기체 분자 운동론에서의 압력

Last Updated on 2025-12-14 by BallPen

미시적 이상 기체 운동론 관점에서 기체의 압력이 어떻게 설명되는지 알아 봐요.

기체분자 운동론에서의 압력(pressure)이란 미시적 이상 기체 분자 운동론 관점에서 압력을 설명하는 개념이에요.

부피가 V인 용기에 이상 기체 분자가 N개 들어 있으며, 기체 분자의 속도 v^2에 대한 평균을 \overline{v^2}이라 할 때 기체가 용기 벽면에 가하는 압력 P는 다음과 같아요.

즉, 기체의 압력은 단위부피당 분자 수와, 분자의 평균 병진운동에너지에 비례한다는 것을 알 수 있습니다.

\tag{D1}
\begin{align}
P = {2 \over 3} \Big({N \over V}\Big) \Big( {1 \over 2} m \overline{v^2} \Big)
\end{align}

과연 위 식이 어떻게 유도되는지 구체적으로 알아보도록 해요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 분자(이상기체)가 용기 벽면에 작용하는 평균 힘

아래 [그림 1]과 같이 한 변의 길이가 d인 정육면체 내부에 이상기체가 들어있다고 생각해봐요.

그림에서는 분자 하나를 그렸습니다만, 실제로는 수많은 기체분자들이 있다고 생각해야 해요. 또 분자들은 임의의 방향으로 무질서하게 움직이고 있습니다.

1-1. 벽과 충돌하는 분자의 운동량 변화

그림을 보면 한 분자가 왼쪽으로 등속으로 움직이고 있어요. 이 분자의 질량은 m이에요. 그리고 속도는 - v_x입니다.

따라서 왼쪽으로 분자가 이동할 때의 운동량은 -mv_x입니다.

한편, 왼쪽으로 움직이던 분자는 정육면체 상자의 벽과 충돌 후에 오른쪽으로 되튀어 나오게 되는데요. 이상기체를 가정하고 있으므로 탄성충돌을 감안하면 튀어나오는 분자의 운동량은 mv_x가 될 거에요.

결국 충돌과정에서 분자의 운동량이 변하는 것을 알 수 있어요.

그 변화량 \Delta p는 다음 (1-1)식과 같습니다. 이때 중요한 것은 변화량을 구할 때는 나중값에서 처음값을 빼야 한다는 것을 꼭 기억하세요.

\tag{1-1}
\begin{align}
\Delta p = mv_x - (-mv_x) = 2mv_x
\end{align}

1-2. 분자 하나가 벽에 작용하는 평균 힘

뉴턴 운동 제2법칙에 따르면 물체에 힘이 작용하면 운동량이 변합니다.

즉, 분자가 벽과 충돌하여 운동량이 변했다는 것은 벽이 분자에 힘을 가했다는 의미에요. 이것은 반대로 생각하면 분자가 벽에 힘을 작용했기 때문에 벽이 분자에 힘을 반작용하여 운동량이 변한거에요.

이러한 관점에서, 그렇다면 분자가 벽에 작용한 힘의 크기를 구해보도록 해요.

뉴턴운동의 제2법칙을 그대로 사용하면 됩니다. 다만 분자 하나가 작용하는 힘을 기술하고 있으므로 아래 첨자에 1로 표기하겠습니다.

\tag{1-2}
\begin{aligned}
F_1 = ma_1 &=  {{\Delta p_1}\over{\Delta t}}\\[10pt]
&={{2mv_{1x}}\over{\Delta t}}
\end{aligned}

(1-2)식의 분모가 \Delta t로서 경과시간인데요. 이 경과시간은 한번 충돌이 나고 다음 충돌이 발생할 때까지의 경과시간을 뜻해요.

이로써, 분자 하나에 의해 이 경과시간 동안 벽이 받는 평균 힘이 바로 (1-2)식인 거죠.

분자는 등속 v_{1x}로 이동하고, 총 이동 거리가 분자의 왕복거리인 2d가 되므로 경과시간은 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

\tag{1-3}
\begin{align}
\Delta t = {{2d}\over{v_{1x}}}
\end{align}

이제 (1-3)식을 (1-2)식에 대입해 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{1-4}
\begin{align}
F_1 = {{2mv_{1x}}\over{2d/v_{1x}}} = {{mv_{1x}^2}\over{d}}
\end{align}

바로 윗 식이 분자 한개가 벽에 충돌함으로서 작용하는 평균 힘의 크기입니다.

1-3. 모든 분자가 벽에 작용하는 평균 힘

이제 위 (1-4)식을 확장해서 모든 분자가 벽에 작용하는 평균 힘을 구할 필요가 있어요.

왜냐면 정육면체 상자 안에는 분자 1개만 있는 것이 아니라 무수히 많은 N개의 기체분자가 있기 때문이에요.

이를 반영하기 위해서는 (1-4)식에서 v_{1x}로 표기된 x방향으로의 속도를 고려할 필요가 있어요.

우리는 [그림 1]에서 분자가 완전히 x 방향으로만 움직이는 경우를 다루었어요.

하지만 수 많은 분자 중 어떤 분자는 우리들의 가정처럼 x방향으로만 움직일 수 있지만, 많은 분자들은 임의의 방향으로 움직이고 있다는 것을 고려해야 합니다.

즉, [그림 1]의 왼쪽 벽에 분자들이 충돌하여 작용하는 힘은 (1-4)식이 모든 분자들에 대해 합해져야 한다는 거에요.

식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{1-5}
\begin{aligned}
F = \sum F_i &= F_1 + F_2 + \dots\\[10pt]
&={{m}\over{d}}v_{1x}^2 + {{m}\over{d}}v_{2x}^2 + \dots\\[10pt]
&={{m}\over{d}}({\color{blue}v_{1x}^2 + v_{2x}^2 + \dots})
\end{aligned}

물론 윗 식에서 v_{2x}^2은 두번째 분자의 x방향 속도의 제곱을 뜻해요. 이런 항들이 분자들의 총 갯수 N만큼 있는거에요.

한편 (1-5)식의 파랑색 수식이 있는데요. 그 부분을 다른 형태로 바꾸어 보도록 해요.

어떤 수치들의 산술평균은 각 수치들을 모두 합한 후 수치들의 총 갯수로 나누면 됩니다.

그러니까 만약 v_{1x}^2, v_{2x}^2, v_{3x}^2처럼 총 N개의 수치들이 있다면 이들의 산술평균은 다음 식으로 주어져요.

\tag{1-6}
\begin{align}
\overline{v_{x}^2} = {{{\color {blue}v_{1x}^2 + v_{2x}^2 + \dots }}\over{N}}
\end{align}

이때 (1-6)식을 보면 파랑색 수식 부분이 (1-5)식의 파랑색 수식 부분과 같다는 것을 알 수 있어요. 따라서 (1-6)식을 (1-5)식에 대입해서 정리하면 다음과 같아요.

\tag{1-7}
\begin{align}
F = {{Nm}\over{d}} {\color{red}\overline{v_x^2}}
\end{align}

이제 또 하나 생각해 볼 것이 있는데요.

속도는 벡터이므로 속도 v는 x 방향의 속도인 v_x, y방향의 속도인 v_y, z 방향의 속도인 v_z로 구성되어 있어요.

그런데 수 많은 모든 모든 분자들이 임의 방향으로 움직이는 상황을 가정하고 있으므로 각 속도 성분을 제곱한 평균의 크기는 모든 방향에 대해 같으므로 아래 (1-8)식 처럼 표현할 수 있어요.

\tag{1-8}
\begin{aligned}
\overline {v^2} &= \overline {v_x^2} +\overline {v_y^2} +\overline {v_z^2}\\[10pt]
 &=\overline {v_x^2}+\overline {v_x^2}+\overline {v_x^2}\\[10pt]
&=3{\color{red}\overline {v_x^2}}
\end{aligned}

결국 윗 식의 빨강색 부분을 (1-7)식에 대입해 정리할 수 있을거에요. 그러면 총 N개의 분자가 벽에 작용하는 힘은 다음과 같아요.

\tag{1-9}
\begin{align}
F= {N \over 3} \Big( {{m \overline{v^2}}\over{d}}\Big)
\end{align}

2. 모든 분자가 벽면에 작용하는 압력

이제 마지막으로 모든 분자가 벽면에 작용하는 압력을 구해봐요. 압력이란 단위면적당 작용하는 힘으로 정의되므로 아래 식과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{2-1}
\begin{align}
P = {F \over A} = {F \over d^2} 
\end{align}

이제 윗 식의 F에 (1-9)식을 대입해 정리하면 다음과 같아요.

\tag{2-2}
\begin{aligned}
P &= {1 \over 3} \Big( {N \over d^3} m\overline{v^2}\Big) \\[10pt]
&= {1 \over 3} \Big( {N \over V }\Big) m \overline{v^2}
\end{aligned}

그리고 윗 식을 분자의 평균 병진운동에너지가 드러나도록 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-3}
\begin{align}
P = {2 \over 3} \Big({N \over V} \Big) \Big({1 \over 2} m \overline{v^2} \Big)
\end{align}

결국 기체의 압력은 단위부피당 분자 수와, 분자의 평균 병진운동에너지에 비례한다는 것을 알 수 있습니다.

이 식이 바로 기체 분자 운동론에서의 압력 개념에 대한 새로운 정의입니다.

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