지구 내부에서의 중력 크기 변화

Last Updated on 2022-04-24 by BallPen

지표면 아래 지구 내부에서의 중력 변화는 어떻게 될까요? 증가할까요? 아니면 감소할까요?

이번 글에서는 지구 내부에서의 중력 크기 변화를 이야기하고자 합니다.

지난 글에서 중력가속도와 중력의 크기는 지구 표면으로부터 고도가 높아질 수록 작아진다고 말씀드렸어요. 이 관계는 만유인력 법칙으로부터 간단히 유도할 수 있었습니다.

그렇다면 만일 지구속으로 들어갈수록 중력 크기 변화는 어떻게 될까요? 함께 알아봐요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 구 껍질 및 속이 꽉찬 구 외부의 중력

1-1. 구 껍질 외부의 중력

축구공과 같이 질량을 갖는 물질이 표면에만 존재하는 구형 물체를 구 껍질이라고 합니다. 이때 구 껍질의 두께가 무척 얇아 무시가능할 정도라고 상상해보세요.

구 껍질의 질량을 M이라고 했을 때, 아래 [그림 1]처름 구의 중심으로부터 구 껍질의 바깥쪽으로 r만큼 떨어진 곳에 질량 m인 물체가 놓여 있다고 생각해봐요.

그러면 이전 글에서 다룬 것처럼 구 껍질과 물체 사이에는 아래의 중력이 작용합니다.

\tag{1}
\begin{align}
F=G{{mM}\over{r^2}}
\end{align}

신기하게도 속이 비어 있는 구 껍질과 물체사이에 작용하는 중력은 만유인력의 공식과 동일한 모양을 갖습니다.

1-2. 속이 꽉찬 구 외부의 중력

그런데 구 껍질이 아닌 지구와 같이 질량이 M_E인 속이 꽌찬 구와 질량 m인 물체 사이에 작용하는 중력은 어떻게 될까요?

속이 가득찬 구를 구 껍질의 중첩으로 생각함으로써 아래의 식이 유도됩니다. 자세한 내용은 이전 글을 참고하세요.

\tag{2}
\begin{align}
F=G{{mM_E}\over{r^2}}
\end{align}

이것이 뉴턴의 껍질정리 또는 구각정리로 알려진 내용이었어요.

결국 지구 표면으로부터 r이 커질 수록, 즉 고도가 높아질수록 중력 F는 작아지게 됩니다.

그렇다면 이제는 지구 표면에서 높아지는 것이 아닌 지구속으로 들어가면 중력의 크기는 어떻게 될까요? 얼핏보면 (2)식에서 r이 작아지므로 F가 커질것으로도 보여지기도 해요.

이게 맞을지 계속 알아보겠습니다.

2. 지구 내부에서의 중력

2-1. 구 껍질 내부의 중력

[그림 1]과 같이 이전 글에서는 구 껍질 외부의 중력을 계산했는데요. 이번에는 구 껍질 내부에서의 중력을 계산해보겠습니다.

아래 [그림 2]를 참고하세요.

[그림 1]과는 달리 질량 M인 구 껍질 속에 질량 m인 물체가 놓여있다고 생각해보세요.

[그림 1]의 상황에서는 r>R이었으나, [그림 2]의 상황에서는 r<R이 성립합니다. 그래서 구 껍질과 물체사이에 작용하는 힘을 표현하는 이전 글의 (13)식이 아래 (3)식과 같이 변경됩니다.

적분 구간을 제외한 나머지 부분은 모두 동일해요. 즉, 이전 글의 r-R이 R-r로, r+R이 R+r로 바뀌었어요.

\tag{3}
\begin{align}
F&={{Gm (4 \pi \rho R^2 )}\over{4R r^2 }} \int_{\color{red}R-r}^{\color{red}R+r} {{s^2 + r^2 -R^2}\over{s^2}}ds\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}} \int_{R-r}^{R+r} \Big( 1-{{R^2 - r^2}\over{s^2}} \Big) ds\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}} \Big[ s+ {{R^2 - r^2}\over{s}} \Big]_{R-r}^{R+r}\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}}\Big[(R+r) + {{(R+r)(R-r)}\over{R+r}}-(R-r)-{{(R+r)(R-r)}\over{R-r}} \Big]\\
&={{GmM}\over{4Rr^2}}\big(2R -2R\big)\\
&=0
\end{align}

결국 (3)식과 같이 구 껍질과 구 껍질 내부 물체사이에 작용하는 중력은 0이 됩니다.

2-2. 지구 내부에서의 중력

만일 지구 내부의 밀도가 깊이에 따라 달라지지 않고 일정한 값 \rho_{v}를 갖는다고 가정해보겠습니다. 그러면 반지름 r인 구형 부피가 차지하는 공간의 질량 M^\prime은 다음과 같습니다.

\tag{4}
\begin{align}
M^\prime &= 부피 \times 밀도 \\
&= \big({{4}\over{3}} \pi r^3 \big) \rho_v
\end{align}

이번에는 아래 [그림 3]과 같이 반지름 R인 지구 내부에 빈 공간이 존재하여 구 껍질이 있고, 빈 공간 안쪽에 질량이 M^\prime이고 반지름 r인 속이 꽉찬 물질이 있다고 생각해보세요.

이때 빈 공간내에 있는 질량 m인 물체에 작용하는 중력은 어떻게 될까요?

질량 m을 둘러싸고 있는 구 껍질이 아무리 크고 두꺼워도 위에서 설명드린바와 같이 안쪽에 있는 물체에 작용하는 중력은 0이 됩니다. 그러므로 구 껍질은 무시해도 상관없어요.

결국 물체에 작용하는 중력은 아래 (5)식과 같이 표현됩니다. 여기서 중력은 인력이기 때문에 보통 음수를 붙이지만 크기만 이야기 하므로 양수로 두겠습니다.

\tag{5}
\begin{align}
F&=G{{mM^\prime}\over{r^2}}\\
&=G{{m}\big({{{4}\over{3}}\pi r^3 \rho_v \big)}\over{r^2}}\\
&=\big({{4}\over{3}}Gm\pi \rho_v \big)r
\end{align}

(5)식의 결론과 같이 지구 내부에서의 중력 크기 F는 지구 중심으로부터의 거리 r에 비례하게 됩니다.

이번에는 지구 내부에서의 중력가속도 a를 구해 볼까요? 뉴턴 운동의 제2법칙에 따르면 F=ma이므로 (5)식으로부터 구하면 아래와 같습니다.

\tag{6}
a = \big({{4}\over{3}}G \pi \rho_v \big) r

(6)식과 같이 지구 내부에서의 중력가속도 a는 지구 중심으로부터의 거리 r에 비례합니다.

2-3. 지구 내부에서의 중력가속도

아래 [그림 4]는 지구 중심으로부터의 거리에 따른 중력 가속도(acceleration)의 변화를 나타냅니다. 참고로 지구 반지름은 약 6371 km 입니다.

그림에서 PREM (Preliminary reference earth model) 곡선은 교과서에서 배우는 지구 내부의 밀도변화를 고려하였을 때의 중력가속도 변화를 나타냅니다.

Linear density 곡선은 지구 내부에서 표면을 향하는 밀도가 선형적으로 감소한다고 근사했을 때의 중력가속도 변화입니다.

마지막으로 Constant density 곡선은 이번 글에서 가정한 것처럼 지구 내부 밀도가 일정하다고 가정했을때 나타나는 곡선으로 (6)식과 같이 반지름이 커질수록 중력가속도가 선형적으로 증가하는 것을 알 수 있습니다.

물론 지구표면에서는 공통적으로 9.8 m/s²의 중력가속도를 갖고 고도가 높아질수록 점점 감소합니다.

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