Last Updated on 2025-06-15 by BallPen
가둬진 물에 의해 댐이 받는 정압력과 정수력을 계산해 보도록 해요.
정압력 계산 방법을 알아 보겠습니다. 여기서 정압력(hydrostatic pressure, 또는 정수압)이란 가둬진 물에 의해 댐이 받는 압력(pressure)을 뜻합니다.
물이 흐를 때의 압력인 동압력(hydrodynamic pressure, 동수압)과는 달리 정지한 물에 의한 압력임을 의미해요.
아울러 이 정압력 때문에 댐이 받게 되는 힘인 정수력(hydrostatic force)도 계산해 보도록 해요.
간단한 문제이니 함께 풀어보도록 하겠습니다. 아래는 이번 글의 목차입니다.
Contents
1. 댐 정압력
아래 [그림 1]은 댐(dam)에 물이 갖혀 있는 사진으로, 매우 많은 양의 물을 가두고 있음을 알 수 있어요. 그러므로 댐이 마주하는 물은 정지상태로 간주할 수 있고, 그 수심은 깊을 수 밖에 없습니다.
따라서 물 속에 잠긴 댐 표면에 수직한 방향으로 댐은 압력을 받게 되는데요. 이 압력의 크기는 수심이 깊어질수록 증가합니다.
![[그림 1] 가둬진 물에 의해 댐은 정압력 \(P\)을 받게 됩니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2025/06/dam-4260531_1280-1024x682.jpg)
(Pixabay로부터 입수된 Deni Hermawan님의 이미지 입니다.)
수심에 따른 유체속 정압력 공식은 다음과 같이 주어집니다. 일반적인 유체에 의한 압력과 동일해요.
\begin{align}
\tag{1-1}
P=\rho gh
\end{align}
위 식에서 \(\rho\)는 물의 밀도, \(g\)는 중력가속도, \(h\)는 물 표면으로부터의 깊이인 수심을 뜻합니다.
(1-1)식으로 댐이 받는 압력 \(P\)를 정압력 또는 정수압이라고 불러요. 이 말은 댐에 갖혀 정지한 물이 만드는 압력이라는 뜻이에요.
식에서 알수 있듯이 압력은 물의 깊이 \(h\)에만 의존할 뿐 댐이 가두고 있는 물의 양하고는 관련이 없어요. 즉 깊이만 같다면 댐에 가둬진 전체 물의 양이 적든 많든 압력의 크기는 다르지 않아요.
그렇다면 정압력 때문에 발생하는 댐에 작용하는 힘인 정수력은 어떻게 구할 수 있을까요?
만일 압력이 일정하다면 단위면적 \(A\)에 작용하는 힘 \(F\)는 다음 (1-2)식으로 구할 수 있을거에요.
\begin{align}
\tag{1-2}
F=PA
\end{align}
하지만 위에서 말씀드렸듯이 댐에 작용하는 정압력은 물의 깊이에 의존해서 변하므로 위 (1-2)식을 이용해 단순하게 구할 수 없어요.
이에 대해 구체적으로 더 알아 봐요.
2. 정압력에 의해 댐이 받는 힘 : 정수력
아래 [그림 2]는 댐과 가둬진 물의 모습을 간단히 나타낸 거에요. 왼쪽 그림은 댐을 측면에서 바라본 모습이고, 오른쪽 그림은 물이 바라보는 댐의 정면 모습이라고 생각하면 됩니다.
이때 왼쪽 그림을 보면 댐 쪽으로 빨강색 화살표가 여러개 그려져 있는데요. 이것이 바로 정압력의 크기를 나타낸 거에요.
수심이 깊을 수록 정압력의 크기가 커지는 것을 알 수 있어요. 따라서 정압력의 크기가 상수가 아니므로 댐이 받는 정수력을 구하기 위해서는 적분을 해야만 합니다.
![[그림 2] 댐에 작용하는 정수력을 구하려면 정압력을 수심 0에서 \(H\)까지 적분해야 합니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2025/06/댐-정압력-1-1024x456.jpg)
이를 위해 [그림 2]처럼 댐이 마주하는 물의 수심을 \(H\)라고 하고 댐의 폭을 \(w\)라고 해봐요.
그러면 오른쪽 그림에서 높이 \(dy\), 폭 \(w\)가 만드는 미소면적 \(dA\) (= \(wdy\))에 작용하는 미소 정수력 \(dF\)는 아래 (2-1)식과 같아요. 이때 표면으로부터의 물의 수심은 \(H-y\)이므로 정수력은 \(P=\rho g (H-y)\)가 성립합니다.
\begin{align}
\tag{2-1}
dF &=PdA\\
&= \rho g (H-y) wdy
\end{align}
그렇다면 댐이 받는 정수력 \(F\)는 위 (2-1)식에서 \(dy\)를 0 \(\sim\) H 범위에 대해 적분하면 됩니다.
\begin{align}
\tag{2-2}
F &= \int_0^H \rho g (H-y) wdy\\
&=\int_0^H \rho gH wdy ~-~ \int_0^{H} \rho g y w dy\\
&=\rho g H w \int_0^{H} dy ~-~ \rho g w \int_0^{H} y dy\\
&=\rho g H w \Big[ y \big]_0^H ~ – ~ \rho g w \Big[ {1 \over 2}y^2 \Big]_0^{H} \\
&=\rho g w H^2 – {1 \over 2 } \rho g w H^2\\
\end{align}
결국 위 식을 정리하면 댐이 받는 정수력 \(F\)는 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-3}
F= {1 \over 2}\rho g w H^2
\end{align}
이상으로 이번 글에서는 댐에 작용하는 정수압과 정수력에 대해 알아보았습니다.