삼각함수 곱을 합으로 바꾸는 공식 : 곱셈 공식

BallPen · 2024-12-11T20:22:31+09:00

삼각함수 곱을 합으로 또는 차로 바꾸는 공식을 유도해 봐요. 이 공식은 삼각함수의 합차 공식을 알면 쉽게 유도할 수 있어요. 총 4개의 식을 순차적으로 모두 유도해봐요. 외울 필요는 없으나 한번쯤은 펜을 잡고 꼭 유도해보아야 합니다.

Last Updated on 2024-12-11 by BallPen

삼각함수 곱을 합 또는 차로 바꾸는 곱셈 공식을 유도해봐요.

삼각함수 곱을 합으로 바꾸는 곱셈 공식입니다.

\begin{align*} &\sin\alpha \cos \beta = {1 \over 2} \Big\{ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \Big\}\\[8pt] &\cos \alpha \sin \beta = {1 \over 2} \Big\{\sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta)\Big\}\\[8pt] &\cos \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \Big\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)\Big\}\\[8pt] & \sin \alpha \sin \beta = -{1 \over 2} \Big\{\cos (\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta)\Big\} \end{align*}

이번 글에서는 위 공식을 모두 유도해봐요.

Contents

삼각함수 곱을 합으로 바꾸는 첫번째 공식을 유도해 봐요.

\tag{1} \begin{align} \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) &= \sin \alpha \cos \beta + {\cancel{\cos \alpha \sin \beta}} \\ &~~~~~~~~~~~+\sin \alpha \cos \beta - {\cancel{\cos \alpha \sin \beta}}\\ &=2 \sin \alpha \cos \beta \end{align}

윗 식은 삼각함수의 합차공식을 적용한 것인데요. 만일 $\alpha$ 와 $\beta$ 가 동일한 값을 갖는다면 두배각공식으로 응용되는 식이에요.

(1)식을 우변에 대해 정리하면 첫번째 공식이 다음과 같이 얻어집니다.

\tag{2} \sin\alpha \cos \beta = {1 \over 2} \Big\{ \sin(\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \Big\}

두번째 공식을 유도해 봐요.

\tag{3} \begin{align} \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) &= {\cancel{\sin \alpha \cos \beta}} + {{\cos \alpha \sin \beta}} \\ &~~~~~~~~~~~-{\cancel{\sin \alpha \cos \beta}} + {{\cos \alpha \sin \beta}}\\ &=2 \cos \alpha \sin \beta \end{align}

윗 식의 우변에 대해 정리하면 두번째 공식이 다음과 같이 얻어집니다.

\tag{4} \cos\alpha \sin \beta = {1 \over 2} \Big\{ \sin(\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \Big\}

세번째 공식을 유도해 봐요.

\tag{5} \begin{align} \cos(\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) &= \cos \alpha \cos \beta - {\cancel{\sin \alpha \sin \beta}}\\ &~~~~~~~~~~~+\cos \alpha \cos \beta +{\cancel{ \sin \alpha \sin \beta}}\\ &=2 \cos \alpha \cos \beta \end{align}

윗 식의 우변에 대해 정리하면 세번째 공식이 다음과 같이 얻어집니다.

\tag{6} \cos \alpha \cos \beta = {1 \over 2} \Big\{ \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \Big\}

네번째 공식을 유도해 봐요.

\tag{7} \begin{align} \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) &= {\cancel{\cos \alpha \cos \beta}}-\sin\alpha\sin\beta\\ &~~~~~~~~~~~-{\cancel{\cos \alpha \cos \beta}} - \sin \alpha \sin \beta\\ &=-2 \sin \alpha \sin \beta \end{align}

윗 식의 우변에 대해 정리하면 네번째 공식이 다음과 같이 얻어집니다.

\tag{8} \sin \alpha \sin \beta = - {1 \over 2} \Big\{ \cos(\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \Big\}

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