Last Updated on 2025-06-29 by BallPen
한 주기에 걸친 코사인 제곱 함수의 평균값을 구해 봐요.
코사인 제곱 함수의 평균값 계산을 해보겠습니다. 이러한 유형의 계산은 과학 전공자라면 자주하게 되는데요. 쉬운듯 하면서 어려운게 주기 함수의 평균값 계산이에요.
주기가 \(T\)인 주기함수 \(f(t)\)의 평균값 \(\bar{f}\)는 다음 식으로 구할 수 있어요.
\begin{align}
\tag{1}
\bar f = {1 \over T} \int_0^T f(t)dt
\end{align}
이 식을 이용해 다음 (2)식으로 주어지는 코사인 제곱 함수의 평균값을 구해보도록 해요.
\begin{align}
\tag{2}
f(t) = \cos^2(\omega t)
\end{align}
여기서 \(\omega\)는 상수입니다.
(2)식을 (1)식에 대입합니다. 이때 코사인 제곱 함수의 한 주기는 \(T=\pi\)이므로 적분 구간은 0 \(\sim\) \(\pi\)까지로 하면 됩니다.
\begin{align}
\tag{3}
\bar f = {1 \over \pi} \int_0^{\pi} \cos^2 (\omega t) dt
\end{align}
치환적분을 적용해 볼게요. 위 식에서 \(\omega t = u\)로 치환하겠습니다. 그러면 다음 관계가 성립해요. 이때 \(\omega = {{2 \pi}\over{T}}\)의 관계를 적용했어요.
\begin{align*}
&{{du}\over{dt}}=\omega~~~\rightarrow~~~dt = {{1}\over{\omega}}du = {T \over {2\pi}}du = {\pi \over {2\pi}}du= {1 \over 2 }du\\
\end{align*}
변수를 바꾸었으니 적분구간도 바꿔 줘야 해요. \(u=\omega t\)에서 \(t\)가 0일때와 \(\pi\)일때를 대입해서 \(u\)를 각각 구하면 됩니다.
\begin{align*}
&t=0 ~~~\rightarrow ~~~u=0\\
&t=\pi ~~~\rightarrow~~~ u=\pi \omega = \pi {{2 \pi}\over T}=\pi{{2 \pi}\over{\pi}} = 2 \pi
\end{align*}
결국 (3)식은 다음과 같이 바뀌게 됩니다.
\begin{align}
\tag{4}
\bar f &= {1 \over \pi} \int_0^{2\pi} \cos^2 (u) \Big({1 \over 2}du\Big)\\
&= {1 \over 2\pi} \int_0^{2\pi} \cos^2 (u) du\\
\end{align}
한편 두배각 공식에 따르면 \(\cos^2 u = {{1+\cos(2u)} \over {2}}\)가 성립합니다. 이를 (4)식에 대입하고 계속 정리하면 아래와 같습니다.
\begin{align}
\tag{4}
\bar f &= {1 \over {2\pi}} \int_0^{2\pi} \cos^2 (u) du\\
&={1 \over {2 \pi}} \int_0^{2\pi} {{1+\cos(2u)}\over{2}}du\\
&={1 \over {4 \pi}} \int_0^{2\pi} {1+\cos(2u)}du\\
&={1 \over {4 \pi}} \Big[ u – {1 \over 2} \sin(2u) \Big]_0^{2\pi}\\
&={1 \over {4 \pi}}\Big[ 2\pi – {1 \over 2} \sin(4\pi) – 0 + {1 \over 2} \sin(0)\Big]\\
&={1 \over {4\pi}}(2\pi)\\
&={1 \over 2}
\end{align}
결국 한 주기에 걸친 코사인 제곱 함수의 평균값 계산 결과 1/2이 얻어짐으로서, 사인 제곱 함수의 평균값과 동일하다는 것을 알 수 있어요.
\begin{align}
\tag{4}
{1 \over {2\pi}} \int_0^{2\pi} \cos^2 (u) du={1 \over 2}\\
\end{align}
“코사인 제곱 함수의 평균값”에 대한 1개의 생각