각운동량 예제 : 궤도각운동량과 스핀각운동량

BallPen · 2023-10-03T13:58:37+09:00

각운동량 예제 풀이입니다. 물체의 총 각운동량은 궤도각운동량과 스핀각운동량의 합으로 주어집니다. 궤도각운동량은 질량중심점에 물체의 모든 질량이 모여 공전하는 경우에 나타나고, 스핀각운동량은 질량중심점을 기준으로 물체가 자전하는 경우에 나타납니다.

Last Updated on 2023-10-03 by BallPen

궤도각운동량과 스핀각운동량에 관한 예제를 하나 풀어보겠습니다.

각운동량 예제 하나를 풀어 볼께요. 이 문제를 풀면 각운동량을 많이 이해할 수 있어요.

이전 운동량에 관한 글에서 입자계의 각운동량(angular momentum)은 궤도각운동량과 스핀각운동량으로 분해될 수 있고, 이들의 합이 전체 각운동량을 이룬다고 말씀드렸어요.

그렇다면 그 값은 각운동량에 대한 기본 정의식으로 구한 전체 각운동량과 정말 같을까요?

이번 글에서 그 두 결과가 같다는 것을 알게 됩니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents [hide]

1. 각운동량 복습
- 1-1. 점입자의 각운동량
- 1-2. 입자계의 각운동량
  - [궤도각운동량과 스핀각운동량]
2. 각운동량 예제 풀이

1. 각운동량 복습

아래는 각운동량에 관한 주요 내용입니다. 보다 구체적인 내용은 운동량에 관한 이전 글을 참고하세요.

1-1. 점입자의 각운동량

질량 $m$ 인 아주 작은 점입자가 반지름 $\vec r$ 인 원궤도를 따라 접선속도 $\vec v$ 로 회전할 때 점입자의 각운동량 $\vec L$ 은 다음과 같이 주어집니다.

\tag{1} \begin{align} \vec L &= \vec r \times m\vec v\\ &= \vec r \times \vec p \end{align}

이때 $\vec p$ 는 선운동량이라 부릅니다.

1-2. 입자계의 각운동량

점입자가 여러개 모여 입자계를 구성한 경우, 입자계의 총 각운동량은 각 입자의 각운동량을 벡터합하면 됩니다.

\tag{2} \begin{align} \vec L &= \sum (\vec r_i \times m \vec v_i)\\ &=\sum(\vec r_i \times \vec p_i) \end{align}

위에 있는 (1)식과 (2)식을 각운동량에 대한 기본 정의식이라 합니다.

[궤도각운동량과 스핀각운동량]

(2)식의 기본 정의식을 입자계 질량중심의 개념을 도입함으로써 변형할 수 있는데요. 그러면 (2)식은 두 개 항의 합으로 정리될 수 있습니다.

그 중 첫번째 항은 입자계 질량중심의 공전에 대응하는 궤도각운동량이고, 두번째 항은 질량중심을 회전축으로 하는 입자계의 자전에 대응하는 스핀각운동량이에요.

식으로 표현하면 다음과 같습니다.

\tag{3} \vec L = (\vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}) + \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

그러면 (2)식의 기본정의식과 (3)식의 궤도각운동량과 스핀각운동량의 합으로 구한 결과들이 서로 같은지 예제를 하나 풀어보겠습니다.

2. 각운동량 예제 풀이

[예제]

[그림 1]과 같이 길이가 $d$ , 질량이 $m$ , 선밀도가 $\lambda$ 인 막대 하나가 있다. 이 막대 한 끝을 회전축으로 하여 막대가 일정한 각속도 $\omega$ 로 회전하고 있다. 막대의 전체 각운동량은 얼마인가? 이때 막대는 두께가 아주 얇아 길이 성분만 갖는 것으로 가정하겠습니다.

[그림 1] 두께를 무시할 수 있는 막대의 한 끝을 중심으로 회전하는 막대 (막대 4개가 회전하는 것이 아니라 막대 하나가 시간에 따라 회전하는 모습을 나타낸 것입니다. 또한 cm은 막대의 질량중심점으로 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">d \over 2</span>인 곳에 위치합니다.) — [그림 1] 두께를 무시할 수 있는 막대의 한 끝을 중심으로 회전하는 막대 (막대 4개가 회전하는 것이 아니라 막대 하나가 시간에 따라 회전하는 모습을 나타낸 것입니다. 또한 cm은 막대의 질량중심점으로 $d \over 2$ 인 곳에 위치합니다.)

2-1. 기본 정의식으로 구한 총 각운동량

막대는 [그림 1]처럼 막대의 한끝을 회전축으로 하여 일정한 각속도 $\omega$ 로 회전하고 있어요. 이때 막대는 균일하기 때문에 막대의 질량 중심인 cm점은 막대의 중간 위치인 $d/2$ 지점에 있어요.

먼저 막대의 전체 각운동량을 기본 정의식인 (2)식을 통해 구해보겠습니다.

막대의 회전축으로부터 거리 $\vec r$ 만큼 떨어진 곳에 아주 작은 질량요소 ${\rm d}m$ 이 접선속도 $\vec v$ 로 공전하고 있다고 생각해봐요.

그러면 기본 정의식으로부터 그 질량요소 하나가 갖는 미소 각운동량 ${\rm d}\vec L$ 은 (1)식을 통해 다음과 같이 주어집니다.

\tag{4} \begin{align} {\rm d} \vec L &= \vec r \times {\rm d} \vec p\\ &=\vec r \times ({\rm d}m) \vec v\\ &=r \hat r \times ({\rm d}m)v \hat v\\ &=r(\lambda {\rm d}r) r \omega (\hat r \times \hat v)\\ &=r^2 \omega \lambda {\rm d}r \hat k \end{align}

윗 식에서 접선속도와 각속도의 관계 $v=rw$ 가 활용되었고, 선밀도를 고려하여 미소질량 ${\rm d}m = \lambda {\rm d}r$ 의 관계가 활용되었습니다.

또한 단위벡터 사이의 외적 $\hat r \times \hat v = \hat k$ 로 정하였습니다. $\hat k$ 는 막대가 회전하는 평면을 $x,~y$ 평면이라고 했을 때 이에 수직한 $z$ 방향을 뜻합니다.

그러면 이제 미소 각운동량을 이용하여 막대 전체의 각운동량을 구하면 되는데요. 막대를 구성하는 입자들이 연속적으로 연결되어 있으므로 (2)식의 $\sum$ 대신에 적분을 해주어야 합니다.

즉 아래와 같이 적분하면 막대의 총 각운동량 $\vec L$ 을 구할 수 있어요. 이때 막대의 길이가 $d$ 이므로 $r$ 에 대한 적분 구간은 0에서부터 $d$ 까지로 하면 됩니다.

\tag{5} \begin{align} \vec L &= \int_0^d {\rm d}\vec L\\ &=\int_0^d r^2\omega \lambda {\rm d}r \hat k\\ &=\omega \lambda \int_0^d r^2 {\rm d}r \hat k\\ &=\omega \lambda \Big[ {r^3 \over 3}\Big]_0^d \hat k\\ &= {1 \over 3} d^3 \omega \lambda \hat k\\ &= {1 \over 3} (d \lambda) \omega d^2 \hat k\\ &={1 \over 3} m \omega d^2 \hat k \end{align}

그 결과 기본 정의식으로 구한 막대의 총 각운동량은 ${1 \over 3} m \omega d^2 \hat k$ 입니다.

그러면 이번에는 (3)식을 이용해서도 구해봐야겠죠.

2-2. 궤도와 스핀각운동량의 합으로 구한 총 각운동량

식 (3)이 저 위에 있으니 보기가 불편해요. 그래서 아래에 식 (6)으로 다시 쓸게요.

\tag{6} \vec L = (\vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}) + \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

위 식에서 첫번째 항은 입자계 질량중심의 공전에 의한 궤도각운동량이고, 두번째 항은 질량중심을 회전축으로 하는 입자계의 자전에 대응하는 스핀각운동량이라고 했어요.

이것을 그림으로 표현하면 [그림 2]와 [그림 3]으로 나타낼 수 있어요. 바꾸어 말하면 예제에 주어진 [그림 1]의 막대 운동은 [그림 2]의 운동과 [그림 3]의 운동이 결합되어 나타나는 운동인거에요.

[궤도각운동량]

먼저 궤도각운동량을 구해볼 텐데요.

[그림 2]는 막대의 전체 질량 $m$ 이 질량중심점 cm에 모여있고, 그 점입자가 반지름이 $r_{cm}=d/2$ 인 원경로를 따라 접선속력 $v_{cm}$ 으로 공전하는 모습이에요.

이때 주의해야 할 것은 점입자는 공전만 하고 있고 자전하지 않는다고 생각해야 해요. 왜냐면 공전에 의한 궤도각운동량 만을 구하고 있기 때문이에요.

[그림 2] 막대의 모든 질량이 질량중심점에 모여 공전하는 모습. 그러므로 궤도 각운동량이 존재합니다.

그러면 (3)식의 첫번째 항을 이용해 궤도각운동량 $\vec L_{orbital}$ 을 구해보겠습니다.

\tag{7} \begin{align} \vec L_{orbital} &= \vec r_{cm} \times m \vec v_{cm}\\ &=r_{cm} \hat r_{cm} \times m v_{cm}\hat v_{cm} \\ &=r_{cm} \hat r_{cm} \times m (r_{cm} \omega)\hat v_{cm} \\ &=\Big({d \over 2}\Big)\hat r_{cm} \times m\Big({d \over 2}\Big)\omega \hat v_{cm}\\ &={1 \over 4} m \omega d^2 (\hat r_{cm} \times \hat v_{cm})\\ &={1 \over 4} m \omega d^2 \hat k \end{align}

여기서 단위벡터 사이의 외적 $\hat r_{cm} \times \hat v_{cm} = \hat k$ 로 정하였습니다.

그 결과 궤도각운동량의 크기는 $L_{orbital} = {1 \over 4} m \omega d^2$ 으로 주어짐을 알 수 있어요.

[스핀각운동량]

이번에는 스핀각운동량을 구해보겠습니다. 아래 [그림 3]은 질량중심인 cm 점을 기준으로 막대가 제자리에서 자전하는 모습을 나타냅니다.

다시 한번 더 말씀드리지만 [그림 2]와 [그림 3] 운동의 조합이 [그림 1]이 되는거에요.

그런데 [그림 2]에 대해서는 많은 사람들이 이해하는데 [그림 3]과 같이 정말 막대가 제자리에서 자전하는 운동이 [그림 1]에 포함되어 있느냐를 궁금해 하는 경우가 많아요.

그런데 자전한 것이 맞아요. 만일 막대가 질량중심점을 기준으로 자전하지 않으면서 공전만했다면 그 물체의 운동 궤적은 아래 [그림 4]와 같이 됩니다.

[그림 4] 막대가 자전하지 않으면서 회전축 주변을 공전하는 모습. 이 경우 궤도각운동량은 0이 아니지만 스핀각운동량은 0입니다.

[그림 1]과는 분명히 다른 운동임을 알 수 있어요. [그림 4]와 같이 운동하는 경우 궤도각운동량은 식(7)로 주어지지만 물체가 질량중심점을 기준으로 자전하지 않기 때문에 스핀각운동량은 0이 됩니다.

이제부터 [그림 3]에 대한 스핀각운동량 $\vec L_{spin}$ 을 구해볼 텐데요. (6)식에서 스핀각운동량 부분만을 따로 쓰면 아래와 같습니다.

\tag{8} \vec L_{spin} = \sum(\bar{r_i} \times m_i \bar{v_i})

한편 어떤 물체가 자전한다고 함은 그 물체를 구성하는 수많은 점입자들이 회전축을 중심으로 동일한 각속도를 갖고 공전하는 것으로 이해할 수 있어요.

그러므로 (8)식은 질량중심점을 기준으로 $\bar r_i$ 만큼 떨어진 곳에 있는 질량 $m_i$ 인 입자가 접선속도 $\bar v_i$ 로 공전할 때 갖는 각운동량을 모든 입자에 대해 합하면 자전에 의한 스핀각운동량이 된다는 의미입니다.

또한 입자들이 연속적으로 분포한 막대를 다루고 있으므로 (8)식에 있는 $\sum$ 은 적분으로 바뀌어야 합니다.

그래서 질량중심 축으로부터 거리 $\bar r$ 만큼 떨어진 곳에 아주 작은 질량요소 ${\rm d}m$ 이 접선속도 $\bar v$ 로 공전할 때, 그 질량요소 하나가 갖는 미소 각운동량 ${\rm d}\vec L$ 은 다음 (9)식과 같이 주어집니다.

\tag{9} \begin{align} {\rm d} \vec L &= r^2 \omega \lambda {\rm d}r \hat k \end{align}

(4)식을 동일하게 활용한 것 뿐입니다.

그리고 자전하는 막대의 회전 반지름이 $r=0$ 에서 $d/2$ 까지 변하는데, 그것이 2개가 있으므로 스핀각운동량 $\vec L_{spin}$ 은 다음과 같이 쓸 수 있어요.

\tag{10} \begin{align} \vec L_{spin} &= 2 \int_0^{d/2} {\rm d} \vec L\\ &=2 \int_0^{d/2} r^2 \omega \lambda {\rm d} r \hat k\\ &=2 \omega \lambda \int_0^{d/2} r^2 {\rm d}r \hat k\\ &=2 \omega \lambda \Big[{r^3 \over 3}\Big]_0^{d/2} \hat k\\ &={1 \over 12}d^3 \omega \lambda \hat k\\ &={1 \over 12}(d \lambda) \omega d^2 \hat k\\ &={1 \over 12} m\omega d^2 \hat k \end{align}

그 결과 스핀각운동량의 크기는 $L_{spin} = {1 \over 12} m \omega d^2$ 으로 주어짐을 알 수 있어요.

[총 각운동량]

지금까지 회전하는 막대의 궤도각운동량과 스핀각운동량을 각각 구했으니 총 각운동량을 구해보겠습니다.

(7)식의 궤도각운동량과 (10)식의 스핀각운동량을 합하면 됩니다.

\tag{11} \begin{align} \vec L &= \vec L_{orbital} + \vec L_{spin}\\ &={1 \over 4} m \omega d^2 \hat k + {1 \over 12} m \omega d^2 \hat k\\ &={1 \over 3} m \omega d^2 \hat k \end{align}

그 결과 총 각운동량의 크기가 ${1 \over 3} m \omega d^2$ 이 나왔는데요. 이 값은 (5)식의 기본정의식으로 구한 총 각운동량의 크기와 동일하다는 것을 알 수 있어요.

따라서 총 각운동량은 궤도각운동량과 스핀각운동량의 합으로 주어지는 것이 맞습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

[Total: 1 Average: 5]