축전기의 방전 특성 : RC 회로

Last Updated on 2023-05-16 by BallPen

RC 회로에서 축전기의 방전 특성에 대해 알아봐요.

축전기의 방전 특성을 설명드립니다.

지난 글에서 설명드린 RC 회로에서의 축전기의 충전 특성과 비교하며 공부하면 아주 재미 있어요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. RC 회로

축전기의 방전 특성을 이해하기 위해서는 충전된 축전기 C가 있어야 하고 충전된 전하가 저항 R을 거치며 방전되는 RC회로가 필요합니다.

이때 저항 R은 도선에 존재하는 저항이거나, 전류의 양을 제어하기 위해 일부러 삽입된 저항일 수 있어요.

중요한 것은 저항은 항상 존재하기 때문에 축전기의 방전 특성을 이해하기 위해서는 저항이 반드시 고려되어야 한다는 거에요.

그렇다면 충전된 축전기와 저항이 연결된 RC 회로를 어떻게 만들 수 있을까요?

바로 아래의 [그림 1] 회로를 통해 만들어 낼 수 있어요.

그림 위쪽을 보면 스위치가 있어요. 현재 스위치가 A쪽으로 연결되어 있는데요. 이 상태에서 충분한 시간이 흐르면 축전기가 100% 충전된 정상상태에 도달하게 됩니다.

물론 축전기가 100% 충전되면 축전기 양단의 전압 V는 전원의 기전력 \epsilon과 같아집니다. 더욱 자세한 축전기의 충전 과정은 이전 글을 참고하기 바랍니다.

아무튼 충분한 시간이 지나면 그림의 중앙에 있는 축전기는 100% 충전됩니다. 그리고 이 상태에서 스위치를 B쪽으로 연결하면 축전기 C와 기전력원 \epsilon은 분리됩니다.

즉 기전력원 \epsilon과 R^ \prime으로 구성된 부분은 회로가 끊어져 전류가 흐를 수 없으므로 아무런 의미가 없어져요. 따라서 그 부분을 무시하면 바로 아래 [그림 2]와 같은 단순한 회로를 생각하실 수 있을 거에요.

이제 비로소 충전된 축전기 C와 저항 R로 구성된 RC 회로가 만들어졌습니다.

그럼 이제부터 스위치가 A에서 B로 연결된 순간을 t=0으로 약속하도록 하겠습니다.

또한 [그림 2]에 주어진 RC 회로의 과도상태와 정상상태에 대한 이야기를 시작하겠습니다.

보다 엄밀하고 구체적인 내용은 수식으로 전개해야 하지만 대략적인 내용을 설명하면 아래와 같아요.

1-1. 과도상태

[그림 2]는 축전기가 100% 충전되어 있는 상태에서 스위치가 B쪽으로 연결된 모습이라고 말씀드렸어요.

그러면 전압 V로 충전된 축전기는 저항 R을 거쳐 방전되기 시작합니다. 즉 과도상태가 시작되죠.

구체적으로 말씀드리면 축전기에 저장된 음전하, 즉 전자가 저항을 거쳐 축전기의 양으로 대전된 극판쪽으로 급격히 이동하며 축전기가 중성상태로 바뀌어 가는 것을 상상할 수 있을거에요.

따라서 축전기가 방전을 시작하는 t=0인 순간에 최대의 전류 I_0가 회로를 통해 흐르게 되는데요. 옴의 법칙을 적용하면 다음과 같습니다.

\tag{1}

I_0 = {V \over R}

그런데 이 초기 전류가 일정하게 유지되며 계속 흐를 수 없어요. 왜냐면 축전기가 방전될수록 회로를 지나가는 전자의 양이 적어지기 때문이에요. 또한 축전기에 저장된 전하가 중성상태로 계속 변하게 되므로 축전기 양단의 전압은 점점 감소합니다.

그래서 (1)식의 분자에 주어진 축전기 양단의 전압 V는 시간이 흐를 수록 점점 감소되고 회로를 통과하는 전류는 줄어들게 됩니다.

1-2. 정상상태

그렇다면 충분한 시간이 지나 과도상태가 종료되고 정상상태에 도달하면 [그림 2]의 회로를 통과하는 전류는 어떻게 될까요?

이미 예측한것처럼 축전기에 저장되었던 음전하가 저항을 거쳐 양전하와 모두 결합하여 중성상태로 바뀌게 됩니다. 이것을 우리는 축전기가 모두 방전되었다고 말합니다.

정상상태에 도달하여 축전기가 모두 방전되면 회로를 통과하는 전류는 0이 됩니다.

2. RC회로에서 축전기의 방전 특성

RC 회로를 통해 축전기가 방전되는 현상을 수학적으로 엄밀하게 전개하면 다음과 같습니다.

2-1. RC 회로를 통과하는 전류

다음 [그림 3]은 충전된 축전기 C와 저항 R로 구성된 RC 회로입니다. 이때 축전기 양단의 전압은 v에요.

RC 회로를 통과하는 전류를 구하기 위해 그림에서 abcda의 경로를 따라 키르히호프의 전압법칙을 적용하면 다음과 같습니다.

\tag{2}
v-iR   = 0

즉, 축전기 양단의 전압이 저항에서 강하됩니다. 한편 축전기 공식 q = C v을 적용하면 (2)식을 다음과 같이 변형할 수 있어요.

\tag{3}
{q \over C} - iR = 0

과도상태를 구하기 위해 (2)식의 양변을 시간으로 미분합니다. 그러면 시간에 따라 변하는 정보를 얻어낼 수 있어요.

\tag{4}
\begin{align}
&{d \over dt} \big( {q \over C} - iR \big) = 0\\[15pt]
&\Big({ \color{red}{{d 1/C} \over dt}} q + {1 \over C} \color{blue}{dq \over dt}\Big) \color{black}- \Big({di \over dt} R + i \color{red}{dR \over dt} \color{black}\Big) = 0\\
\end{align}

첫번째 줄에서 두번째 줄로 넘어갈 때 곱의 미분법이 적용되었어요.

그리고 두번째 줄에서 빨강색 부분은 0이 됩니다. 왜냐면 미분의 대상이 시간에 따라 변하지 않는 상수들이기 때문이에요.

아울러 파랑색 부분인 dq/dt는 전류의 정의에 해당하므로 i로 바꾸어 쓸 수 있습니다. 한편 축전기가 방전되면 시간이 흐를수록 축전기에 저장된 전하량 q가 점점 감소할 것을 예측할 수 있어요. 그래서 dq/dt에 음의 부호를 부여하여 최종적으로 다음과 같이 표기하겠습니다.

\tag{5}
{dq \over dt} =  - i 

(5)식을 (4)식에 대입하고 정리해볼께요.

\tag{6}
- {1 \over C} i  - R {di \over dt} = 0

(6)식은 전형적인 변수분리형 미분방정식입니다. 이 방정식을 풀기 위해 양변을 다음과 같이 변수분리합니다.

\tag{7}
{1 \over i} di = - {1 \over RC} dt

이제 양변을 적분합니다. 적분 구간은 전류의 경우 I_0에서 i까지, 시간의 경우 0에서 t까지로 설정하겠습니다.

\tag{8}
\begin{align}
\int_{I_0}^{i} {1 \over i} di &= - \int_0^t {1 \over RC} dt\\[15pt]
\Big[\ln i \Big]_{I_0}^i &= - {1 \over RC} \Big[t \Big]_0^t\\[15pt]
\ln {i \over I_0}&= - {1 \over RC} t
\end{align}

(8)식 가장 마지막 줄의 양변에 exponential을 취하면 다음과 같습니다.

\tag{9}
{i \over I_0} = e^{-{1 \over RC}t}

한편 t=0인 순간에 회로에 흐르는 초기전류 I_0는 (1)식으로 이미 주어져 있어요. 이를 (9)식에 대입하면 다음과 같습니다.

\tag{10}
i = {V \over R} e^{-{1 \over RC}t}

결국 RC회로에서 축전기가 방전되는 동안 회로를 통과하는 전류는 초기 V/R를 시작으로 지수함수적으로 감소되어 0으로 접근합니다.

하나의 예로써 (10)식에서 V = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

시간이 양수인 영역에 대한 곡선만이 의미가 있습니다. 따라서 t=0에서 회로에 흐르는 전류는 1.5 A로 최대값을 가진 후 시간이 흐를 수록 전류는 급격히 0으로 가까워집니다.

2-2. 저항에 걸린 전압

[그림 3]의 RC 회로에서 저항에 걸린 전압 V_R은 옴의 법칙을 적용하면 됩니다. 이때 전류 i는 (10)식의 결과를 그대로 활용하면 됩니다.

\tag{11}
\begin{align}
V_R &= iR\\[10pt]
&=\Big({V \over \cancel{R}} e^{-{1 \over RC}t}\Big) \cancel{R}\\[10pt]
&=V e^{-{1 \over RC}t}
\end{align}

여기서도 V = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 가정하여 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

t=0에서 저항 양단에는 축전기의 전압 15 V가 걸린 후 시간에 따라 전압이 감소합니다. 이때 전압이 감소하는 이유는 축전기가 방전되면서 축전기 양단의 전압이 작아지기 때문입니다.

2-3. 축전기에 걸린 전압

RC회로에서 축전기가 방전되는 동안 축전기에 걸린 전압 V_C는 저항에 걸린 전압 V_R과 같습니다.

\tag{12}
V_C = V_R

시간에 따른 축전기 양단의 전압 변화는 [그림 5]와 동일합니다.

2-4. 축전기에 저장된 전하량

축전기가 방전되는 동안 축전기에 저장된 전하량 q는 다음과 같이 구할 수 있습니다. 이때 V_C는 (11)식의 결과를 그대로 활용합니다.

\tag{13}
\begin{align}
q &= C V_C \\[5pt]
&=C \big(V e^{-{1 \over RC}t}\big)\\[5pt]
&=CV e^{-{1 \over RC}t}
\end{align}

V = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 가정하여 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같습니다.

3. 축전기가 방전 되는데 걸리는 시간

축전기가 모두 방전되는데 걸리는 시간은 시정수의 5배가 되는 시간으로 약속이 되어 있습니다.

RC회로의 시정수는 저항값 R과 C의 곱으로 정의됩니다.

예를 들어 V = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 가정한 경우 시정수 \tau를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{14}
\begin{align}
\tau &= RC\\
&=(10.0 ~\Omega)(3.30 \times 10^{-3}~\mathrm F)\\
&=3.30 \times 10^{-2}~\mathrm{s}
\end{align}

따라서 축전기가 모두 방전되는데 걸리는 시간은 t=5 \tau로서 다음과 같습니다.

\tag{15}
\begin{align}
t &= 5 \tau\\
&=5 \times (3.30 \times 10^{-2}~\mathrm{s})\\
&=0.165~\mathrm{s}
\end{align}

아래 [그림 7]은 축전기가 방전되는 동안 축전기에 저장된 전하량의 변화를 나타낸 것입니다.

(15)식에서 구한 것처럼 시정수의 5배인 0.165 s가 되면 축전기는 모두 방전된 것으로 간주됩니다.

또한 0.165 s 이전은 변화가 지속되는 과도상태이고 0.165 s를 초과하면 정상상태에 들어간 것으로 봅니다.

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