여인수 전개(cofactor expansion)

BallPen · 2024-08-11T20:26:17+09:00

여인수 전개(cofactor expansion)는 정방행렬의 행렬식을 표현하는 또 다른 방법으로써, 라플라스 전개(Laplace expansion)라고도 불려요. 여인수 전개는 행렬의 어느 축을 기준으로 하던 모두 동일한 값이 얻어집니다.

Last Updated on 2024-08-17 by BallPen

행렬식을 여인수 전개로 표현하는 방법을 알아봐요.

여인수 전개(cofactor expansion)란 행렬식(determinant)을 여인수로 전개하여 표현한 것을 말해요. 여인수 전개는 라플라스 전개(Laplace expansion)라고도 불립니다.

이때 여인수(cofactor)의 뜻이 궁금할 텐데요. ‘나머지에서 도출된 수’라는 뜻의 한자어로 행렬 일부를 제외한 나머지 부분에서 도출된 숫자 임을 의미합니다. ‘어른 여자’를 뜻하는 ‘여인’과는 무관해요.

결론부터 말씀드리면 3×3 행렬의 행렬식을 여인수 전개하면 다음과 같아요. 여인수 전개는 행렬의 어느 축을 잡던 그 결과가 모두 동일한 값이 얻어지는데요. 아래 식은 행렬의 1행에 대해 전개한 거에요.

\begin{align*} & \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix} =a_{11}(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ +a_{12} (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix} \end{align*}

이제부터 윗 식이 어떻게 유도되는지 차근 차근 알아봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 행렬식 복습
2. 여인수 전개
- 2-1. 여인수
- 2-2. 여인수 전개
3. 여인수 전개 예제 풀이

이 글에서 사용된 이미지의 원본 파일입니다. 맥의 키노트로 작성되었어요.

맥 키노트 파일: cofactor expansion.key

1. 행렬식 복습

행렬식은 크래머 공식으로 연립방정식을 푸는 과정에서 도출된 식이에요.

2행 2열인 $A$ 행렬이 있을 때, 이 2×2 행렬의 행렬식 $det(A)$ 는 다음과 같아요.

\tag{1} det(A) = \begin{vmatrix} a_{11} & {a_{12}} \\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}

만일 3행 3열인 $B$ 행렬이 있다면, 이 3×3 행렬의 행렬식 $det(B)$ 는 다음과 같죠.

\tag{2} \begin{align} det(B) &= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix}\\[10pt] &=(a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23})\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~+(a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{a33}) \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ (a_{13}a_{32} a_{21}-a_{13}a_{22}a_{31}) \end{align}

(1), (2)식을 참고하면 4행 4열, 5행 5열의 행렬식도 모두 계산할 수 있어요.

2. 여인수 전개

앞에서 말씀드렸듯이 여인수 전개는 어떤 행렬의 행렬식을 표현하는 또 다른 방법이에요. 따라서 위 (1)식과 (2)식으로 구한 행렬식과 여인수 전개로 구한 행렬식의 값은 서로 같아요.

그럼 이제부터 여인수 전개를 알아 볼텐데요. 우선 여인수가 합으로 연결된 것이 여인수 전개일 테니, 여인수(cofactor)가 무엇인지 부터 알아봐요.

2-1. 여인수

여인수는 행렬의 일부를 제외하고 나머지 부분으로 구하는 수를 말하는데요. 아래 [그림 1]은 그 여인수를 구하는 방법을 나타내고 있어요.

만약 1행 1열 $a_{11}$ 원소에 대한 여인수를 구하고자 한다면 [그림 1(a)] 그림을 보면됩니다.

그림에서 $a_{11}$ 원소를 기준으로 행과 열방향의 원소들을 제외하면 $a_{22}, a_{23}, a_{32}, a_{33}$ 으로 구성된 원소들이 남게 됩니다. 이것을 소행렬식(monor)이라고 불러요.

이 소행렬식에 원소 $a_{11}$ 과 부호를 결정하기 위한 항 $(-1)^{1+1}$ 을 곱한 결과가 그림에 표현되어 있어요. 이때 $a_{11}$ 을 제외한 나머지 부분을 여인수라고 해요.

그래서 여인수를 일반화하면 다음과 같죠.

\tag{3} C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}

여기서 $M_{ij}$ 는 행렬의 $i$ 행과 $j$ 열을 제외한 나머지 부분의 행렬식을 뜻합니다.

결국 원소 $a_{11}$ 에 대한 여인수는 $(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})$ 가 됩니다.

[그림 1] 행렬의 제 1행 원소에 대한 여인수에 해당 원소 값을 곱하고 서로 합한 것을 '여인수 전개'라고 합니다. — [그림 1] 행렬의 제 1행 원소에 대한 여인수에 해당 원소 값을 곱하고 서로 합한 것을 ‘여인수 전개’라고 합니다.

같은 방식으로 1행 2열의 $a_{12}$ 원소에 대한 여인수를 구하고자 한다면 (b) 그림을 보세요.

$a_{12}$ 원소를 기준으로 행과 열방향으로 있는 원소들을 제외하면 $a_{21}, a_{23}, a_{31}, a_{33}$ 으로 구성된 소행렬식이 남게 됩니다.

이 소행렬식에 부호를 결정하기 위한 항 $(-1)^{1+2}$ 을 곱한 것이 $a_{12}$ 에 대한 여인수입니다. 그래서 $a_{12}$ 원소에 대한 여인수는 $-(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})$ 이 됩니다.

1행 3열 $a_{13}$ 원소에 대한 여인수는 (c) 그림을 참고 하세요.

2-2. 여인수 전개

[그림 1]을 통해 정방행렬(square matrix)의 각 원소에 대한 여인수를 구하는 방법을 알았을 거에요. 그렇다면 여인수 전개란 무엇일까요?

그것은 행렬식의 한 축에 대한 여인수에 해당 원소 값을 곱한 후 모두 합한 것을 뜻합니다.

즉, [그림 1]에서 $a_{11}, ~a_{12}, ~a_{13}$ 원소는 행렬의 제 1행 원소들인데요. 그 원소들 각각에 여인수를 곱한 후 합하면 되는거에요.

그러면 행렬식 제1행에 대한 여인수 전개는 다음 (4)식과 같죠.

\tag{4} \begin{align} &a_{11}(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} a_{22} & a_{23}\\ a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} +a_{12} (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{23}\\ a_{31} & a_{33} \end{vmatrix} + a_{13}(-1)^{1+3} \begin{vmatrix} a_{21} & a_{22}\\ a_{31} & a_{32} \end{vmatrix}\\[10pt] &=a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12} (a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31}) + a_{13} (a_{21} a_{32}-a_{22}a_{31}) \end{align}

그런데 (4)식의 전개 결과를 (2)식과 비교해보면 서로 같다는 것을 알 수 있어요. 차근 차근 잘 보세요. 정말 같아요. 그래서 여인수 전개는 행렬식을 표현하는 또 다른 방법이랍니다.

이때 중요한 것은 어느 축을 기준으로 하던 여인수 전개의 결과는 모두 같다는 거에요.

즉, (4)식은 3×3 행렬의 제 1행에 대한 여인수 전개이지만 제 2행에 대해 전개하던, 제 3행에 대해 전개하던, 아니면 제1열에 대해 전개하던 그 결과는 모두 같아요.

이 성질에 대해서는 아래 예제를 통해 알아보겠습니다.

3. 여인수 전개 예제 풀이

다음 3행 3열의 $C$ 행렬이 있습니다. 이 행렬의 행렬식, 그리고 제 1행에 대한 여인수 전개, 제2열에 대한 여인수 전개하여라.

\tag{5} C= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 &6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

우선 (2)식을 적용해 행렬식 $det(\bold C)$ 을 구합니다.

\tag{6} \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} &= (1 \cdot5 \cdot9 - 1 \cdot 8 \cdot 6)+(2 \cdot 6 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot 9)+(3 \cdot 8 \cdot 4 - 3 \cdot 5 \cdot 7)\\ &=(45-48)+ (84-72)+(96 - 105)\\ &=0 \end{align}

다음은 제 1행에 대한 여인수 전개입니다. 그 결과값이 0이 나오는데요. 바로 위에서 구한 행렬식 값과 같아요.

\tag{7} \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} &=1(-1)^{1+1}(5 \cdot9 - 6 \cdot 8)\\ & ~~~~~~~~~~~~+2(-1)^{1+2}(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7)+3(-1)^{1+3}(4 \cdot 8 - 5 \cdot 7)\\ &=1(45-48)-2(36-42)+3(32-35)\\ &=0 \end{align}

다음은 제 2열에 대한 여인수 전개입니다.

\tag{8} \begin{align} \begin{vmatrix} 1 & 2 &3\\ 4 & 5& 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} &=2(-1)^{1+2}(4 \cdot 9 - 6 \cdot 7)\\ &~~~~~~~~~~~+5(-1)^{2+2} (1 \cdot 9 - 3 \cdot 7) + 8(-1)^{3+2}(1 \cdot 6 - 3 \cdot 4)\\ &=-2(36-42)+5(9-21)-8(6-12)\\ &=0 \end{align}

그 결과값이 0이 나옵니다.

이와 같이 여인수 전개는 행렬의 어느 축을 기준으로 하던 모두 동일한 값이 나온다는 것을 알 수 있어요.

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