척력장 내의 운동 궤도

Last Updated on 2025-09-23 by BallPen

입자가 역제곱 중심력장내에서 척력을 받을 때 입자의 운동 궤도를 알아 봐요.

척력장 내에서 입자가 역제곱 중심력을 받을 때 입자의 궤도를 알아 보겠습니다. 이것은 알파입자 산란 실험과 같이 양전하인 알파입자가 양전하를 띤 원자핵 주변을 지날 때 갖는 궤도로 생각하면 됩니다.

궤도를 구하기 위해서는 중심력장 하에서 입자의 궤도방정식을 풀면 되는 데요.

결과부터 말씀드리면 척력장에서 입자 궤도의 이심률 \epsilon은 다음과 같이 주어집니다.

\begin{align}
\tag{D1}
\epsilon = \sqrt{1 + {{2ml^2 E}\over{Q^2 q^2}}}
\end{align}

여기서 E는 입자가 갖는 총에너지로 척력장에서는 항상 양수값을 갖습니다. m은 입자의 질량, l은 단위질량당 각운동량, Q는 원자핵의 전하량, q는 알파입자의 전하량입니다.

결국 척력장에서 (D1)식의 이심율은 양수값이 되어 쌍곡선 궤도를 갖게 되요.

그럼 이제부터 위 (D1)식이 어떻게 도출되었는지 차근 차근 알아봐요.

1. (복습) 중심력장 내에서 입자의 궤도 방정식

척력장에서 운동하는 입자의 궤도를 알아 보기 전에 이전 글에서 설명드렸던 입자의 궤도 방정식에 대해 잠시 복습을 하겠습니다. 자세한 내용은 링크를 참고하시기 바랍니다.

입자 사이에 작용하는 힘이 두 입자의 거리 r에 의존하는 중심력 f(r)인 경우 뉴턴의 운동 제2법칙, 즉 운동방정식은 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

\begin{align}
\tag{1-1}
f(r) \hat{e_r} = m \ddot {\vec{r}}
\end{align}

여기서 \ddot {\vec r}은 변위벡터를 시간으로 두번 미분한 것으로 가속도를 의미합니다.

위 운동방정식에 극좌표계의 가속도 관계식을 대입하고 정리하면 입자의 궤도 방정식을 유도할 수 있습니다.

\begin{align}
\tag{1-2}
{{d^2 u}\over{d \theta^2}} + u = - {{1}\over{ml^2 u^2}} f(u^{-1})
\end{align}

위 식에서 u=1/r의 관계를 갖습니다. 따라서 위 미분방정식을 풀면 \theta의 함수로 두 입자간의 거리를 나타내는 함수 r (\theta)를 구할 수 있게 됩니다.

이때 입자의 궤도 방정식을 풀기 위해서는 중심력을 대입해야 하는데요. 여기에 만유인력을 대입하면 f(r)은 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{1-3}
f(r) = - {k \over r^2}
\end{align}

여기서 k는 GMm으로 만유인력상수와 두 입자의 질량을 곱한 값입니다. 그리고 r = 1/u의 관계를 적용하면 (1-3)식은 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{1-4}
f(u^{-1}) = -ku^2
\end{align}

그리고 입자의 궤도 방정식에 (1-4)식의 만유인력을 대입하면 다음 해가 얻어집니다. 여기서 \epsilon이 이심률입니다.

\begin{aligned}
\tag{1-5}
r &= {{ml^2/k}\over{1 + (Aml^2 /k) \cos \theta}}\\[10pt]
&= {{ml^2/k}\over{1 + \epsilon \cos \theta}}
\end{aligned}

한편, 입자가 갖는 역학적 에너지 보존 법칙으로부터 다음 식으로 주어지는 궤도의 에너지 방정식을 만들 수 도 있습니다.

\begin{align}
\tag{1-6}
{1 \over 2} ml^2 \Big[ \Big( {{du}\over{d \theta}} \Big)^2 + u^2 \Big] + V (u^{-1}) = E
\end{align}

그리고 위 방정식을 풀어도 궤도 식 r (\theta)을 구할 수 있는데요. 그 결과는 아래와 같습니다. 여기서도 \epsilon이 이심률입니다.

\begin{aligned}
\tag{1-7}
r &= {{ml^2 /k}\over{1 + \sqrt{1 + {{2ml^2 E}\over{k^2}}}}\cos \theta}\\[10pt]
&= {{ml^2/k}\over{1 + \epsilon \cos \theta}}

\end{aligned}

결국 (1-5)식과 (1-7)식은 서로 다른 미분방정식을 풀어 동일한 결과를 얻은 거에요.

(1-7)식의 이심률 안에 있는 총 역학적 에너지 E의 부호에 따라 궤도는 다음과 같이 결정됩니다.

\begin{aligned}
\tag{1-8}
& E <0이면 ~~ \epsilon < 1~~~~~\rightarrow~~~~~닫힌 궤도(타원,원)\\[10pt]
& E = 0 이면 ~~ \epsilon = 1~~~~~\rightarrow~~~~~열린 궤도(포물선)\\[10pt]
& E >0이면 ~~ \epsilon > 1~~~~~\rightarrow~~~~~열린 궤도(쌍곡선)

\end{aligned}

2. 척력장에서 입자의 궤도 방정식 풀이

2-1. 척력장에서 입자의 궤도 방정식과 이심률

아래 [그림 1]처럼 고정된 양전하 Q가 있고, 그 양전하 근처로 다가오는 또 다른 양전하 q가 있다고 생각해 봐요.

그러면 두 양전하는 부호가 같으므로 척력의 전기력을 받게 됩니다.

이때 Q가 단단히 고정되어 있다면 다가오는 q는 척력에 의해 밀려나게 되요. 그 밀려나는 경로가 어떤 경로인지가 궁금한 상황이에요.

두 양전하 사이에 작용하는 전기력은 중심력으로서 아래 (2-1)식처럼 거리의 제곱에 반비례하고 두 전하의 전하량에 비례합니다. 이를 쿨롱의 법칙이라고 하죠.

\begin{align}
\tag{2-1}
f(r) = {{Qq}\over{r^2}}
\end{align}

물론 쿨롱의 법칙에 따르면 (2-1)식에 비례상수 k_e가 있게 되는데요. 편의상 이 글에서는 그 비례상수를 1로 간주하겠습니다.

그리고 (2-1)식의 우변을 r=1/u의 관계를 적용하면 다음과 같이 바꾸어 표현할 수 있어요.

\begin{align}
\tag{2-2}
f(u^{-1}) = Qqu^2
\end{align}

그럼 (2-2)식을 궤도방정식인 (1-2)식에 대입해봐요. 그러면 다음과 같습니다.

\begin{aligned}
\tag{2-3}
{{d^2 u}\over{d \theta^2}} + u &= - {{1}\over{ml^2 u^2}} f(u^{-1}) \\[10pt]
&=-{{1}\over{ml^2 {\cancel{u^2}}}} Qq{\cancel {u^2}}\\[10pt]
&=-{{Qq}\over{ml^2}}
\end{aligned}

이 미분방정식을 푸는 방법은 케플러 제1법칙에 대한 글에서 이미 다룬 적이 있어요. 여기서는 그 결과만을 인용하면 해는 다음과 같아요.

\begin{align}
\tag{2-4}
u = A \cos \theta - {{Qq}\over{ml^2}}
\end{align}

이때 위 해에서 u = 1/r이므로, r을 구해 보도록 해요.

\begin{aligned}
\tag{2-5}
r ={1 \over u} &= {{1}\over{-{{Qq}\over{ml^2}}+A\cos \theta}}\\[10pt]
&= {1 \over{-1 + \Big({{ml^2}\over{Qq}}A \Big)\cos \theta}}
\end{aligned}

이때 윗 식 분모의 괄호 부분은 이심률로서 (1-5)식과 (1-7)식의 \epsilon과 같아요. 다만 (1-5)식과 (1-7)식에서의 k가 (2-5)식에서는 Qq로 바뀐 것만 달라요.

중요한 것은 \epsilon=0이면 원, \epsilon <1이면 타원, \epsilon =1이면 포물선, \epsilon >1이면 쌍곡선이 된다고 이전 글에서 말씀드린 적이 있어요.

하지만 (2-5)식을 보아서는 A의 크기와 부호를 정확히 알지 못하기 때문에 \epsilon의 부호와 크기를 짐작하기 어려워요.

그러면 (1-7)식의 이심율을 고려하는게 좋을 것 같애요. k대신에 Qq로 바꾸기만 하면 됩니다. 그 결과는 아래와 같습니다.

\begin{align}
\tag{2-6}
\epsilon = \sqrt{1+ {{2 ml^2 E}\over{Q^2 q^2}}}
\end{align}

이 식에서 질량 m은 양수가 분명하고, l과 Q와 q는 모두 제곱으로 주어지므로 양수에요. 결국 입자의 총 역학적에너지 E의 부호와 크기가 이심율의 크기를 결정한다는 것을 알 수 있어요.

그래서 인력이 작용하는 경우와 척력이 작용하는 경우의 총 역학적 에너지를 먼저 구해 보도록 해요.

2-2. 총 역학적 에너지

[인력이 작용하는 경우]

역제곱형 인력인 만유인력은 다음과 같아요. 여기서 k=GMm입니다. 그리고 음수는 인력을 뜻하죠.

\begin{align}
\tag{2-7}
f(r) = - {{k}\over{r^2}}
\end{align}

만유인력은 중심력이면서 보존력이므로 구면좌표계에서 f(r) = -dV/dr가 성립합니다. 이 식에서 위치에너지 V를 구하면 다음과 같습니다.

\begin{aligned}
\tag{2-8}
V &= - \int_{\infin}^r f(r) dr\\[10pt]
&=\int_\infin^r kr^{-2} dr\\[10pt]
&= - {k \over r} 
\end{aligned}

결국 인력이 작용할 때 총 역학적 에너지는 운동에너지와 위치에너지의 합으로 주어지므로 다음과 같습니다.

\begin{aligned}
\tag{2-9}
E &= {1 \over 2} mv^2 + \Big(-{k \over r}\Big) \\[10pt]
&= {1 \over 2} mv^2 - {{GMm} \over r}
\end{aligned}

따라서 운동에너지가 위치에너지보다 크면 E는 양수가 되어 (1-8)식에 따라 쌍곡선 궤도를 갖게 됩니다.

반대로 위치에너지가 더 크다면 E는 음수가 되어 타원이나 원궤도를 갖게 됩니다.

[척력이 작용하는 경우]

두 전하의 부호가 같으면 쿨롱의 법칙에 따라 역제곱형 척력이 작용합니다. 여기서 편의상 비례상수는 1로 처리하였고, 힘의 부호가 양수이므로 척력임을 뜻해요.

\begin{align}
\tag{2-10}
f(r) = {{Qq}\over{r^2}}
\end{align}

여기서도 위치에너지를 구하면 다음과 같습니다.

\begin{aligned}
\tag{2-11}
V &= - \int_{\infin}^r f(r) dr\\[10pt]
&=-\int_\infin^r Qqr^{-2}dr\\[10pt]
&={{Qq}\over r}
\end{aligned}

결국 척력이 작용할 때 총 역학적 에너지는 다음과 같습니다.

\begin{align}
\tag{2-12}
E = {1 \over 2} mv^2 + {Qq \over r}
\end{align}

위 식을 보면 총 에너지는 양수가 될 것임을 알 수 있어요. 왜냐면 속도의 제곱은 무조건 양수이고, 다른 물리량들도 모두 양수인 것이 자명하기 때문이에요.

3. 역제곱형 척력장 내에서 입자의 운동 궤도

이제 이 글의 목적인 역제곱형 척력장에서 입자가 운동할 때 그 궤도를 알아 봐요. 궤도는 (2-6)식에서의 총 역학적 에너지 E의 부호에 의해 결정되는데요.

앞에서 알아본 것처럼 척력이 작용하는 경우 총 역학적 에너지는 항상 E>0임을 알 수 있어요.

결국 (2-6)식에 주어진 이심율도 \epsilon > 1의 조건을 만족하게 되므로 (1-8)식에 따라 척력장내에서 전하는 쌍곡선 궤도를 따라 움직이게 됩니다.

그러므로 [그림 1]에서 운동하는 전하 q의 이동 경로도 쌍곡선 경로로 표현한 것입니다.

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