수열의 극한

BallPen · 2025-03-04T20:03:02+09:00

수열의 극한 성질을 알아보기 위해 그래프를 그려 보는 것은 아주 좋은 방법이에요. 그래프를 통해 수열이 수렴하는지 아니면 발산하는지를 쉽게 알 수 있습니다. 물론 수렴한다면 극한 값을 구할 수도 있어요. 그래프를 그리기 위해 매스매티카를 이용하면 편리해요.

Last Updated on 2025-03-07 by BallPen

수열의 그래프로 수렴, 발산, 극한 값의 의미를 알아 봐요.

수열의 극한 성질을 알아보기 위해서는 그래프를 그려보는게 제일 편리하고 좋아요.

이번 글에서는 등차 수열과 등비 수열의 수렴, 발산 조건에 따라 수열의 그래프를 매스매티카로 그려보고 수렴하는지 아니면 발산하는지 여부를 알아보겠습니다.

만일 수렴한다면 그 극한값도 구해보도록 해요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 수열(sequence)
- 1-1. 등차 수열
- 1-2. 등비 수열
2. 수열의 극한
- 2-1. 등차수열의 극한
  - [d>0인 경우]
  - [d<0인 경우]
- 2-2. 등비수열의 극한
3. 수열의 극한 예제

1. 수열(sequence)

수열이란 수의 순서있는 나열을 의미해요. 수열은 $\{a_n\}$ 의 형태로 표기합니다.

수열은 크게 등차수열과 등비수열로 나뉘어요.

1-1. 등차 수열

등차수열은 인접한 두 항의 차이가 공통적인 어느 값을 갖는 경우에요. 즉 $a_{n+1}$ 과 $a_n$ 의 관계로 표현되는 점화식은 다음과 같죠.

\tag{1-1} a_{n+1} - a_n = 숫자

예를 들어 아래의 수열이 있어요.

\tag{1-2} \begin{align} \{a_n\} = 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, \cdots \end{align}

위 수열에서 각 원소 사이의 차이를 구해봐요. 즉 세번째 원소 7과 두번째 원소 4사이의 차가 3이고, 6번째 원소 16과 5번째 원소 13 사이의 차도 3인 것을 알 수 있어요.

즉 다음 관계가 성립하는 등차수열인거에요.

\tag{1-3} a_{n+1} - a_n = 3

등차수열에서 $n$ 번째 항, 즉 등차수열의 일반항 $a_n$ 은 다음과 같아요.

\tag{1-4} a_n = a + (n-1) d

이 식에서 $a$ 는 수열의 첫번째 원소를 뜻해요. (1-2)수열의 경우 1에 해당합니다. 그리고 $d$ 는 공차라고 불리는데요. 두 항사이의 차이값으로 (1-3)식의 3을 뜻합니다.

1-2. 등비 수열

등비수열은 인접한 두 항 사이의 비율이 특정한 어느 값을 갖는 경우에요. 즉 $a_{n+1}$ 과 $a_n$ 의 관계를 알려주는 점화식은 다음과 같아요.

\tag{1-5} {{a_{n+1}}\over{a_n}} = 숫자

예를 들어 아래의 수열이 있어요.

\tag{1-6} \{a_n\} = 2, 5, 12.5, 31.25, 78.125, 195.313, 488.281, 1220.7 \cdots

위 수열에서 각 원소사이의 비율을 구해 보세요. 즉 세번째 원소 12.5와 두번째 원소 5사이의 비율은 2.5이고, 6번째 원소 195.313과 5번째 원소 78.125 사이의 비율도 2.5인 것을 알 수 있어요.

즉 다음 관계가 성립하는 등비수열이에요.

\tag{1-7} {{a_{n+1}}\over{a_n}}=2.5

등비수열에서 $n$ 번째 원소의 항, 즉 등비수열의 일반항 $a_n$ 은 다음과 같아요.

\tag{1-8} a_n = a \cdot r^{n-1}

아래 식에서 $a$ 는 수열의 첫째 원소로 (1-6)수열에서 2를 의미합니다. 그리고 $r$ 은 두 항 사이의 비율로 등비라고 불러요. (1-7)의 2.5를 뜻합니다.

2. 수열의 극한

2-1. 등차수열의 극한

어느 등차 수열이 있을 때 $n$ 이 $\infty$ 로 한없이 커지는 극한의 상황에서 그 수열이 어떤 특정 값을 향하면 수렴한다고 하고, 양과 음의 무한대로 커지면 발산한다고 합니다.

극한에서 등차수열의 수렴과 발산 조건은 다음과 같아요. 공차가 $d=0$ 일 때는 첫째항 $a$ 값으로 수렴하고 나머지는 모두 발산하는 것을 알 수 있어요.

\tag{2-1} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n =\lim_{n \rightarrow \infty}[a+(n-1)d]= \begin{cases} \infty,~~~&(d>0)\\ a, ~~~~~&(d=0)\\ -\infty,&(d<0) \end{cases}

각각의 경우에 대해 매스매티카로 그려볼게요.

[d>0인 경우]

아래 [그림 1]은 첫째항이 1이고 공차가 3인 등차수열을 50항까지 구하고 그래프로 그린 거에요. $d=3$ 이므로 (2-1)의 조건에 따르면 무한대가 나와야 해요.

그래프에서도 $n$ 이 한없이 커질 때 극한값이 양의 무한대가 됨을 짐작할 수 있어요.

[d=0인 경우]

아래 [그림 2]는 $d=0$ 인 경우에요. $n$ 이 무한대로 커지더라도 극한 값은 첫째 항인 1로 수렴한다는 것을 알 수 있어요.

[d<0인 경우]

공차가 0보다 작은 경우도 알아봐요. 아래는 $d=-1.5$ 인 경우입니다.

아래 [그림 3]과 같이 $n$ 이 무한대로 커지면 음의 무한대로 발산한다는 것을 알 수 있어요.

2-2. 등비수열의 극한

등차 수열에서 수렴과 발산이 있었듯이 등비수열에서도 수렴과 발산이 있어요.

극한에서 등비수열의 수렴 조건은 다음과 같아요.

\tag{2-2} \lim_{n \rightarrow \infty} a_n =\lim_{n \rightarrow \infty}[a\cdot r^{n-1}]= \begin{cases} 0,~~~&(a=0)\\ 0, ~~~~~&( a \ne 0, ~~{-1 {<}r {<} 1})\\ a,&(a\ne 0, ~~r=1) \end{cases}

이번에도 각각의 경우에 대해 매스매티카로 그래프를 그려볼게요.

[a=0인 경우]

아래 [그림 4]는 첫째항 $a=0$ , 등비 $r=2.5$ 인 등비수열에서 10항까지의 값을 구하고 그래프로 나타낸 거에요.

수열의 각 항이 모두 0으로 나와 0으로 수렴될 수 밖에 없다는 것을 알 수 있어요.

[a가 0이 아니고, 공비의 크기가 1보다 작은 경우]

아래 [그림 5]는 첫째항 $a=3$ , 등비 $r=-0.6$ 인 등비수열에서 20항까지의 값을 구하고 그래프로 나타낸 거에요.

이 경우에도 (2-2)식의 두번째 등비수열 수렴 조건을 만족하므로 0으로 수렴함을 알 수 있어요.

[a가 0이 아니고, 공비가 1 경우]

아래 [그림 5]는 첫째항 $a=3$ , 공비 $r=1$ 인 등비수열에서 20항까지의 값을 구하고 그래프로 나타낸 거에요.

수열의 모든 항이 첫째 항인 3과 같으므로 극한에서도 3으로 수렴 함을 알 수 있어요.

[수렴조건을 만족하지 않으면 정말 발산하는가?]

이번에는 반대로 등비수열의 수렴조건 (2-2)식을 만족하지 않으면 정말 발산하는지 알아봐요. 그래서 첫째항이 0이 아니되, 공비가 1보다 큰 값이 1.5인 경우를 그래프로 그려볼 거에요.

이 조건은 (2-2)식의 수렴조건에 해당하지 않으므로 발산되어야 합니다. 그 결과는 다음과 같아요. 정말 발산하는군요.

3. 수열의 극한 예제

위에서 본 것처럼 수열의 극한 값을 구하기 위해 그래프를 그려보는 것이 상당히 도움이 된다는 것을 알았어요. 이번에는 수열의 일반항이 더 복잡한 형태로 주어진 경우의 예제를 풀어 봐요.

\tag{3-1} \lim_{n \rightarrow \infty} \Big({{3 \cdot 4^n - 3^n}\over{4^n + 3^n + 2}}\Big)

위 수열의 극한이 수렴할까요? 아니면 발산할까요?

이를 직접적으로 알아보기 위해 그래프를 그려볼게요. 그 결과는 다음과 같아요.

[그림 8] 극한에서 수열의 수렴 여부는 그래프를 그리면 쉽게 알 수 있어요. 이 경우에는 3으로 수렴함을 알 수 있어요.

$n$ 이 커질수록 3으로 점점 수렴함을 알 수 있어요. 즉 예제에 주어진 수열의 극한은 3으로 수렴합니다.

한편, 고등학교 과정에서 등장하는 수열의 극한을 구하는 방법으로도 극한 값을 구할 수 있어요. 일반항을 구성하는 최고차항인 $4^n$ 으로 분모와 분자를 나누어주고 $n \rightarrow \infty$ 인 경우를 적용하면 됩니다.

구체적인 풀이는 다음과 같아요.

\tag{3-2} \begin{align} \lim_{n \rightarrow \infty} \Big({{3 \cdot 4^n - 3^n}\over{4^n + 3^n + 2}}\Big) &= \lim_{n \rightarrow \infty}\Big( {{3 \cdot {\color{blue}({4 \over 4})^n} -{\color{red}({3 \over 4})^n}}\over{1+{\color{red}( {3 \over 4} )^n}} +2{\color{red}({1 \over 4})^n}} \Big)\\[10pt] &=\lim_{n \rightarrow \infty} 3\\[10pt] &=3 \end{align}

3으로 수렴 함을 알 수 있습니다.

이때 위 (3-2)식에서 파랑색 부분은 공비가 1이므로 (2-2)식의 등비수열 수렴 조건에 따라 1로 수렴해요. 나머지 빨강색 수식 부분은 공비의 크기가 1보다 작으므로 등비수열 수렴 조건에 따라 0으로 수렴합니다.

결국 남게 되는 것은 3 뿐입니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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