Last Updated on 2024-12-22 by BallPen
변수분리법으로 직각좌표계에서의 라플라스 방정식을 풀어봐요.
직각좌표계에서의 라플라스방정식 공식은 다음과 같습니다.
\begin{align*}
\nabla ^2 V = {{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial y^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial z^2}} = 0
\end{align*}이때 위 식을 만족하는 V(x,y,z)를 변수분리법으로 구하는 방법을 알아 봐요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 직각좌표계에서의 라플라스방정식
아래 (1-1)식에 주어진 3차원 라플라스방정식의 해 V(x,y,z)를 구한다고 생각해봐요. 여기서 V(x,y,z)를 전압이라고 생각해도 좋습니다.
\tag{1-1}
\begin{align}
\nabla ^2 V = {{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial y^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial z^2}} = 0
\end{align}만일 1차원 라플라스 방정식이라면 양변으로 변수를 분리해 쉽게 해를 구할 수 있는데요. 3차원 2계 편미분 방정식으로 주어지는 라플라스 방정식은 그렇게 간단히 해를 구할 수 없어요.
그렇다고 푸는 방법이 완전히 없는 것은 아니에요. 아래에 설명드릴 변수분리법을 이용하면 해를 구할 수 있습니다. 이에 대해 구체적으로 알아봐요.
1-1. 변수분리법
가정부터 시작합니다. (1-1)식 라플라스방정식의 해 V(x,y,z)가 다음의 조건을 만족한다고 가정해봐요.
\tag{1-2}
\begin{align}
V(x,y,z) = X(x)Y(y)Z(z)
\end{align}즉, 전압 V가 각 독립좌표의 함수로 분리가능하며 그 함수들끼리 곱의 형태로 해가 주어진다고 가정하자는 것이죠. 그러면 (1-2)식은 (1-1)식의 해이므로 (1-1)식에 대입하고 정리해봐요. 그러면 아래의 (1-4)식이 됩니다.
\tag{1-3}
\begin{align}
\nabla V &= {{\partial V}\over{\partial x}} + {{\partial V}\over{\partial y}}+ {{\partial V}\over{\partial x}}\\[10pt]
&=YZ {{dX}\over{dx}} + XZ{{dY}\over{dy}} + XY{{dZ}\over{dz}}
\end{align}\tag{1-4}
\begin{align}
\nabla^2 V &= {{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial x^2}}\\[10pt]
&=YZ{{d^2 X}\over{dx^2}} + XZ{{d^2 Y}\over{dy^2}} + YZ{{d^2 Z}\over{dz^2}} = 0 \\[10pt]
\end{align}이번에는 (1-4)식의 두번째 줄 양변을 XYZ로 나눠 줘요. 그럼 아래 (1-5)식이 성립하죠.
\tag{1-5}
\begin{align}
{1 \over X} {{d^2 X}\over{dx^2}} + {1 \over Y} {{d^2 Y}\over{dy^2}} + {1 \over Z}{{d^2 Z}\over{dz^2}} = 0
\end{align}이때 위 (1-5)식의 좌변에 있는 세 항의 합이 0이어야 우변과 같아지죠. 그래서 좌변 첫째 항을 A, 둘째 항을 B, 셋째 항을 -(A+B)로 치환해볼께요.
이렇게 치환하면 아래 식이 되어 (1-5)식의 우변처럼 0이 되는 것을 알 수 있어요. 즉 이렇게 치환해도 상관없다는 뜻이에요.
\tag{1-6}
A+B - (A+B) = 0최종적으로 (1-5)식과 치환된 (1-6)식을 비교해서 정리하면 다음의 이계 상미분 방정식 3개가 만들어집니다.
\tag{1-7}
\begin{align}
&{{d^2 X}\over{dx^2}} - AX = 0 \\[10pt]
&{{d^2 Y}\over{dy^2}} - BY =0\\[10pt]
&{{d^2Z}\over{dz^2}} + (A+B) Z =0
\end{align}이제 이 미분방정식들을 만족하는 해를 구한 후 그 해에 경계조건을 적용하면 X(x), ~Y(y), ~Z(z)를 구할 수 있습니다. 그리고 (1-2)식처럼 배치하면 라플라스방정식의 해가 되는 것이죠.
예제를 하나 풀어 봐요.
2. 예제
아래 그림과 같이 무한한 크기를 갖는 금속판 두개가 있다. 아래쪽에 있는 금속판은 (x,z)평면에 있으며 다른 판은 y=a에 있다. 그리고 두 판은 접지되어 전위가 모두 0이다. 반면에 두 판과 전기적으로 분리되어 있는 상태에서 한쪽 면이 막혀있는데, 이 판의 전위는 V_0 (y)라고 하자. 두 판 사이의 전위를 구하여라. 단, 이 문제의 경계조건은 다음과 같다.
\begin{align*}
&({\rm i}) ~ y=0에서 ~~V=0\\
&({\rm ii}) ~ y=a에서~~ V=0\\
&({\rm iii})~x=0에서~~V=V_0 (y)\\
&({\rm{iv}})~x= \infty에서~~V \rightarrow 0
\end{align*}![[그림 1] 직각좌표계에서의 라플라스방정식 예제. 접지된 두 평행판 사이의 전위 분포를 구하는 문제입니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/12/라플라스방정식-예제-1.jpg)
2-1. 라플라스방정식
이 문제에서 두 판사이의 공간에는 전하밀도가 없으므로 다음의 라플라스 방정식을 만족해야 해요.
\tag{2-1}
\nabla^2 V =0그럼 이제부터 (2-1)식의 해 V를 구해봐요. 위 방정식의 해는 [그림 1]의 조건에 따라 z축과는 무관하므로 x와 y의 함수로 나타날 거에요. 즉, V(x,y)가 되는 거죠.
그러면 (2-1)식은 아래와 같이 3차원이 아닌 2차원 직각좌표계에서의 라플라스방정식 문제에 해당합니다.
\tag{2-2}
{{\partial^2 V}\over{\partial x^2}} + {{\partial^2 V}\over{\partial y^2}} =02-2. 라플라스방정식의 일반해
그럼 이제부터 (2-2)식 라플라스방정식의 해를 구해 봐요. 이를 위해 앞서 설명드렸던 변수분리법을 적용합니다. (2-2)식의 해도 다음 조건을 만족한다고 가정해봐요.
\tag{2-3}
V(x,y) = X(x)Y(y)그리고 (2-3)식을 (2-2)식에 대입한 후 양변을 XY로 나눠주면 아래와 같죠.
\tag{2-4}
\begin{align}
{1 \over X} {{d^2 X}\over{dx^2}} + {1 \over Y} {{d^2 Y}\over{dy^2}} = 0
\end{align}그런데 위 식의 관계가 성립되기 위해서는 좌변의 첫째와 둘째 항의 크기가 서로 같고 부호가 반대가 되어야 하잖아요. 그래서 임의로 첫번째 항을 k^2으로, 두번째 항을 -k^2로 두겠습니다.
그러면 다음과 같이 이계상미분방정식 두개가 만들어집니다.
\tag{2-5}
\begin{align}
&{{d^2 X}\over{dx^2}} = k^2 X \\[10pt]
&{{d^2 Y}\over{dy^2}} = -k^2 Y\\
\end{align}이때 위 (2-5)식의 첫번째 미분방정식의 일반해는 아래 (2-6)식처럼 지수함수로 주어지고, 두번째 미분방정식은 단순조화진동자 운동방정식 풀이처럼 진동함수로 주어집니다.
\tag{2-6}
\begin{align}
& X(x) = Ae^{kx} + B e^{-kx}\\[10pt]
& Y(y) = C \sin ky + D \cos ky
\end{align}그러므로 위 (2-6)식을 (2-3)식의 형태로 표현하면 아래의 식을 도출할 수 있는데요. 이것이 일반해입니다.
\tag{2-7}
\begin{align}
V(x,y) &= X(x) Y(y)\\[10pt]
&= \big(A e^{kx} + B e^{-kx} \big) \big(C \sin ky + D \cos ky \big)
\end{align}지금까지 일반해를 구했으니 문제에 주어진 경계조건을 적용해서 특수해도 구해 봐요. 즉 경계값 문제(boundary value problem)를 풀어 위 식에서 A,~B,~C,~D의 구체적인 값을 구해 보자는 의미에요.
2-3. 라플라스방정식의 특수해
[세번째 경계조건 적용]
경계조건의 세번째는 x=\infty에서 V(x,y) = 0이 되어야 합니다. 이 말은 x=\infty에서 X(x)가 0이 되어야 함을 의미해요.
\tag{2-8}
X(x) = Ae^{k\times \infty} + B e^{-k \times \infty} =0그러므로 위 (2-8)식이 성립하기 위해서는 가운데 부분의 둘째항은 0이므로 첫째 항도 0이 되어야 하는데 이를 만족하기 위해서는 A=0이어야만 합니다.
앞서 말씀드린 것처럼 가운데 부분의 둘째 항은 경계조건에 따라 x=\infty에서 e^{-k \times \infty}가 되어 0이 됩니다. 그러므로 B가 어떤 값을 가질지는 아직 모르지만 어떤 상수가 될 것임을 짐작할 수 있어요.
[첫번째 경계조건 적용]
또한 경계조건의 첫번째는 y=0에서 V(x,y) = 0이 되어야 합니다. 이 말은 y=0이면 ky=0이고 Y(y)도 아래와 같이 0이 되어야 해요.
\tag{2-9}
Y(y) = C \sin 0 + D \cos 0 =0위 (2-9)식의 조건을 만족하기 위해서는 반드시 D=0이 되어야 함을 알 수 있어요. 반면에 C는 어떤 값을 갖더라도 (2-9)식은 여전히 성립합니다.
결국 (2-8)식과 (2-9)식에서 A=0, D=0이 되어야 하므로 (2-7)식의 일반해는 일단 다음과 같이 됨을 알 수 있어요.
\tag{2-10}
\begin{align}
V(x,y) &= (B e ^{-kx} ) (C \sin ky)\\
&=(BC) e^{-kx} \sin ky\\
&=E e^{-kx} \sin ky
\end{align}여기서도 E는 B와 C가 곱해진 상수입니다.
[두번째 경계조건 적용]
이번에는 경계조건의 두번째, 즉 y=a에서 V(x,a)=0의 조건을 (2-10)식에 적용합니다. 그러면 다음과 같아요.
\tag{2-11}
V(x,a) = E e^{-kx} \sin ka =0여기서 E e^{-kx}는 0이 아니므로 윗 식이 성립하기 위해서는 ka = n \pi 가 되어야만 합니다. 여기서 물론 n=1,2,3, \cdots입니다.
그러므로 k={{n \pi}\over{a}}가 성립하므로 이 관계를 (2-11)식에 대입하면 n에 따라 수많은 V(x,y)가 존재하게 됩니다. 이를 V_n (x,y)로 표기할께요.
\tag{2-12}
\begin{align}
V_n(x,y) = E_n e^{-n \pi x /a} \sin {{n \pi}\over{a}} y =0,~~~~~~~(n=1,2,3,\cdots)
\end{align}결국 윗식이 라플라스 방정식을 만족하므로 중첩과 선형성의 원리에 따라 이 해들을 모두 선형결합한 것도 해가 됩니다. 이를 식으로 표현하면 다음과 같아요.
\tag{2-13}
V(x,y) = c_1 V_1(x,y) + c_2 V_2(x,y) + c_3 V_3(x,y),\cdots여기서 c_1,~c_2,~c_3,~\cdots 는 임의의 상수입니다. (2-12)식을 (2-13)식에 대입하면 각 항마다 c_1 E_1, ~c_2 E_2, ~c_3 E_3,\cdots가 계수로 존재할거에요. 하지만 이 계수들은 모두 상수와 상수의 곱이므로 결국 상수가 될 뿐입니다.
그래서 그 계수들의 곱을 G_n으로 치환하여 표기하면 (2-13)식은 다음과 같습니다.
\tag{2-14}
V(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} G_n e^{-n \pi x /a} \sin {{n \pi}\over{a}} y하지만 아직까지 끝난게 아닙니다. G_n이 어떻게 주어지는지를 더 알아봐야 해요.
이를 위해 (2-14)식의 양변에 \sin{{m \pi y}\over{a}}를 곱해 봐요. 그리고 양변을 y에 대해 0 \sim a 범위로 적분해봐요.
왜 이렇게 하냐면, 삼감함수의 직교성이 나타나도록 식을 변형한 후 G_n를 구하기 위함이에요.
\tag{2-15}
\int_0^aV(x,y) {\color{black} \sin{{m \pi y}\over{a}}dy} = \sum_{n=1}^{\infty} G_n e^{-n \pi x /a} {\color{blue} \int_0^a \sin {{n \pi y}\over{a}}} {\color{blue}\sin{{m \pi y}\over{a}}dy}윗 식의 우변을 보시면 파랑색 부분은 모두 y에 의존하는 부분이고 y와 무관한 나머지는 적분 밖으로 나왔어요.
한편 삼각함수의 직교성에 따라 윗 식의 파랑색 부분은 m=n인 경우 {{a}\over{2}}, m \ne n인 경우 0이 성립합니다. 이를 크로네커 델타 기호로 표시하면 다음과 같아요.
\tag{2-16}
\int_0^aV(x,y) {\color{black} \sin{{m \pi y}\over{a}}dy} = \sum_{n=1}^{\infty} G_n e^{-n \pi x /a} {\color{blue} }{\color{red}{a \over 2}\delta_{mn}}윗식 좌변의 V(x,y)를 성분별로 분리하면 (2-3)식처럼 V(x) V(y)로 쓸 수 있어요. 그리고 원점 (0.0)에서 V(x) V(y)를 특히 V_0(x) V_0(y)로 표기해볼께요.
\tag{2-17}
{\color{blue}V_0(x)}\int_0^a V_0(y) {\color{black} \sin{{m \pi y}\over{a}}dy} = \sum_{n=1}^{\infty} G_n {\color{blue}e^{-n \pi x /a}} {\color{black}{{a}\over{2}}\delta_{mn}}그러면 윗 식에서 V_0 (x)는 x만의 함수로서 우변의 e^{-n \pi x /a}에 대응하는 것을 알 수 있어요.
그러므로 e^{-n \pi x /a}에 x=0을 대입하면 e^{-n \pi x /a} =e^0 = 1이 됩니다. 결국 V_0(x)=1로 둘 수 있어요.
이 관계를 반영하면 다음과 같습니다.
\tag{2-18}
\int_0^a V_0(y) {\color{black} \sin{{m \pi y}\over{a}}dy} = \sum_{n=1}^{\infty} G_n {\color{re}{{a}\over{2}}\delta_{mn}}자 이제 윗식의 우변을 검토해봐야 하는데요. 크로네커 델타의 성질에 따라 m=n인 경우에만 우변값이 0이 아니므로 우변을 다음과 같이 써도 좋습니다.
\tag{2-19}
\int_0^a V_0(y) {\color{black} \sin{{m \pi y}\over{a}}dy} = G_n {a \over 2}이제 윗 식을 G_n에 대해 정리하면 다음과 같습니다(이때 m=n인 경우에만 윗 식이 성립하므로 좌변의 m을 n으로 바꾸어 표현했어요).
\tag{2-20}
G_n = {2 \over a}\int_0^a V_0(y) {\color{black} \sin{{n \pi y}\over{a}}dy} 최종적으로 (2-2)식의 라플라스 방정식의 해는 다음과 같습니다.
\tag{2-21}
\begin{align}
&V(x,y) = \sum_{n=1}^{\infty} G_n e^{-n \pi x /a} \sin {{n \pi}\over{a}} y\\[10pt]
&~~~~~~~~G_n = {2 \over a}\int_0^a V_0(y) {\color{black} \sin{{n \pi y}\over{a}}dy}
\end{align}2-4. 해를 그래프로 나타낸 모습
문제에 주어진 것처럼 V_0(y)가 상수라면 (2-21)식의 G_n에서 V_0(y)는 적분 밖으로 나올 수 있어요. 그리고 적분을 계산하면 다음과 같습니다.
\tag{2-22}
\begin{align}
G_n &= {2 \over a} V_0(y) \int_0^a \sin {{n \pi y}\over{a}} dy\\[10pt]
&={2 \over a} V_0(y) \Big[ {a \over {n \pi}} \big(-\cos {{n \pi y}\over{a}} \big)\Big]_0^a\\[10pt]
&={2 \over {\cancel a}} V_0(y){{\cancel a} \over {n \pi}} \Big(1-\cos n \pi \Big)\\[10pt]
&=
\left\{
\begin{align*}
&0~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~n=짝수 \\
&{{4V_0(y)}\over{n \pi}}~~~~~~~~~~~~~~~n=홀수
\end{align*}
\right.
\end{align}결국 (2-21)식에 주어진 라플라스 방정식의 해 V(x,y)는 다음과 같습니다.
\tag{2-23}
\begin{align}
&V(x,y) = {{4V_0(y)}\over{\pi}}\sum_{n=1, 3, 5...}^{\infty} {1 \over n} e^{-n \pi x /a} \sin {{n \pi}\over{a}} y\\[10pt]
\end{align}아래 [그림 2]는 위 (2-23)식을 그래프로 그려 본 거에요. 직각좌표계에서의 라플라스방정식 해는 조화함수로 나타납니다. 이 조화함수의 특징은 주어진 영역안에 극대나 극소가 나타나지 않으며, 극대와 극소는 주어진 영역의 테두리에만 존재하게 됩니다.
![[그림 2] 문제로 주어진 접지된 두 평행판 사이의 전위 분포. 이 그래프는 매스매티카로 만들어졌으며 코드는 아래와 같습니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2024/12/라플라스-방정식-해-1024x655.jpg)
