1계 선형 미분방정식 풀이 방법

BallPen · 2023-02-13T22:19:24+09:00

1계 선형 미분방정식 풀이 방법입니다. 1계 선형 미분방정식은 제차 선형 미분방정식과 비제차 선형 미분방정식으로 구분할 수 있어요. 제차 선형 미분방정식은 변수분리형 미분방정식의 풀이법을 적용하고 비제차 선형 미분방정식은 적분인자를 구하여 풀이합니다.

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

1계 선형 미분방정식의 풀이 원리를 이해하고 예제를 풀어봅니다.

1계 선형 미분방정식(First Order Linear Differential Equations) 이란 종속변수가 한번 미분되고, 종속변수와 그 도함수의 계수가 독립 변수에만 의존하는 미분방정식을 말합니다.

그리고 위 조건에 부합하는 미분방정식을 특별한 형태로 정리한 것을 ‘1계 선형 미분방정식의 표준형’이라고 합니다.

이번에는 1계 선형 미분방정식의 표준형을 어떻게 푸는지 그 원리를 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다

Contents [hide]

1. 1계 선형 미분방정식 표준형
2. 1계 선형 미분방정식 풀이 방법
- 2-1. 제차형 1계 선형 미분방정식
- 2-2. 비제차형 1계 선형 미분방정식
  - [적분인자 구하기]
  - [적분인자로 일반해 구하기]
3. 1계 선형 미분방정식 풀이 예제

1. 1계 선형 미분방정식 표준형

앞에서 말씀드렸듯이 1계 선형 미분방정식을 특별한 형태로 표현한 것을 ‘1계 선형 미분방정식의 표준형’이라고 하며 다음의 모양을 갖습니다.

\tag{1} {{dy \over dx} + p(x)y = r(x)}

(1)식과 같이 표준형은 종속변수 $y$ 의 1계 도함수로 구성되어 있으면서, 종속변수의 계수가 독립변수 $x$ 의 함수로 이루어져 있어요.

이때 우변이 $r(x)=0$ 이면 ‘제차형 1계 선형 미분방정식’이라 하고, $r(x) \ne 0$ 이면 ‘비제차형 1계 선형 미분방정식’이라 합니다.

그러면 다음 식의 1계 선형 미분방정식을 표준형으로 바꾸어 보세요. 여기서 표준형으로 굳이 바꾸는 이유는 1계 선형 미분방정식의 해법이 표준형에 맞추어져 있기 때문이에요.

\tag{2} x {dy \over dx} - 4 y = x^6 e^x

(2)식을 표준형으로 바꾸면 다음과 같습니다. $dy / dx$ 의 계수인 $x$ 로 양변을 나누면 되는 거죠.

\tag{3} \begin{align} {dy \over dx} - {4 \over x}y = x^5 e^x \end{align}

(3)식의 $-4 / x$ 는 표준형에서 $p(x)$ 에 해당하고, $x^5 e^x$ 는 $r(x)$ 에 해당합니다.

2. 1계 선형 미분방정식 풀이 방법

지금까지 1계 선형 미분방정식의 표준형에 대해 알아봤습니다. 이제부터는 이 미분방정식의 풀이 방법을 알아보죠.

제차형과 비제차형을 구분하여 설명드립니다.

2-1. 제차형 1계 선형 미분방정식

제차형 1계 선형 미분방정식의 표준형은 다음과 같습니다.

\tag{4} {dy \over dx} + p(x)y =0

이 식을 풀기 위해서는 변수분리형 미분방정식 풀이 방법 처럼 (4)식을 다음과 같이 변수분리합니다.

\tag{5} {1 \over y} dy = -p(x)dx

그리고는 (5)식의 양변을 적분합니다.

\tag{6} \int {1 \over y} dy = - \int p(x)dx

\ln {|y|} +c_1 = - \int p(x)dx

\ln |y| = -\int p(x)dx +(-c_1)

그리고 양변에 exponential을 취합니다. 이때 상수 $c_1$ 에 음수가 붙은 것도 또하나의 상수일 뿐이므로 이를 $c_2$ 로 표현하였습니다.

\tag{7} \begin{align} y &= e^{- \int p(x)dx + c_2}\\ &=e^{c_2} e^{-\int p(x)dx} \end{align}

여기서도 상수 $c_2$ 에 exponential을 취한 $e^{c_2}$ 도 또 하나의 상수가 될 뿐입니다. 그래서 $e^{c_2}$ 를 $c$ 로 바꿀 수 있습니다.

결국 (4)식의 일반해는 다음과 같습니다.

\tag{8} y = c e^{-\int p(x)dx}

물론 상수 $c$ 는 초기조건이 주어지면 구할 수 있습니다.

2-2. 비제차형 1계 선형 미분방정식

비제차형 1계 선형 미분방정식의 표준형은 다음과 같습니다.

\tag{9} {dy \over dx} + p(x)y = r(x)

그러면 (9)식을 다음과 같이 정리할 수 있을 거에요.

p(x)y-r(x) = -{dy \over dx}\\

\tag{10} \Big(p(x)y - r(x) \Big) dx + dy = 0

(10)식을 자세히 보면 완전미분방정식의 형태를 갖습니다. 그런데 이것이 정말 완전미분방정식인지 아니면 불완전미분방정식인지 확인해 볼 필요가 있어요.

이 확인방법이 잘 기억나지 않으면 완전미분방정식 풀이 방법을 참고하시기 바랍니다.

우선 (10)식을 다음과 같이 표현해볼께요.

\tag{11} M(x,y) dx + N(x,y) dy =0

그리고 $M(x,y)$ 와 $N(x,y)$ 를 각각 $y$ 와 $x$ 로 편미분 합니다. 그리고 그 두 결과가 서로 같으면 (10)식은 완전미분방정식이라는 의미를 갖죠.

확인해 보겠습니다.

\tag{12} {{\partial M(x,y)} \over {\partial y}} = {{\partial \big(p(x)y - r(x)\big)}\over{\partial y}} = p(x)

\tag {13} {{\partial N (x,y)}\over{\partial x}} = {{\partial 1}\over{\partial x}} = 0

그 결과 (12)식과 (13)식을 비교해 보니 그 결과값이 서로 다르다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 (10)식이 완전미분방정식이 아닌 불완전미분방정식임을 뜻해요.

이제부터는 불완전미분방정식 풀이 방법을 적용합니다. 여기서는 적분인자가 $x$ 만의 함수로 되어 있다고 해보겠습니다.

[적분인자 구하기]

불완전미분방정식 풀이 방법에 따르면 적분인자 $F(x)$ 는 다음과 같습니다.

\tag{14} F(x) = \exp\Big( \int {{1}\over{N(x,y)}} \big( {{\partial M (x,y)}\over{\partial y}} - {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} \big) dx \Big)

(14)식에 관련된 요소들을 대입하여 적분인자를 구합니다.

\tag{15} \begin{align} F(x) &= \exp \Big( \int {1 \over 1} \big( {{\partial(p(x)y - r(x))}\over{\partial y}} - {{\partial 1}\over{\partial x}} \big) dx \Big)\\ &=\exp \Big(\int p(x) dx \Big) \end{align}

[적분인자로 일반해 구하기]

(15)식과 같이 적분인자를 구했으니 이제 일반해를 구하면 됩니다. 이를 위해 (15)식의 적분인자를 (9)식의 양변에 각각 곱하고 정리합니다.

우선 좌변부터 정리해볼께요.

\tag{16} \begin{align} e^{\int p(x)dx} \Big( {{dy}\over{dx}} + p(x)y\Big) = {dy \over dx} e^{\int p(x) dx} + \color {blue}y p(x)e^{\int p(x)dx} \end{align}

이때 $e^{\int p(x)dx}$ 를 $e^t$ 로 치환하고, 그리고 $e^t$ 를 $g$ 로 다시 한번 더 치환하겠습니다. 그리고 $g$ 를 $x$ 로 미분하면 다음과 같습니다.

\tag{17} \begin{align} {d \over dx}(e^{\int p(x)dx} )= {d e^t \over dx}= {dg \over dx} = {dg \over dt} {dt \over dx} &= e^t {d \over dx} (\int p(x)dx)\\ &=e^{\int p(x) dx} p(x) \end{align}

(17)식의 결과를 (16)식의 파랑색 부분에 대입합니다. 그러면 다음과 같이 정리될 수 있어요.

\tag{18} \begin{align} e^{\int p(x)dx} \Big( {{dy}\over{dx}} + p(x)y\Big) &= {dy \over dx} e^{\int p(x) dx} + \color {blue}y p(x)e^{\int p(x)dx}\\ &={dy \over dx} e^{\int p(x) dx} + y {{d}\over{dx}}(e^{\int p(x)dx})\\ &={d \over dx} \big( y e^{\int p(x)dx}\big) \end{align}

이번에는 (15)식의 적분인자를 (9)식의 우변에 곱해 줍니다. 그러면 다음과 같아요.

\tag{19} e^{\int p(x)dx} r(x)

이제 (18)식과 (19)식은 서로 같아야 합니다. 왜냐면 (9)식의 양변에 동일한 적분인자를 각각 곱해주었기 때문이죠.

두 식을 같게 놓으면 다음과 같습니다.

\tag{20} \begin{align} &{d \over dx} \big( y e^{\int p(x)dx} \big) = e^{\int p(x)dx} r(x)\\ &d \big( e^{\int p(x)dx} y\big) = e^{\int p(x)dx} r(x) dx \end{align}

그리고 (20)식의 양변을 적분해봐요.

\tag{21} \begin{align} \int d\big( e^{\int p(x)dx}y \big) = \int e^{\int p(x)dx} r(x) dx + C \end{align}

\tag{22} \begin{align} e^{\int p(x)dx}y = \int e^{\int p(x)dx} r(x) dx + C \end{align}

여기서 $C$ 는 적분상수입니다. 그리고 $y$ 에 대해 정리해 보세요. 그것이 바로 비제차형 1계 선형 미분방정식의 일반해가 됩니다.

바로 아래 식이 그 일반해입니다.

\tag{23} y = e^{- \int p(x)dx} \Big[ \int e^{\int p(x)dx} r(x) dx + C \Big]

3. 1계 선형 미분방정식 풀이 예제

예제를 하나 풀어보겠습니다. 다음 미분방정식을 풀어보세요.

\tag{q-1} {dy \over dx} - y = e^{2x}

이 미분방정식은 1계 선형 미분방정식입니다. 따라서 (23)식을 사용하면 쉽게 일반해를 구할 수 있어요.

이때 1계 선형 미분방정식 표준형에서 $p(x) = -1$ 이고, $r(x) = e^{2x}$ 입니다.

\tag{q-2} \begin{align} y &= e^{- \int p(x)dx} \Big[ \int e^{\int p(x)dx} r(x) dx + C \Big]\\ &=e^{-\int (-1) dx} \Big[ \int e^{\int (-1) dx} e^{2x} dx + C \Big]\\ &=e^x \Big[ \int e^{-x} e^{2x} dx + C \Big]\\ &=e^{x} \Big[e^{x} +C \Big]\\ &=e^{2x} + Ce^{x} \end{align}

이 식에서도 $C$ 는 상수로서 초기조건을 이용해 구하면 됩니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

[Total: 36 Average: 4.2]

1계 선형 미분방정식 풀이 방법