등비수열의 일반항

BallPen · 2025-03-07T20:26:07+09:00

등비수열의 일반항 개념과 그 공식을 이번 글에서 구해 봐요. 일반항이란 n번째 원소가 어떤 값을 가질지를 알려주는 관계식을 뜻해요. 그래서 일반항 공식을 알 수 있다면 임의 항의 값을 쉽게 구할 수 있습니다.

Last Updated on 2025-03-07 by BallPen

등비수열의 일반항을 유도해 봐요.

등비수열의 일반항 개념을 알아보고, 그 일반항을 직접 유도해 보겠습니다.

등비수열(Geometric Sequence)이란 수열의 인접한 두 항 사이의 비율(ratio)이 일정한 값을 갖는 수의 순서있는 나열을 뜻해요. 이때 $n$ 항이 어떤 값을 가질지 알려주는 공식을 일반항이라고 합니다.

그래서 일반항을 알고 있으면 우리가 구하고자 하는 항의 값을 손쉽게 구할 수 있어요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

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아래는 첫째항이 $a_1$ , 공비가 $r$ 인 등비수열이라고 생각해 봐요.

\tag{1-1} \{ a\} = \{{a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, \cdots} \}

그러면 위 수열은 다음의 관계를 만족합니다.

\tag{1-2} \begin{align} a_2 &= a_1 r\\ a_3 &= a_2 r\\ a_4 &= a_3 r\\ &~~\vdots \\ a_{n-1} &= a_{n-2} r\\ a_n &= a_{n-1} r \end{align}

이때 우리가 구하고자 하는 것은 위 식에서 $a_n$ 을 구하고 싶은 거에요. 그래서 위 식의 좌변끼리 곱하고 우변끼리 곱해 보세요.

그러면 다음과 같아요.

\tag{1-3} \begin{align} &{\cancel a_2} {\cancel a_3} {\cancel a_4} \cdots {\cancel a_{n-1}} a_n \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~= a_1 r {\cancel a_2}r {\cancel a_3}r \cdots {\cancel a_{n-2}} r {\cancel a_{n-1}}r \end{align}

좌변과 우변이 서로 약분이 되는데요. 결국 남는 항들만 정리하면 우리가 구하고자 했던 $a_n$ 을 다음과 같이 구할 수 있어요.

\tag{1-4} a_n = a_1 r^{n-1}

바로 윗 식이 등비수열의 일반항입니다. 여기서 주의할 것은 $r^n$ 이 아닌 $r^{n-1}$ 이라는 거에요.

등비수열의 일반항을 이용하면 우리가 원하는 항의 값을 쉽게 구할 수 있어요.

예를 들어 $n=7$ 인 항의 값은 (1-4)식의 $n$ 에 7를 대입하고, 수열의 첫째항 $a_1$ 과 공비 $r$ 을 대입하면 됩니다.

만일 첫째항 $a_1$ 이 3이고, 공비 $r$ 이 2라면 그 수열의 $n=7$ 항의 값은 다음과 같아요.

\tag{2-1} a_{7} = 3 \times 2^{6} = 192

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