각운동 – 각속도와 접선속도, 각가속도와 접선가속도의 관계

Last Updated on 2024-03-03 by BallPen

회전하는 각운동과 경로를 따라가는 선운동 사이의 관계를 통해 각속도와 접선속도, 각가속도와 접선가속도 사이의 공식을 알아보겠습니다.

각운동 (또는 회전운동)이란 물체의 한 축을 중심으로 회전하는 운동을 말합니다. 그러므로 물체의 모든 지점이 옆으로 이동하는 병진운동과는 다릅니다.

이번 글에서는 각운동에서의 각속도와 접선속도, 그리고 각가속도와 접선가속도 사이의 관계를 알아봅니다.

실용적인 측면에서도 자주 이용되는 개념이에요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 각운동 상태에서 각속도와 접선속도

각운동 하는 물체가 있을 때 각속도와 접선속도를 정의할 수 있어요 이때 접선속도는 ‘선속도 또는 선속력’이라고도 불립니다.

하나씩 알아보겠습니다.

1-1. 각속도

각속도에 대해서는 이전 글에서도 다룬 적이 있어요. 복습해보겠습니다.

아래 [그림 1]에 반시계방향으로 회전하는 원판이 있어요. 기준축으로부터 \theta_1에 있던 노란색 띠가 어느시간 \Delta t동안 회전하여 \theta_2로 변화되었어요.

그러면 각변위 \Delta \theta는 그림에 표시한 것처럼 아래 (1)식과 같이 주어져요.

\tag{1}
\begin{align}
\Delta \theta = \theta_2 - \theta_1
\end{align}

각속도 \omega는 각변위를 경과시간 \Delta t로 나누어 정의합니다. 즉 단위시간 동안 각도가 얼마만큼 회전하였느냐의 척도에요.

\tag{2}
\begin{align}
\omega &= {{\Delta \theta}\over{\Delta t}}\\
&={{\theta_2 - \theta_1}\over{\Delta t}}
\end{align}

따라서 물체가 빠르게 회전하면 똑같은 시간동안 더 많은 각도를 회전하니 각속도가 크고, 느리게 회전하면 똑같은 시간동안 상대적으로 적은 각도를 회전하니 각속도가 작습니다.

아울러 각속도는 물체의 회전중심으로부터 떨어진 거리, 즉 회전반지름과 무관합니다. 왜냐면 단위시간동안 동일 각도를 회전하므로 모든 지점이 동일한 각속도를 갖게 되는 것이죠.

즉 [그림 1]에서 노란색띠는 중심으로부터의 거리와 무관하게 어느 부분이던 동일한 각속도를 갖습니다. 그러나 아래에서 다룰 접선속도는 중심으로부터의 거리에 의존하여 달라집니다.

[예제]

(예제) 50.0 s 동안 한바퀴씩 회전하는 물체가 있다고 하자. 이 물체의 각속도 크기는 얼마인가?

(풀이) (2)식을 적용하여 구하면 됩니다.

\tag{a}
\begin{align}
\omega &= {{\Delta \theta}\over{\Delta t}}\\
&={{2\pi~\mathrm{rad}}\over{50.0~\mathrm{s}}}\\
&=0.126~\mathrm{rad/s}
\end{align}

1-2. 접선속도 (선속도)

아래 [그림 2]는 반시계방향으로 각속도 \omega로 회전하는 어느 물체를 나타낸 것입니다. 단위시간 \Delta t동안 각변위 \Delta \theta가 발생되었어요.

따라서 각속도는 위에서 언급한 것처럼 회전반지름과 무관하게 유일한 값이 나옵니다.

하지만 [그림 2]와 같이 중심으로부터 떨어진 거리, 즉 회전반지름 r_1과 r_2인 지점의 이동경로 s_1과 s_2는 서로 달라요.

중심점으로부터 회전반지름이 큰 s_2가 똑같은 각변위 동안 더 많이 이동합니다.

그러면 각속도 \omega와는 다른 속도 개념을 정의할 수 있어요.

바로 병진운동에서의 속도 개념을 적용하는 것입니다. 다만 속도의 방향이 회전하는 물체의 접선방향을 향하므로 접선속도라고 부르면 될 것 같아요.

접선속도 v는 이동거리 \Delta s를 경과시간 \Delta t로 나누어 정의합니다. 즉 단위시간 동안 얼마만큼 이동하였느냐의 척도에요.

\tag{3}
\begin{align}
v = {{\Delta s}\over{\Delta t}} 
\end{align}

(3)식에 따르면 반지름 r이 클수록 똑같은 시간 \Delta t동안 더 많은 거리 \Delta s를 이동하므로 접선속도가 커집니다.

1-3. 각속도와 접선속도의 관계

지금까지 각속도 \omega와 접선속도 v의 정의와 공식을 설명드렸습니다.

지금부터는 두 개념 사이의 수학적 관계를 도출해보겠습니다.

[그림 3]은 반시계방향으로 각운동하는 어느 원판형 물체를 나타냅니다. 시간 \Delta t동안 각변위는 \Delta \theta이고 중심으로부터 r만큼 떨어진 지점의 이동거리는 \Delta s입니다.

한편 호도법의 정의에 따라 \Delta \theta는 아래 (4)식과 같이 쓸 수 있습니다.

\tag{4}
\Delta \theta = {{\Delta s}\over{r}}

(4)식의 양변을 시간 간격 \Delta t로 나누면 다음과 같습니다.

\tag{5}
{{\Delta \theta}\over{\Delta t}} = {{1}\over{r}}{{\Delta s}\over{\Delta t}}

(2)식과 (3)식을 이용하여 정리해 보죠.

\tag{6}
\omega = {{1}\over{r}} v

결국 (6)식은 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

\tag{7}
v=r \omega

(7)식이 각속도와 접속속도의 크기 관계를 나타내는 공식입니다.

이에 따르면 각운동 하며 회전하는 모든 점들은 같은 각속도 \omega를 갖지만, 접선속도 v는 회전 중심으로부터의 거리 r에 의존하는 것을 알 수 있습니다.

[예제]

(예제) 콤팩트 디스크가 \omega = 31.4~\mathrm{rad/s}로 등속회전하고 있다. 디스크의 중심으로부터 4.45 cm 떨어진 지점에서의 접선속도는 얼마인가?

(풀이) 식 (7)을 적용하면 됩니다.

\tag{b}
\begin{align}
v &= r \omega\\
&=(4.45 \times 10^{-2}~\mathrm{m})(31.4~\mathrm{rad/s})\\
&=1.40~\mathrm{m/s}
\end{align}

2. 각운동 상태에서 각가속도와 접선가속도

이제부터는 각가속도와 접선가속도 사이의 관계를 알아보겠습니다.

2-1. 각가속도

이전 글에서 각가속도에 대해서도 설명을 한적이 있어요.

간단히 설명드리면 각가속도는 ‘단위시간당 각속도의 변화량’을 뜻합니다. 그러므로 일정한 각속도로 회전하면 각가속도가 0이 되고 각속도가 변하면, 즉 점점 빨라지거나 느려지면 각가속도가 0이 아닌 것으로 볼 수 있어요.

위에 있는 [그림 4]는 반시계 방향으로 점점 빠르게 회전하는 원판을 보여주고 있어요. 그러므로 동일한 시간 동안 각변위는 점점 증가하겠죠.

회전이 점점 빨라지므로 동일 시간 동안의 각변위는 \Delta \theta_1에서 \Delta \theta_2로 크게 변했습니다.

이때 각변위 \Delta \theta_1에서의 각속도를 \omega_1, \Delta \theta_2에서의 각속도를 \omega_2라고 하면 각가속도 \alpha 크기는 다음과 같이 정의됩니다.

\tag{8}
\begin{align}
\alpha &= {{\Delta \omega}\over{\Delta t}}\\
&={{\omega_2 - \omega_1}\over{\Delta t}}
\end{align}

(8)식의 분모에 있는 \Delta t는 각속도가 변하는데 걸린 시간을 뜻합니다.

만일 원판이 일정한 빠르기로 회전하고 있다면 (8)식에서 \omega_2와 \omega_1의 크기가 서로 같아 분자가 0이되어 각가속도 \alpha도 0 rad/s²이 됩니다. 이러한 운동을 ‘등각속도운동’이라 부릅니다.

또한 각가속도 \alpha가 일정한 경우도 있을 수 있어요. 이러한 운동을 ‘등각가속도운동’이라고 합니다.

[예제]

(예제) 어떤 물체가 3.00 s 동안 9.00 rad/s에서 15.0 rad/s로 가속되었다. 각가속도의 크기는 얼마인가?

(풀이) (8)식을 그대로 적용하면 됩니다.

\tag{c}
\begin{align}
\alpha &= {{\Delta \omega}\over{\Delta t}}\\
&={{15.0~\mathrm{rad/s-9.00~\mathrm{rad/s}}}\over{3.00~\mathrm{s}}}\\
&=2.00~\mathrm{rad/s^2}
\end{align}

2-2. 접선가속도 (선가속도)

[그림 4]를 보시면 회전 중심으로부터 r만큼 떨어진 지점의 이동거리도 \Delta s_1에서 \Delta s_2로 커진 것을 볼 수 있습니다.

이것은 동일한 시간동안 이동한 거리가 달라졌음을 뜻하는 것이고, 바꾸어 말하면 접선속도가 시간에 따라 달라진 것을 의미해요. 결국 접선방향으로의 가속도를 정의할 수 있습니다.

이동거리 \Delta s_1에서의 접선속도를 v_1, \Delta s_2에서의 접선속도를 v_2라고 하면 접선가속도 a의 크기는 다음과 같이 정의됩니다.

\tag{9}
\begin{align}
a &= {{\Delta v}\over{\Delta t}}\\
&={{v_2 - v_1}\over{\Delta t}}
\end{align}

(9)식의 분모에 있는 \Delta t는 접선속도가 변하는데 걸린 시간을 뜻합니다. 이것은 (8)식의 분모와 동일한 값을 갖습니다.

그리고 접선가속도는 ‘선가속도’라고도 불립니다.

2-3. 각가속도와 접선가속도의 관계

이제부터는 각가속도 \alpha와 접선가속도 a사이의 수학적 관계를 알아보겠습니다.

(7)식에 따르면, 회전체의 각속도가 \Delta \omega만큼 바뀌면 반지름 r인 지점에서의 접선속도는 아래 (10)식과 같이 \Delta v만큼 변합니다.

\tag{10}
\Delta v = r \Delta\omega 

(10)식의 양변을 각속도 또는 접선속도가 변하는데 걸린 시간인 \Delta t로 나누면 아래와 같습니다.

\tag{11}
{{\Delta v}\over{\Delta t}} = r {{\Delta \omega}\over{\Delta t}}

(8)식과 (9)식을 이용하여 정리해 보죠.

\tag{12}
a= r \alpha

바로 (12)식이 각가속도의 크기와 접속가속도의 크기 관계를 나타내는 공식입니다.

[예제]

(예제) 플레이어에 들어간 콤팩트 디스크가 0.892 s 동안 정지상태로부터 31.4 rad/s로 각속도가 증가했다면 디스크 가장자리에서 접선가속도의 크기는 얼마인가? 단 디스크의 반지름은 4.45 cm이다.

(풀이) 아래와 같이 (12)식을 적용하면 됩니다.

\tag{d}
\begin{align}
a &= r \alpha\\
&=(4.45 \times 10^{-2}~\mathrm{m})({{31.4~\mathrm{rad/s} - 0}\over{0.892~\mathrm{s}}})\\
&=1.57~\mathrm{m/s^2}
\end{align}

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