축전기의 충전 특성 : RC 회로

Last Updated on 2023-05-16 by BallPen

RC 회로에서 축전기의 충전 특성에 대해 알아봐요.

축전기의 충전 특성을 이해하기 위해서는 저항과 축전기가 직렬 연결된 RC 회로의 동작 원리를 알아야 합니다.

RC 회로란 저항 R과 축전기 C가 직렬 연결된 회로를 말하는데요. RC 회로에 기전력원(전원) \epsilon이 연결되면 축전기가 충전되면서 재미있는 특성들이 나타납니다.

예를 들어 100% 충전되는데 걸리는 시간, 시간에 따른 충전량의 변화, 시정수 등에 대한 개념들이 등장해요. 이 개념들을 함께 알아 봐요.

RC 회로에서 축전기의 방전 특성과 비교하며 공부하면 재미있어요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. RC 회로

RC 회로란 저항 R과 전기용량 C를 갖는 저항기와 축전기가 직렬 연결된 회로에요.

축전기의 동작 특성을 이해하기 위해서는 기전력원 \epsilon과 축전기 C만 있으면 될 것 같은데 저항 R이 함께 있어요.

그 이유는, 실제 회로에는 다양한 전기적 접촉이 있게 되는데 이때 전기 저항이 생깁니다. 물론 도선 그 자체도 값은 작을 지라도 저항이 항상 존재해요.

또한 전류의 크기를 조절하기 위해 직접 저항기를 삽입하는 경우도 있습니다.

이와 같이 저항은 어느 경우에든 항상 존재해요. 그래서 RC 회로가 가장 기본적 회로 중 하나가 되는거에요.

아래 [그림 1]은 RC 회로의 회로도입니다. 다시 한번 더 말씀드리면 R은 도선이 갖는 저항일수도 있으며, 직접 삽입된 저항기의 저항일 수 도 있다는 것을 꼭 기억하세요.

저항은 어디든 존재합니다.

RC 회로는 축전기의 충전 특성 때문에 재미있는 현상이 나타나요.

어떤때는 회로를 통과하는 전류가 시간에 따라 변하기도 하고, 어떤 때는 전류가 전혀 흐르지 않기도 해요.

이때 전류가 변하는 상태는 RC 회로가 과도적 상태에 있다고 해서 ‘과도상태(transient state, 혹은 과도응답, 과도현상)’라고 부릅니다. 반면에 시간과 무관하게 전류가 0으로 유지되는 상태는 RC 회로가 정상적 상태에 있다고 해서 ‘정상상태(steady state, 정상상태응답, 정상상태현상)’라고 합니다.

여기서 정상상태는 비정상이냐 정상이냐의 의미가 아닙니다. 멈추어 있는 고요한 상태를 한자로 정상상태라고 합니다.

결국, RC 회로에서 축전기의 충전 특성은 과도상태와 정상상태로 구분해서 이해해야 합니다.

1-1. 과도 상태(transient state)

과도 상태란 이미 말씀드렸듯이 무엇인가가 변하고 있는 상태를 말합니다. 그리고 이 상태가 종료되면 변하지 않는 정상적인 상태로 가게 되죠.

그렇다면 [그림 1]의 RC 회로에서 과도상태를 어떻게 만들 수 있을까요? 바로 스위치를 회로에 삽입하면 됩니다. 그리고 열려있던 스위치를 닫으면 과도상태가 시작됩니다.

아래 [그림 2]는 RC 회로에 스위치 S를 설치한 회로도에요.

이미 말씀드렸듯이 스위치 S를 닫으면 과도상태가 시작됩니다. 회로에 전류가 흐르기 시작하며 축전기가 충전되고 축전기와 저항 양단의 전압이 시간에 따라 변하게 되죠.

여러분들이 집중해서 이해해야 할 것은 스위치를 닫은 직후의 과도상태에서 회로에 흐르는 전류, 축전기 양단의 전압, 축전기에 저장되는 전하량, 저항에 걸린 전압 등이 시간에 따라 변한다는 것입니다.

스위치 S를 t=0인 순간에 닫았다고 생각해 보세요. 그러면 회로에는 I_0의 초기전류가 흐르기 시작합니다. 이때 I_0는 옴의 법칙에 따라 아래와 같이 주어집니다.

\tag{1-1}
I_0 = {V_{R} \over R} = { \epsilon \over R} 

그러면 저항 R에 걸린 전압(저항에서의 전압 강하) V_{R}은 다음 (1-2)식과 같습니다.

\tag{1-2}
V_{R} = I_0 R = \epsilon

(1-2)식에서와 같이 이 순간에 기전력원의 전압 \epsilon은 저항 양단에서의 전압강하 V_R과 같습니다.

이 의미는 이 순간에 축전기 양단의 전압 V_c는 0이 되어야 함을 뜻해요. 왜냐면 RC 직렬회로에서 저항에 걸린 전압 V_R과 축전기에 걸린 전압 V_c의 합은 기전력원의 전압 \epsilon과 같아야 하기 때문이에요.

그렇다면 스위치를 닫은 직후 왜 축전기 양단의 전압이 0 V일까요?

그 이유는 스위치를 닫은 직후 축전기에는 충전된 전하 q가 전혀 없어요. 그래서 축전기 양단의 전압은 0 V입니다.

\tag{1-3}
V_c = {q \over C} = {0 \over C} = 0 

하지만 시간이 흐를 수록 전류가 지속적으로 흘러 축전기에 전하 q가 쌓이고, 그러면 축전기 양단의 전압은 시간에 따라 점점 증가할 것을 예상할 수 있어요.

1-2. 정상 상태(steady state)

이번에는 스위치 S를 닫은 후 얼마의 시간이 지났다고 생각해보겠습니다. 그렇다면 이때 위에서 설명드린 (1-1)식, (1-2)식, (1-3)식은 어떻게 변해 있을까요?

우선 (1-3)식부터 말씀드리면, 예상했던 대로 시간이 경과될수록 축전기에 전하 q가 쌓이며 축전기에 걸린 전압 V_c가 점점 증가합니다. 그렇다면 언제까지 증가할까요?

바로 축전기에 걸린 전압 V_c가 기전력원의 전압 \epsilon과 같아질때까지 증가합니다. 이 말은 어느정도의 시간이 지나면 축전기에 저장되는 전하량 q가 더 이상 증가하지 않음을 뜻해요.

정리해서 말씀드리면 충분한 시간이 지나면 축전기는 더 이상 충전되지 않습니다. 그리고 이때 축전기 양단의 전압이 기전력원의 전압과 같아지는거에요. 축전기 양단의 전압은 절대로 기전력원의 전압을 초과하지 않아요.

바로 이러한 상태를 축전기가 100% 충전되었다고 말합니다.

결국 스위치를 닫은 후 어느 시간이 지나면 축전기에 걸린 전압 V_c는 기전력원의 전압 \epsilon과 같아지며 이 상태가 계속 유지됩니다.

\tag{1-4}
V_c = {q \over C} = \epsilon

이번에는 어느 시간이 지난 후 저항 양단의 전압은 어떻게 될까요?

축전기에 걸린 전압과 저항에 걸린 전압의 합이 기전력원의 전압과 같아야 합니다. 따라서 정상상태에서 축전기에 걸린 전압이 기전력원의 전압과 동일하다면 저항에 걸린 전압은 0이 되어야 합니다.

결국 (1-2)식의 저항에 걸린 전압 V_R은 다음과 같이 0 V가 됩니다. 그리고 이 상태가 계속 유지됩니다.

\tag{1-5}
V_{R} = 0~\mathrm{V}

마지막으로 회로를 통과하는 전류를 구해보겠습니다.

저항에 걸린 전압 V_R과 저항값 R을 옴의 법칙에 적용하면 되는데요, 저항에 걸린 전압이 0V이므로 저항을 통과하는 전류는 다음과 같이 0 A가 됩니다.

\tag{1-6}
I = {V_{R1} \over R} = { 0 \over R} =0 ~\mathrm{A}

지금까지의 내용을 정리하면, RC 회로에서 스위치가 닫히면 회로를 통과하는 전류는 초기에 최대값이 되고 나중에는 0 A가 됩니다. 축전기 양단의 전압은 초기에 0 V이고 나중에는 기전력원의 전압과 같아집니다. 저항 양단의 전압은 초기에 기전력원의 전압과 같고 나중에는 0 V가 됩니다.

지금까지 RC 회로의 과도상태와 정상상태를 간략히 설명드렸는데요. 구체적인 수학적 관계가 궁금하면 아래의 내용을 계속 보시면 도움이 될거에요.

꼭 노트 꺼내서 한번씩 써보는 것을 추천합니다.

2. RC 회로 특성

RC 회로를 수학적으로 해석하면 축전기의 충전 특성 등을 엄밀하게 이해할 수 있게 됩니다.

이를 위해 우선 RC회로를 통과하는 전류부터 구해봐야겠습니다.

2-1. RC 회로의 전류

아래 [그림 3]은 RC 회로입니다. 기전력원 \epsilon과 스위치 S가 달려 있어요.

RC 회로를 통과하는 전류 i를 구하기 위해 abcda의 경로를 따라 키르히호프 법칙의 고리법칙을 적용해볼께요. 그러면 아래 식과 같이 주어집니다.

\tag{2-1}
\epsilon - iR - {q \over C}=0

기전력원에서 생성된 전압 \epsilon이 저항 양단에서 iR 만큼, 축전기 양단에서 q/C만큼 강하됨을 뜻해요.

한편, 회로에서 일어나는 과도상태를 알아보기 위해 시간 t로 (2-1)식을 미분해봐요. 그러면 시간과 무관하게 변하지 않는 양은 미분과정에서 없어지고 시간에 따라 변하는 정보만을 얻어낼 수 있어요.

\tag{2-2}
\begin{align}
&{d \over dt}\big(\epsilon - iR - {q \over C}\big)=0\\
&\color{red}{{d \epsilon}\over{dt}} \color{black}- \big({{di}\over{dt}}R+i\color{red}{{dR}\over{dt}}\color{black}\big)-\big(\color{red}{{d ~1/C}\over{dt}}\color{black}q + {1 \over C} \color{blue}{{dq}\over{dt}}\color{black}\big) = 0
\end{align}

(2-2)식의 첫번째 줄에서 두번째 줄로 바뀔때 곱의 미분을 적용했어요.

그리고 두번째 줄에서 빨강색 부분은 0이 되는 부분입니다. 왜냐면 기전력 \epsilon, 저항 R, 전기용량의 역수 1/C이 모두 상수이기 때문에 시간으로 미분하면 0이 되기 때문입니다.

또한 (2-2)식에서 끝부분에 있는 파랑색 수식 부분은 순간전류의 정의에 해당하므로 전류 i로 바꿀 수 있어요.

식을 정리하면 다음의 미분방정식이 얻어집니다.

\tag{2-3}
-R {di \over dt} - {1 \over C} i=0

이 미분 방정식은 변수 분리가 가능한 변수분리형 미분방정식이에요. 양변을 변수 i와 t로 각각 분리해 보겠습니다.

다만 상수는 어느쪽으로 놓아도 상관없지만 편의상 t쪽에 두겠습니다.

\tag{2-4}
{1 \over i} di = - {1 \over RC} dt

이제 (2-4)식의 양변을 적분합니다. 전류의 적분구간은 I_0부터 i까지, 시간은 0부터 t까지로 설정하겠습니다.

\tag{2-5}
\int_{I_0}^i{1 \over i} di = - \int_{0}^t {1 \over RC} dt

\tag{2-6}
\big[\ln i \big]_{I_0}^{i} = - { {1}\over{RC}} \big[t\big]_0^t 

\tag{2-7}
\ln{i \over I_0}  = - { {1}\over{RC}} t 

(2-7)식의 양변에 exponential을 취해주면 다음과 같습니다.

\tag{2-8}
{i \over I_0} = e^{-{t \over RC}}

(2-8)식에서 I_0는 (1-1)식에 따라 \epsilon / R이고, i에 대해 정리하면 다음과 같이 시간의 함수로서 RC 회로를 통과하는 전류를 구할 수 있습니다.

\tag{2-9}
i = {\epsilon \over R} e^{-{t \over {RC}}}

윗식에서와 같이 t=0에서 스위치를 닫으면 전류는 \epsilon / R으로 시작하여 시간에 따라 지수적으로 감소합니다. 시간이 충분히 길어지면 지수항이 0에 접근하므로 전류 i는 0이 됩니다.

하나의 예로써, (2-9)식에서 \epsilon = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같아요.

t=0에 스위치를 닫았으므로 시간이 양수인 영역의 빨강색 곡선만 의미가 있습니다.

RC 회로에 흐르는 전류는 t=0에서 I_0 = 15.0~\mathrm{V} / 10.0~\Omega = 1.5~\mathrm{A}로 최대이고 시간이 흐를 수록 지수함수적으로 감소되어 어느 정도의 시간이 지나면 0이 됨을 알 수 있어요.

2-2. 저항에 걸린 전압

[그림 3]의 RC 회로에서 저항에 걸린 전압 V_R은 쉽게 구할 수 있습니다.

왜냐면 저항의 저항값 R을 이미 알고 있고, 저항을 통과하는 전류도 (2-9)식을 통해 알고 있기 때문이에요. 옴의 법칙에 따라 두 양을 곱하면 저항에 걸린 전압을 구할 수 있어요.

\tag{2-10}
\begin{align}
V_R &= iR\\
&=\Big({\epsilon \over \cancel R}e^{-{{t}\over{RC}}}\Big) \cancel R
\end{align}

\tag{2-11}
V_R = \epsilon e^{-{{t}\over{RC}}}

(2-11)식과 같이 t=0에 저항에 걸린 전압 V_R은 기전력원의 전압 \epsilon과 동일하며, 시간이 지날 수록 지수함수적으로 감소합니다.

예를 들어 \epsilon = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}을 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같아요.

(2-11)식에서와 같이 t=0에서 저항에 걸린 전압은 기전력원의 전압과 같은 15.0 V입니다. 그리고 시간에 따라 지수함수적으로 감소하여 결국 0 V가 됩니다.

여기서도 시간이 양수인 영역의 빨강색 곡선만 보세요. 시간이 음수인 영역의 곡선은 의미가 없습니다.

2-3. 축전기에 걸린 전압

RC직렬회로에서는 저항에 걸린 전압과 축전기에 걸린 전압의 합이 기전력원의 전압과 동일해야 합니다.

그러므로 기전력원의 전압 \epsilon에서 저항에 걸린 전압 V_R을 빼면 축전기에 걸린 전압 V_c를 아래와 같이 구할 수 있습니다.

\tag{2-12}
\begin{align}
V_c &= \epsilon - V_R\\
&=\epsilon - \epsilon e^{-{{t}\over{RC}}}
\end{align}

\tag{2-13}
V_c = \epsilon\big( 1 - e^{-{{t}\over{RC}}} \big)

앞에서와 동일하게 \epsilon = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}를 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같아요.

축전기 양단의 전압은 초기 0 V에서 지수함수적으로 증가하여 기전력원의 전압인 15.0 V가 된 후 계속 유지됩니다.

2-4. 축전기에 저장되는 전하량

이번에는 축전기에 저장되는 전하량의 시간에 따른 변화를 구해보겠습니다.

전하량 q는 전기용량 C와 (2-13)식의 축전기에 걸린 전압 V_c의 곱으로 주어지므로 다음과 같이 구할 수 있습니다.

\tag{2-14}
\begin{align}
q &= C V_c\\
&=C\Big(\epsilon\big(1-e^{-{{t}\over{RC}}}\big)\Big)
\end{align}

\tag{2-15}
q = C\epsilon \Big(1-e^{-{{t}\over{RC}}}\Big)

앞에서와 동일하게 \epsilon = 15.0~\mathrm{V}, R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}을 대입하고 그래프를 그려보면 다음과 같아요.

t=0에서 축전기에 저장된 전하량은 0 C이며 시간이 지날수록 지수함수적으로 증가되어 최종값은 C \epsilon = (3.30 \times 10^{-3} ~\mathrm{F})(15.0~\mathrm{V})=0.0495~\mathrm{C}이 됩니다.

3. 축전기의 충전 특성 대표값 : 시정수

앞에서 보았듯이, 스위치를 닫은 직후 과도상태에서 RC 회로를 통과하는 전류, 저항에 걸린 전압, 축전기에 걸린 전압, 축전기에 저장되는 전하량은 모두 시간에 대해 지수함수적으로 변합니다.

그런데 지수 함수는 특정한 극한 값을 향해 수렴하기는 하나 절대로 그 값에 도달하지 않아요. 예를 들어 [그림 7]에서 축전기에 저장된 전하량은 시간이 지날수록 수렴하여 0.0495 C의 극한 값에 가까워지기는 하지만 절대로 0.0495 C이 되지는 않습니다.

그렇다면 축전기에 저장된 전하량은 언제 과도상태가 종료되고 정상상태가 되는 걸까요?

수학적으로 보면 값이 계속 변하므로 무한히 과도상태가 지속됩니다. 이러한 문제를 해결하기 위해 시정수(또는 시간정수, 특성시간)라는 개념을 도입했어요.

결론부터 말씀드리면 시정수의 다섯배의 시간이 지나면 과도상태가 종료되고 정상상태가 된 것으로 약속이 되어 있어요.

RC 회로에서 시정수는 저항값 R과 전기용량 C의 곱으로 정의됩니다.

\tag{3-1}
\tau = RC

예를 들어, 어느 RC 회로에서 R=10.0~\Omega, C=3.30~\mathrm{mF}이라면 시정수는 다음과 같이 구해집니다.

\tag{3-2}
\tau = (10.0~\Omega)(3.30 \times 10^{-3}~\mathrm{H}) = 3.30\times10^{-2}~\mathrm{s}

결국 시정수의 5배의 시간인 5 \tau는 0.165 s가 됩니다. 스위치를 닫은 후 이 시간이 경과하면 과도상태가 종료되고 정상상태가 된 것으로 간주됩니다.

아래 [그림 8]은 0.165 s를 기준으로 왼쪽이 과도상태, 오른쪽이 정상상태임을 나타내고 있습니다. 정상상태에 도달하면 축전기가 100% 충전된 것으로 간주됩니다.

이와 같이 시정수는 지수함수적으로 변하는 어떤 양이 얼마나 빠르게 정상상태에 도달하는지를 나타내는 대표값으로 많이 사용됩니다. 시정수가 작을 수록 정상상태에 빨리 도달해요.

다음 글에서는 RC 회로에서 축전기의 방전 특성을 소개합니다.

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