전기변위(Electric displacement)

Last Updated on 2025-01-21 by BallPen

전기변위와 유전체에서의 가우스 법칙을 알아봐요.

전기변위(electric displacement)는 대체전기장, 전기변위장 등의 이름으로 다양하게 불리는 개념인데요. 과연 전기변위란 무엇일까요?

지난 글에서 가우스 법칙에 대해 설명드린 적이 있어요. 가우스 법칙은 진공(vacuum)에서 전하분포가 대칭적일 때 손쉽게 전기장을 구하는 방법이에요.

그런데 만일 진공이 아닌 유전체라면 가우스 법칙을 그대로 사용할 수 없어요.

왜냐면 전하 주변을 유전체가 둘러싸고 있으면 전하의 전기장에 의해 유전체가 편극되어 속박전하가 생성되기 때문이에요.

그래서 유전체 내부에서도 가우스 법칙처럼 쓸 수 있는 식이 있다면 편리할 거에요. 그래서 식이 만들어졌는데요. 다음과 같습니다.

\tag{D1}
{\oint \vec D \cdot d \vec a} = {Q_{enc}}

이때 위 식에서 \vec D를 전기변위라고 해요.

이번글에서는 (D1)식이 어떻게 도출되었는지, 그리고 위 식으로부터 유전체 내의 전기장은 어떻게 구할 수 있는지 알아보겠습니다.

1. 가우스 법칙 복습

가우스 법칙은 진공에서 가상의 닫혀진 곡면을 통과하는 전기장 선속이 곡면 내의 알짜 전하량 Q_{enc}를 진공중에서의 유전율 \epsilon_0로 나눈값이 된다는 법칙이에요. 식으로 쓰면 다음과 같아요.

\tag{1-1}
{\oint \vec E_0 \cdot d \vec a} = {{Q_{enc}}\over{\epsilon_0}}

예를 들어 선전하 \lambda가 고르게 놓인 길이가 L긴 직선 도선으로부터 s만큼 떨어진 곳의 전기장을 구한다고 생각해봐요.

전기장은 도선에서 수직한 \hat s방향을 향하고, 그림에 표시한 미소 면적 d \vec a의 방향과 평행할 거에요. 이를 고려해 원통좌표계를 사용하면 (1-1)식은 다음과 같아요.

\tag{1-2}
\begin{align}
\oint \vec E_0 \cdot d \vec a &=  \int_0^{L} \int_0^{2\pi}  E \hat s \cdot  s d\phi dz \hat s\\[10pt]
&= E\int_0^{L} \int_0^{2\pi} s d \phi dz\\[10pt]
&=E\int_0^L \Big[s\phi\Big]_0^{2\pi} dz\\[10pt]
&=E\int_0^L 2 \pi s dz\\[10pt]
&=E\Big[2 \pi s \Big]_0^L\\[10pt]
&=E(2 \pi s{\cancel L}) = {{Q_{enc}}\over{\epsilon_0}} = {{\lambda {\cancel L}}\over{\epsilon_0}}
\end{align}

그리고 윗 식의 가장 마지막 줄을 정리해서 전기장을 벡터로 표현하면 다음과 같죠.

\tag{1-3}
\vec E_0 = {{\lambda}\over{2 \pi \epsilon_0 s}} \hat s

이와 같이 진공내에서 대칭구조로 전하가 분포되어 있을때 가우스 법칙을 적용하면 전기장을 쉽게 구할 수 있어요.

그런데 만일 유전체가 전하를 대칭구조로 둘러싸고 있다면 전기장을 어떻게 구할 수 있을까요? 전하가 유전체안에 있으므로 전하의 전기장에 의해 유전체가 편극되고, 편극에 의해 추가적인 전기장이 형성되고, 그 추가적 전기장에 의해 다시 편극이 추가되는 과정이 계속될 것을 생각할 수 있어요.

그러므로 (1-1)식의 가우스 법칙으로는 유전체 내부의 전기장을 구할 수 없어요.

그렇다면 유전체 내부의 전기장은 어떻게 구해야 할까요?

2. 유전체에서의 가우스 법칙: 전기변위

아래 [그림 2]는 [그림 1]과 같이 선전하밀도 \lambda가 있는 도선에서 s만큼 떨어진 곳에서의 전기장을 구하기 위해 가우스 곡면을 그렸어요.

하지만 이 경우에는 진공이 아닌 노랑색 원통으로 표현된 유전체가 도선을 둘러싸고 있다는 것을 알 수 있어요.

도선으로부터 s만큼 떨어진 유전체 내부의 전기장을 구하고 싶다고 생각해봐요. 이를 위해서는 아래의 전기변위를 알아야 합니다.

2-1. 전기변위(대체전기장, 전기변위장)

가우스 법칙의 미분형을 적용하면 (1-1)식은 다음과 같이 표현될 수 있어요.

\tag{2-1}
\nabla \cdot \vec E_0 = {{\rho_f}\over{\epsilon_0}}

여기서 \rho_f는 가우스 곡면 내부의 부피전하밀도입니다.

한편 [그림 2]의 상황에서 유전체 내부의 전하밀도는 유전체 내의 자유 전하(또는 이온)에 의한 부피 전하 밀도 \rho_f 뿐만 아니라 유전체의 편극에 의한 부피 속박 전하 밀도 \rho_b가 생기므로 그 둘의 합으로 주어지게 될거에요.

\tag{2-2}
\rho = \rho_b + \rho_f

그러므로 (2-2)식의 \rho를 (2-1)식의 \rho_f자리에 대입하고 정리하면 아래 (2-3)식과 같아요. 여기서 중요한 것은 아래 (2-3)식에서 전기장이 \vec E_0가 아닌 \vec E로 바뀌었다는 거에요.

그 이유는 진공에서의 전기장 \vec E_0에 편극으로 생성된 부피 속박 전하 밀도에 의한 전기장이 합해져 \vec E_0와는 다른 전기장이 유전체 내에 형성되므로 이를 구분해서 \vec E로 표현했기 때문이에요.

\tag{2-3}
\begin{align}
\epsilon_0 ( \nabla \cdot\vec E ) &= \rho\\
&=\rho_b + \rho _f\\
&=-\nabla \cdot \vec P + \rho _f
\end{align}

윗 식의 양변을 정리하면 다음과 같아요.

\tag{2-4}
\nabla \cdot \epsilon_0 \vec E + \nabla \cdot \vec P = \rho_f

그리고 다음과 같이 쓸 수 있죠.

\tag{2-5}
\nabla \cdot {\color{blue}(\epsilon_0 \vec E + \vec P)} =\rho_f

그리고 윗 식에서 파랑색 수식 부분을 \vec D로 치환하고, 이를 전기변위라고 부르기로 해요. 그러면 (2-5)식은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

\tag{2-6}
\nabla \cdot \vec D = \rho_f

그리고 윗 식을 가우스 법칙의 미분형인 (2-1)식과 동일한 형태로 보고 가우스 법칙 적분형으로 변환하면 다음과 같이 쓸 수 있음을 알 수 있을 거에요.

\tag{2-7}
\oint \vec D \cdot d \vec a = Q_{enc}

결국 윗 식은 (1-1)식의 가우스 법칙과 완전히 동일하지는 않지만 유사한 모양을 가져요. 그래서 이 식을 유전체에서의 가우스법칙이라고 부릅니다.

2-2. 유전체 내부와 외부의 전기장

지금까지 유전체에서의 가우스 법칙인 (2-7)식을 도출했어요. 이제 (2-7)식을 사용해 유전체 내부와 외부의 전기장을 구해 봐요.

아래 [그림 3]은 [그림 2]에 추가적으로 유전체 외부에도 닫힌 가우스 곡면을 설정한거에요.

그러니까 원통형 유전체의 반지름을 R이라고 했을 때 s<R인 경우 파랑색 원통처럼 유전체 내부에 가우스 곡면이 설정되고, s>R인 경우 녹색 원통처럼 유전체 외부에 가우스 곡면이 설정된 모습이에요.

그럼 유전체 내부의 전기장부터 구해 봐요.

[유전체 내부의 전기장]

우선 (2-7)식을 사용해 유전체 내부에서의 전기변위 \vec D를 구합니다.

\tag{2-8}
\oint \vec D \cdot d \vec a=D(2 \pi s {\cancel L}) = \lambda {\cancel L}

그러므로 윗 식을 정리하면 유전체 내부에서의 전기변위는 아래 식과 같아요.

\tag{2-9}
\vec D = {{\lambda}\over{2 \pi s}} \hat s,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s< R

한편 유전체가 \epsilon의 유전율을 갖는 선형 유전체라면 전기변위는 \vec D = \epsilon \vec E와 같으므로, 이 관계를 (2-9)식에 대입 후 전기장을 구하면 다음과 같아요.

\tag{2-10}
\vec E = {{\lambda}\over{2 \pi \epsilon s}}\hat s,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s < R

[유전체 외부의 전기장]

유전체 외부의 전기변위도 (2-8)식과 (2-9)식으로 동일하게 구할 수 있어요. 그러니까 전기변위 공식은 유전체 안과 밖이 모두 동일해요. 다만 s가 커질수록 전기변위는 작아지겠죠.

\tag{2-11}
\vec D = {{\lambda}\over{2 \pi s}} \hat s,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s > R

유전체 외부에서는 편극밀도가 0이므로 전기변위는 \vec D = \epsilon_0 \vec E_0의 관계를 가져요. 이 관계를 윗 식에 대입 후 전기장을 구하면 다음과 같아요.

\tag{2-12}
\vec E_0 = {{\lambda}\over{2 \pi \epsilon_0 s}}\hat s,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~s > R

이렇게 해서 유전체 안과 밖의 전기장을 모두 구했어요. 그 결과가 (2-10)식과 (2-12)식인데요.

물질의 유전율 \epsilon은 진공의 유전율 \epsilon_0보다 커요. 그래서 유전체 속의 전기장 \vec E는 진공에서의 전기장 \vec E_0보다 작다는 것을 알 수 있어요.

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