\\
&=4.13 \times 10^2 ~\rm W
\end{align}

재질은 똑같은데 A냄비의 일률이 B냄비보다 더 크다는 의미는 A냄비가 가스레인지 불꽃의 열에너지를 주변으로 적게 손실시키면서 물로 잘 전달한다는 의미입니다.

아마도 A 냄비 바닥면의 면적이 더 크거나, 두께가 더 얇거나 등의 외형상 차이가 있을 것 같아요.

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