환산질량(Reduced mass)

Last Updated on 2023-08-07 by BallPen

환산질량이란 무엇이고 환산질량 공식은 어떻게 유도될까요?

환산질량(reduced mass)이란 질량을 갖는 두 물체가 서로 상호작용하며 운동할 때, 이를 단순화하여 한 물체의 운동으로 변환하는 과정에서 도출되는 질량을 환산질량이라 합니다.

두 물체의 질량을 m_1, m_2라 할때, 환산질량 \mu 다음과 같아요.

\tag{D1}
\mu = {{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}}

(D1)식을 보아서는 환산질량을 직관적으로 이해하기 어렵습니다. 그래서 이번 글에서는 환산질량의 개념을 최대한 이해하기 쉽게 설명해 보고자 합니다.

아울러 개념 이해가 끝나면 환산질량을 구하는 공식도 유도해 볼께요.

충분히 이해할 수 있으니 편하게 읽어주세요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 환산질량의 개념

환산질량은 두 물체사이의 만유인력과 이로 인한 두 물체의 가속도를 구해야 구체적으로 설명드릴 수 있습니다. 각각을 구해볼께요.

1-1. 두 물체 사이에 작용하는 만유인력

질량을 갖는 두 물체의 중심부터 중심까지 떨어진 거리에 의존하는 힘을 중심력이라고 합니다.

예를 들어 아래 [그림 1]처럼 질량 m_1, m_2인 두 물체의 중심부터 중심까지 떨어진 거리를 r이라고 해봐요.

그러면 두 물체사이에는 만유인력이 작용합니다.

즉 질량 m_1인 물체가 질량 m_2인 물체를 당기게 되는데요. 그 힘 F_{12}의 크기를 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

\tag{1-1}
F_{12} = G{{m_1 m_2}\over{r^2}}

여기서 G=6.67 \times 10^{-11}~\mathrm{N \cdot m^2 / kg^2}로서 만유인력 상수라고 합니다.

(1-1)식에 주어진 힘은 뉴턴운동의 제3법칙인 ‘작용과 반작용의 법칙’에 의해 질량 m_2인 물체가 m_1인 물체를 당기는 힘의 크기와 같습니다. 그러나 방향은 서로 반대방향이에요.

\tag{1-2}
F_{21} = G{{m_1 m_2}\over{r^2}}

여기서 두 질량의 중심간의 거리를 측정하는 이유는 부피를 갖는 물체간의 만유인력은 물체의 질량이 한 점에 모여 있는 것으로 간주하여 계산할 수 있기 때문입니다.

(1-1), (1-2)식과 같이 어떤 물체에 힘이 작용하면 뉴턴 운동의 제2법칙에 의해 그 물체는 가속도 운동을 하게 됩니다.

적당한 변수값들을 대입하여 [그림 1]에 주어진 두 물체의 가속도를 구해볼까요?

1-2. 두 물체의 가속도

[그림 1]에서 m_1 = 6.00 \times 10^{24}~ \mathrm{kg}, m_2 = 3.00 \times 10^{-1} \mathrm{kg}이라고 해보겠습니다. 그리고 두 물체 중심사이의 거리는 r=6400 \times 10^{3} ~\mathrm{m}입니다.

하나는 질량이 큰데요. 지구의 질량값이에요. 그리고 다른 하나는 사과의 질량입니다. 아래 [그림 2]는 이러한 상황을 그림으로 표현한거에요.

[그림 2]에서 지구가 사과를 당기는 F_{12}의 크기를 구하면 아래와 같습니다.

\tag{1-3}
\begin{align}
F_{12} &= (6.67 \times10^{-11}~ \mathrm{N \cdot m^2 /kg^2}){{(6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg})(3.00 \times 10^{-1}~\mathrm{kg})}\over{(6400 \times 10^3~ \mathrm{m}})^2}\\[10pt]
&= 2.93~\mathrm{N}
\end{align}

그래서 사과가 지구로 떨어지는 가속도는 다음과 같이 중력가속도 값이 나옵니다.

\tag{1-4}
\begin{align}
a_2 = {F_{12} \over{m_2}} &= {{2.93~\mathrm{N}}\over{3.00 \times 10^{-1}~\mathrm{kg}}}\\[10pt]
&=9.8~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

이번에는 사과가 지구를 당기는 힘의 크기 F_{21}를 생각해 보겠습니다. 힘의 크기는 (1-3)식의 결과와 동일하지만 방향만 반대에요. 그러므로 F_{21}의 크기는 다음과 같아요.

\tag{1-5}
\begin{align}
F_{21} &= 2.93~\mathrm{N}
\end{align}

그렇다면 (1-5)식의 힘에 의해 지구가 사과쪽으로 떨어지는 가속도는 얼마일까요? 바로 아래의 (1-6)식과 같아요.

\tag{1-6}
\begin{align}
a_1 = {F_{21} \over{m_2}} &= {{2.93~\mathrm{N}}\over{6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg}}}\\[10pt]
&=4.9 \times10^{-25}~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

사과가 갖는 가속도에 비해 지구의 가속도는 매우 작아요. 그 이유는 지구의 질량이 사과에 비해 아주 크기 때문이에요.

지금까지 지구와 사과사이에 작용하는 만유인력의 크기와 이로 인해 나타나는 두 물체의 가속도를 구해봤는데요. (1-3)식에서부터 (1-6)식까지 구한 값들은 모두 정확하고 올바른 값입니다.

이 문제를 풀기 위해 우리는 원점을 지구도 아니고 사과도 아닌 제3의 위치에 두고 문제를 푼 것에 해당합니다. 그래서 두 물체사이에 작용하는 힘과 가속도를 정확히 구할 수 있었던 거에요.

그런데 만일 원점을 제3의 위치가 아닌 지구나 사과에 둔다면 어떻게 될까요? 이때 환산질량의 개념이 등장합니다.

1-3. 환산질량

[지구와 사과처럼 질량차이가 아주 큰 경우의 환산질량]

위에서 설명한 것처럼 이번에는 지구에 있는 사람 입장에서 사과의 운동을 관찰한다고 생각해봐요.

단, 사람은 자신이 지구위에 있으므로 사과쪽으로 가속되고 있는지 모른다고 가정해야 해요. 단지 사과가 지구쪽으로 떨어지는 가속도만 관찰할 수 있다고 생각해 보세요.

그렇다면 지구에 있는 사람이 관찰하는 사과의 가속도는 얼마일까요? 바로 (1-4)식과 (1-6)식에서 구한 가속도의 합으로 사과가 지구로 떨어진다고 보게 될거에요.

\tag{1-7}
\begin{align}
a &= (9.8~\mathrm{m/s^2}) + (4.9 \times 10^{-25}~\mathrm{m/s^2}) \\[5pt]
& \approx 9.8~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

그 결과 (1-7)식처럼 사과의 가속도는 중력가속도로 떨어진다고 생각할 것입니다.

그런데 (1-7)식에 주어진 가속도가 지구가 사과를 당기는 만유인력인 (1-3)식에 의해 나타나는 것임을 사람이 알고 있다면 사람은 사과의 질량을 다음과 같이 계산할거에요.

\tag{1-8}
\begin{align}
m &={{F}\over{a}} \\[5pt]
&={{2.9~\mathrm{N}}\over{9.7~\mathrm{m/s}}}\\[5pt]
&\approx3.0 \times10^{-1}~ \mathrm{kg}
\end{align}

바로 사과의 질량값이 나오게 됩니다.

이 결과가 당연하게 생각되시나요? 그렇다면 하나만 더 생각해보세요.

이번에는 사과위에 여러분들이 올라가 있고 반대로 지구를 관찰한다면 지구의 질량은 얼마로 계산될까요? 이때도 본인이 타고 있는 사과는 가속되는지 모르고 단지 지구가 사과쪽으로 떨어진다고 관찰하게 될거에요

사과가 지구를 2.93 N으로 당기는 것을 이미 알고 있다면, 사과위에 있는 사람 입장에서는 지구가 9.8~\mathrm{m/s^2}으로 떨어진다고 관찰할거에요. 그러면 지구의 질량은 (1-8)식처럼 사과의 질량과 동일하게 계산됩니다.

이와 같이 지구와 사과 사이의 상호작용에 의한 이체문제를 지구 또는 사과 입장에서의 일체문제로 단순화하는 과정에서 질량값이 달라지게 계산되는데요. 이때의 질량이 환산질량입니다.

즉, 지구의 입장에서 관찰한 사과의 환산질량은 사과의 질량과 근사적으로 같아요. 반대로 사과의 입장에서 관찰한 지구의 환산질량도 사과의 질량과 같습니다.

이렇게 구한 환산질량을 \mu로 표기하면 다음과 같아요.

\tag{1-9}
\mu=3.0 \times 10^{-1}~\mathrm{kg}

[질량이 서로 같은 경우의 환산질량]

이번에는 [그림 1]에서 m_1 = 6.00 \times 10^{24} ~\mathrm{kg}, m_2 = 6.00 \times 10^{24}~ \mathrm{kg}이라고 해보겠습니다. 그리고 두 물체 중심사이의 거리는 r=6400 \times 10^{3} ~\mathrm{m}입니다.

즉 두 물체의 질량이 서로 같아요. 이 경우 환산질량은 얼마로 나타날까요.

우선 원점을 제3의 곳에 두고 두 물체 사이에 작용하는 만유인력과 가속도의 크기를 구해보겠습니다.

서로 상대 물체에 작용하는 만유인력 F_{12}와 F_{21}의 크기는 서로 같아요.

\tag{1-10}
\begin{align}
F_{12} = F_{21} &= (6.67 \times10^{-11}~ \mathrm{N \cdot m^2 /kg^2}){{(6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg})(6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg})}\over{(6400 \times 10^3~ \mathrm{m}})^2}\\[10pt]
&= 5.86 \times 10^{25}~\mathrm{N}
\end{align}

이번에는 두 물체의 가속도의 크기를 구하면 되는데요. 작용하는 힘의 크기가 서로 같고 질량도 같으므로 가속도의 크기도 서로 같습니다. 다만 가속도의 방향은 서로가 가까워지는 방향이라는 것을 기억하세요.

\tag{1-11}
\begin{align}
a_1 = a_2 &= {{5.86 \times 10^{25}~\mathrm{N}}\over{6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg}}}\\[10pt]
&=9.77 ~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

(1-10)식과 (1-11)식으로 구한 값들은 모두 정확한 값들입니다.

그런데 만일 질량 m_1인 물체에 사람이 타고 있고 질량 m_2인 물체를 관찰한다면 그 사람이 관찰하는 질량 m_2 물체의 가속도는 얼마일까요?

네 맞습니다. 바로 (1-11)식에 주어진 가속도의 2배 값으로 가까워진다고 관찰하게 될거에요. 왜냐면 서로 상대방을 향해 같은 크기의 가속도로 가속되기 때문이에요.

\tag{1-12}
a = 2(9.77~\mathrm{m/s^2}) = 19.5~\mathrm{m/s^2}

그렇다면 (1-12)식에 주어진 가속도와 (1-10)식으로 주어진 만유인력을 적용하여 질량 m_2인 물체의 환산질량값을 계산하면 얼마가 될까요?

계산해보겠습니다.

\tag{1-13}
\begin{align}
m &= {{F}\over{a}}\\[10pt]
&={{5.86 \times 10^{25}~\mathrm{N}}\over{19.5~\mathrm{m/s^2}}}\\[10pt]
&\approx3.0 \times 10^{24}~\mathrm{kg}
\end{align}

환산질량 값은 놀랍게도 실제 질량값의 절반이 나옵니다. 물론 질량 m_2인 물체에서 질량 m_1인 물체의 환산질량을 구해도 동일한 결과가 나옵니다.

여기서 중요한 것은 원래의 질량값이 잘못되었다고 생각하면 안됩니다. 단지 관찰자의 입장에서 물체의 운동을 분석했을 때 환산질량 값으로 관찰되고 계산된다는 것 뿐입니다.

2. 환산질량 관계식

2-1. 관계식 유도

지금까지 환산질량의 개념을 알아보았습니다. 이미 설명드린바와 같이 환산질량이란 이체문제를 일체문제로 단순화하는 과정에서 구해지는 질량 값입니다.

두 물체간의 질량차이가 큰 경우 환산질량은 질량이 작은 물체로 나타나고, 두 물체의 질량이 서로 같은 경우 환산질량은 원래 질량의 절반 값으로 나타나게 됩니다.

이번에는 이러한 환산질량 값을 손쉽게 구할 수 있는 관계식을 유도하겠습니다. 관계식을 구해 놓으면 필요한 경우 언제든지 적용해서 사용할 수 있잖아요.

아래 [그림 4]에는 질량 m_1, m_2인 두 물체가 있어요.

이때 질량 m_2에서 m_1을 향하는 위치벡터가 \vec{R}, 두 물체의 질량중심 cm (center of mass)에서 m_1의 위치벡터를 \bar{r_1}, m_2의 위치벡터를 \bar{r_2}로 표기하였습니다.

여기서 질량중심이란 두 물체를 질량이 없는 막대로 끼워 회전시킬 때 회전의 중심이 되는 위치를 질량중심 점이라고 이해하시면 편리합니다. 그러므로 두 물체 질량의 중심이 되는 한 지점을 뜻하는 거에요.

그래서 만일 저 질량점 cm에 삼각 받침이 있다고 했을 때 양쪽 질량점에 어떤 임의의 중력이 아래쪽으로 가해져도 어느 쪽으로도 기울어지지 않아요. 마치 시소가 평형상태로 있는 것과 같아요.

이를 토크(torque)의 개념을 적용하여 수식으로 기술하면 아래와 같습니다.

\tag{2-1}
\vec\tau_1 = -\vec \tau_2

그러므로 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{2-2}
\begin{align}
\vec\tau_1 + \vec\tau_2 &= \color{black}(\bar{r_1}\times \vec F_1^{\prime}) + (\bar r_2 \times \vec F_2^{\prime})\\
&\color{red}=(\bar r_1 \times m_1 \vec g^{\prime} ) + (\bar r_2 \times m_2 \vec g^{\prime} )
=0
\end{align}

이때 임의의 중력가속도 g^{\prime}은 크기와 방향이 같으므로 약분될 수 있어, (2-2)식의 빨강색 수식은 다음 (2-3)식과 같이 일반적으로 표현될 수 있습니다. 여기서 주의할 것은 \bar r_1과 \bar r_2는 서로 방향이 반대인 벡터라는 거에요. 스칼라가 아닙니다.

\tag{2-3}
\color{blue}m_1 \bar r_1 + m_2 \bar r_2 = 0

한편 m_2에서 m_1을 향하는 위치벡터 \vec R은 다음과 같이 표현될 수 있습니다. 그리고 (2-3)식의 \bar r_2를 대입하여 정리합니다.

\tag{2-4}
\begin{align}
\vec R &= \bar r_1 - \bar r_2\\[5pt]
&=\bar r_1 - \big( - {{m_1}\over{m_2}} \big) \bar r_1\\[5pt]
&=\bar r_1 \big( 1+{{m_1}\over{m_2}}\big)\\[/5pt]
\end{align}

그러므로 (2-4)식을 \bar r_1에 대해 정리하면 아래와 같습니다.

\tag{2-5}
\begin{align}
\bar r_1 = {{\vec R}\over{1+{{m_1}\over{m_2}}}} = {{m_2}\over{m_1 + m_2}}\vec R
\end{align}

질량 중심 cm에서 본 질량 m_1인 물체의 운동방정식은 다음과 같아요. a_1은 물체 m_1의 가속도이고, f(R)은 중심력, 즉 (1-1)식에 주어진 만유인력의 크기이고, \hat {e_R}은 두 물체가 가까워지는 중심방향의 단위벡터라고 하겠습니다.

\tag{2-6}
\begin{align}
m_1 a_1 = f(R)\hat{e_R}
\end{align}

(2-6)식을 구체적으로 풀어서 쓰면 다음과 같아요. 이때 (2-5)식을 적용하였습니다.

\tag{2-7}
\begin{align}
m_1 {{d^2 \bar r_1}\over{dt^2}} = \color {blue}m_1 {{d^2}\over{dt^2}}\Big({{m_2}\over{m_1+m_2}} \vec R \Big) = f(R) \hat {e_R}
\end{align}

(2-7)식에서 파랑색 수식 부분을 다시 정리하면 아래와 같습니다.

\tag{2-8}
{{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}} {{d^2 \vec R}\over{dt^2}} = \mu {{d^2R}\over{dt^2}} = f(R)\hat {e_R}

결국 (2-8)식에서 방향을 무시하고, {{d^2 \vec R}\over{dt^2}}은 질량 m_2에서 바라본 질량 m_1의 가속도이므로 이를 a라고 표기한다면 다음과 같아요.

\tag{2-9}
f(R) =  \Big({{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}}\Big) a = \mu a

다시 한번 더 말씀드리면 f(R)은 (1-1)식에 주어진 만유인력의 크기라고 생각하면 됩니다.

이렇게 해서 환산질량 공식을 유도했습니다.

\tag{2-10}
\mu = {{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}}

2-2. 관계식 적용

(2-10)식에 환산질량 공식을 적어 놓았는데요. 이 공식을 적용하면 위에서 우리가 계산했던 값들이 정말 도출되는지 알아보겠습니다.

[질량차이가 아주 클 때]

위에서 지구와 사과사이의 환산질량을 구했습니다.

이때 m_1 = 6.00 \times 10^{24}~ \mathrm{kg}, m_2 = 3.00 \times 10^{-1} ~\mathrm{kg}으로 가정했어요. 이 값을 (2-10)식에 대입해 보겠습니다.

\tag{2-11}
\begin{align}
\mu &= {{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}}\\[10pt]
&={{(6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg}) (3.00 \times 10^{-1} \mathrm{kg})}\over{(6.00 \times 10^{24} ~\mathrm {kg}})+(3.00 \times 10^{-1} \mathrm{kg})}\\[10pt]
&\approx 3.00 \times10^{-1}~\mathrm{kg}

\end{align}

그 결과 (1-9)식과 동일한 환산질량이 도출되었습니다.

[질량이 동일할 때]

이번에는 질량이 서로 같은 경우도 환산질량 공식에 적용해보겠습니다.

m_1 = 6.00 \times 10^{24} ~\mathrm{kg}, m_2 = 6.00 \times 10^{24} ~\mathrm{kg}인 경우를 보겠습니다. 이 경우 환산질량은 (1-13)식 처럼 원래 질량의 절반값이 도출되었었는데요.

환산질량 공식에 질량값을 대입하고 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{2-12}
\begin{align}
\mu &= {{m_1 m_2}\over{m_1 + m_2}}\\[10pt]
&={{(6.00 \times 10^{24}~\mathrm{kg}) (6.00 \times 10^{24} \mathrm{kg})}\over{(6.00 \times 10^{24} ~\mathrm {kg}})+(6.00 \times 10^{24} \mathrm{kg})}\\[10pt]
&= 3.00 \times10^{24}~\mathrm{kg}

\end{align}

그 결과 원래질량 값의 절반이 환산질량 값으로 계산되었습니다. (1-13)식의 결과와 동일한 값인 것을 확인할 수 있어요.

따라서 (2-10)식의 환산질량 공식이 정말 성립한다는 것을 알 수 있습니다.

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