Last Updated on 2025-07-06 by BallPen
군속도와 위상속도의 개념을 알아 봐요.
군속도 개념에 대한 이야기입니다. 파동의 속도에는 위상속도(phase velocity, 위상속력)와 군속도(group velocity, 군속력)가 있어요.
위상 속도는 알겠는데 군속도가 무엇인지 어려워 하는 경우가 있어요. 또 그 둘의 차이점을 명확히 설명하지 못하는 경우가 많아요.
결론부터 말씀드리면 위상속도 \(v_p\)는 다음 식으로 주어집니다.
\begin{align}
\tag{D1}
v_p = {\omega \over k}
\end{align}
여기서 \(\omega\)는 파동의 각진동수, \(k\)는 파동의 파수(wave number)입니다.
한편 군속도 \(v_g\)는 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{D1}
v_g = {d\omega \over dk}
\end{align}
수식을 보면 서로 비슷하기도 한데요. 이제부터 위 식이 어떻게 도입되었는지 그리고 군속도와 위상속도에 따라 파동의 전파 모습이 어떻게 나타나는지 알아보도록 해요.
Contents
1. 파동의 위상속도
군속도를 알아보기 전에 위상속도부터 먼저 알아 봐요.
1-1. 진행파의 파동함수
파동이 시간에 따라 공간을 퍼져나가면 진행파라고 불러요. 그리고 진행파를 기술하는 함수를 파동함수라고 합니다.
사인꼴 파동함수는 수학적으로 다음과 같이 주어져요.
\begin{align}
\tag{1-1}
y = A \sin (kx – \omega t)
\end{align}
여기서 \(k\)는 파동의 파수이고, \(\omega\)는 각진동수에요.
파수는 다음 식으로 주어져요.
\begin{align}
\tag{1-2}
k = {{2 \pi}\over{\lambda}}
\end{align}
그리고 윗 식을 파장 \(\lambda\)에 대해 정리하면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{1-3}
\lambda = {{2 \pi}\over{k}}
\end{align}
한편 각진동수 \(\omega\)는 진동수 \(f\)와 다음의 관계를 갖습니다.
\begin{align}
\tag{1-4}
f = {{\omega}\over{2 \pi}}
\end{align}
1-2. 파동의 전파 속도: 위상속도
파동은 공간을 어떤 속도를 갖고 진행하게 되는데요. 이때 파동의 주기를 \(T\), 파동의 파장을 \(\lambda\)라고 해봐요.
그러면 파동의 전파 속도 \(v\)는 한 주기 당 한 파장을 진행하므로 다음과 같이 쓸 수 있어요.
\begin{align}
\tag{1-5}
v = {{\lambda}\over{T}}=f \lambda
\end{align}
그리고 윗 식의 \(f\)에 (1-4)식을, \(\lambda\)에 (1-3)식을 각각 대입해 보세요. 그러면 파동의 전파 속도는 다음과 같습니다.
\begin{align}
\require{cancel}
\tag{1-6}
v &= f \lambda\\
&={{\omega}\over{{\cancel{2 \pi}}}}{{{\cancel{2 \pi}}}\over{k}}\\
&={\omega \over k}
\end{align}
이때 위에서 구한 파동의 전파 속도는 파동의 위상이 이동하는 속도라는 의미에서 위상속도라고 합니다. 위상을 뜻하는 영어의 phase에서 p를 따 \(v_p\)라고 부르겠습니다.
\begin{align}
\tag{1-7}
v_p = {{\omega}\over{k}}
\end{align}
1-3. 위상속도 시뮬레이션
아래 동영상을 보면 사인꼴 파동이 \(x\)축 방향으로 진행하는 것을 볼 수 있어요.
이 진행파 시뮬레이션은 다음의 파동함수로 만들어진 거에요.
\begin{align}
\tag{1-8}
y=4.00~ {\rm{m}} \sin (\pi x – 0.50 t)
\end{align}
그렇다면 위 동영상에서 관찰되는 사인꼴 파동의 위상속도는 얼마일까요?
네 맞아요. 바로 (1-7)식을 적용하면 되는데요. (1-8)식에서 파수 \(k\)는 \(\pi\)이고, 각진동수 \(\omega\)의 크기는 0.50 이므로 위상속도 \(v_p\)는 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{1-9}
v_p = {{\omega}\over{k}}&={{0.50}\over{\pi}}\\
&=0.16~\rm{m/s}
\end{align}
동영상에서 보이는 파동의 위상속도는 1초당 0.16 m를 가는 빠르기로 이동하고 있어요.
2. 파동의 군속도
위상속도를 알아봤으니 이제부터 이 글의 목적인 군속도에 대해 알아 봐요.
군속도는 두 개 이상의 파동이 합쳐지면 파동이 덩어리져 묶인 부분(wave packet)이 만들어지는데요. 그 파동묶음이 이동하는 속도를 군속도라고 합니다.(파동묶음의 구체적 모양은 아래 시뮬레이션에서 볼 수 있어요.)
그런데 군속도를 구체적으로 정의하기 전에 두 개의 파동이 합쳐졌을 때 수학적으로 어떻게 표현되는지부터 먼저 알아 볼 필요가 있어요.
2-1. 두 파동의 덧셈
두 파동을 다음과 같이 정의할께요.
\begin{align}
\tag{2-1}
&y_1 = A \cos (k_1 x – \omega_1 t)\\
&y_2 = A \cos (k_2 x – \omega_2 t)
\end{align}
그리고 그 둘을 서로 합할 거에요. 그러면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-2}
y &= y_1 + y_2\\
&=A \cos (k_1 x – \omega_1 t) + A \cos (k_2 x -\omega_2 t)\\
\end{align}
한편 삼감함수의 합과 차를 곱으로 바꾸는 공식 중에서 다음 성질이 성립합니다.
\begin{align}
\tag{2-3}
\cos a + \cos b = 2 \cos \big( {{a-b}\over{2}}\big) \cos \big({{a+b}\over{2}} \big)
\end{align}
위 식에서 \(a=k_1 x – \omega_1 t\), \(b=k_2 x – \omega_2 t\)로 두면 (2-2)식은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-4}
y &= 2A \cos \Big[ {{(k_1 x – \omega_1 t) – (k_2 x – \omega_2 t)}\over{2}}\Big]\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cos \Big[{{(k_1 x – \omega_1 t)+(k_2 x -\omega_2 t)}\over{2}}\Big]\\
&=2A \cos \Big\{ – \Big[{{(k_2 – k_1)}\over{2}}x – {{(\omega_2 – \omega_1)}\over{2}}t\Big]\Big\} \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cos\Big[{{(k_2 + k_1 )}\over{2}} x – {{(\omega_2 – \omega_1)}\over{2}}t \Big]\\
&=2A \cos \Big[{{(k_2 – k_1)}\over{2}}x – {{(\omega_2 – \omega_1)}\over{2}}t\Big] \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\cos\Big[{{(k_2 + k_1 )}\over{2}} x – {{(\omega_2 – \omega_1)}\over{2}}t \Big]\\
\end{align}
그리고 위 식에서 \(k_2 – k_1\)을 \(\Delta k\)로 치환하고, \(\omega_2 – \omega_1\)을 \(\Delta \omega\)로 치환하여 정리하면 두 파동을 합한 \(y\)는 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-5}
y = {\color{blue}{2A\cos \Big[{{\Delta k}\over{2}}x – {{\Delta \omega}\over{2}}t\Big]}} {\color{red}{\cos\Big[{{(k_2 + k_1 )}\over{2}} x – {{(\omega_2 + \omega_1)}\over{2}}t \Big]}}\\
\end{align}
2-2. 파동묶음의 전파속도 : 군속도
앞의 (2-5)식을 보면 파랑색 수식이 있고 빨강색 수식이 있어요.
이때 파랑색 수식 만을 보면 (1-1)식의 파동함수와 형태가 갖다는 것을 알 수 있어요. 따라서 이 파동의 전파속도는 (1-7)식을 적용하면 다음과 같아요. 다만 위상속도와 구분하기 위해 이 속도를 군속도라고 정의할께요. 모여진 군을 뜻하는 group에서 g를 따 \(v_g\)라고 부르겠습니다.
\begin{align}
\tag{2-6}
v_g = {{\Delta \omega /2}\over{\Delta k / 2}} = {{\Delta \omega}\over{\Delta k}}
\end{align}
그런데 이때 \(\Delta k\)와 \(\Delta \omega\)가 아주 작다면 아래와 같이 도함수의 형태로 기술할 수 있을 거에요.
\begin{align}
\tag{2-7}
v_g = {{d \omega}\over{d k}}
\end{align}
바로 윗 식이 군속도를 나타내는 일반적인 수식이랍니다.
한편 (2-5)식에서 빨강색 수식도 파동함수의 형태를 갖는데요. 이것은 파동묶음의 내부를 구성하는 파동함수의 식이에요. 따라서 빨강색 파동함수의 전파 속도를 구하면 그것은 위상속도가 됩니다.
\begin{align}
\tag{2-8}
v_p = {{(\omega_2 + \omega_1)/2}\over{(k_2 + k_1) /2}} = {{\omega_2 + \omega_1}\over{k_2 + k_1}}
\end{align}
2-3. 군속도 시뮬레이션
이렇게 해서 위상속도와 군속도에 대해 말씀드렸어요. 그런데 위상속도는 알겠어도 군속도가 아직 명확히 이해되지 않을 거에요. 특히 파동묶음(wave packet)이 무엇인지도 궁금할텐데요.
그래서 시뮬레이션을 준비했어요.
[위상속도와 군속도가 같은 경우]
아래 식으로 주어진 두 개의 파동이 있어요.
\begin{align}
\tag{2-9}
&y_1 = 1 \cos (2.0 x – 2.0 t)\\
&y_2 = 1 \cos (2.1 x – 2.1 t)
\end{align}
그런데 이 두 파동이 합쳐지면 그 합성파동은 아래 동영상과 같아요.
동영상을 보시면 좁은 폭을 갖고 위아래로 진동하는 파동을 볼 수 있어요. 그리고 마치 실에 꿰어놓은 구슬처럼 좁은 파동을 둘러싼 볼록 볼록한 큰 파동묶음도 볼 수 있죠.
즉, 큰 파장의 파동묶음 안에 작은 파장의 내부 파동이 있는 형태에요. 이때 내부 파동의 이동 속도가 위상속도, 큰 파동묶음의 이동속도가 군속도입니다.
이 파동의 위상속도와 군속도를 (2-8)식과 (2-6)식으로 구해보면 모두 1.0이 나옵니다. 즉 위상속도와 군속도가 같아요.
\begin{align}
\tag{2-10}
v_p &= {{2.1+2.0}\over{2.1+2.0}}\\
&=1.0\\[10pt]
v_g &= {{2.1-2.0}\over{2.1-2.0}}\\
&=1.0
\end{align}
위상속도와 군속도가 같으면 파동묶음과 내부 파동이 같은 빠르기로 움직여가는 것을 알 수 있어요.
[위상속도보다 군속도가 더 빠른 경우]
아래 동영상도 두 파동을 합한 결과를 보여주고 있어요. 그 두개의 파동은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-11}
&y_1 = 1 \cos (2.0 x – 2.0 t)\\
&y_2 = 1 \cos (2.2 x – 2.5 t)
\end{align}
이 파동의 위상속도와 군속도를 구해보면 위상속도가 1.1, 군속도가 2.5로 군속도가 더 빨라요. 군속도가 빠를 때 파동의 진행 모습을 관찰해 보시기 바랍니다.
\begin{align}
\tag{2-12}
v_p &= {{2.5+2.0}\over{2.2+2.0}}\\
&=1.1\\[10pt]
v_g &= {{2.5-2.0}\over{2.2-2.0}}\\
&=2.5
\end{align}
[군속도보다 위상속도가 더 빠른 경우]
이번에는 군속도 보다 위상속도가 더 빠른 경우에요. 시뮬레이션에 사용된 두 파동은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-13}
&y_1 = 1 \cos (2.0 x – 2.0 t)\\
&y_2 = 1 \cos (2.5 x – 2.2 t)
\end{align}
이 파동의 위상속도와 군속도를 구해보면 위상속도가 0.9, 군속도가 0.4로 위상속도가 더 빨라요. 위상속도가 빠를 때 파동의 진행 모습을 관찰해 보시기 바랍니다.
\begin{align}
\tag{2-14}
v_p &= {{2.2+2.0}\over{2.5+2.0}}\\
&=0.9\\[10pt]
v_g &= {{2.2-2.0}\over{2.5-2.0}}\\
&=0.4
\end{align}
이렇게 해서 이번 글에서는 위상속도와 군속도에 대해 말씀드렸습니다. 파동 시뮬레이션을 잘 관찰해 보시면 두 속도가 무엇을 뜻하는지 잘 이해하실수 있을 거에요.
본 글에서는 단지 두개의 파동이 합쳐졌을때 만을 다루었는데요. 만일 수많은 파동이 합쳐지면 공간 상의 한 곳에 국소화된 파동 묶음이 나타날 수 있어요. 그리고 이것을 양자입자라고 불러요.
즉, 파동을 입자로, 입자를 파동으로 간주할 수 있는 연결고리가 되는 것이죠. 이에 대해서는 다른 글에서 따로 말씀드리겠습니다.
