운동에너지 : 병진운동에너지와 회전운동에너지

Last Updated on 2023-10-10 by BallPen

입자계의 운동에너지가 병진운동에너지와 회전운동에너지로 표현되는 원리를 알아보겠습니다.

운동에너지(kinetic energy)란 질량을 갖는 물체가 움직이면 갖게 되는 에너지입니다. 반대로 말하면 멈추어 있는 물체는 운동에너지가 없어요.

운동에너지는 물체의 질량을 m, 물체의 속력을 v라고 할 때 다음 식으로 주어집니다.

\tag{D1}
T={1 \over 2} mv^2

이 (D1)식은 위치와 연관된 힘이 행한 일로부터 유도할 수 있는데요.

(D1)식을 조금만 바꾸면 운동에너지는 질량중심의 병진운동에너지(translational kinetic energy)와 회전운동에너지(rotational kinetic energy)로 분해될 수 있어요.

이번 글에서는 이에 대해 구체적으로 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

1. 운동에너지

아래 [그림 1]은 빗면위에서 질량 m인 한 물체(또는 입자)가 속력 v로 미끄러져 내려가는 순간의 모습을 나타냅니다.

이때 물체가 갖는 운동에너지는 (D1)식으로 주어져요. (D1)식을 아래에 (1)식으로 다시 쓸게요.

\tag{1}
T={1 \over 2} mv^2

그렇다면 이번에는 물체가 하나가 아니라 4개가 연결되어 함께 빗면을 미끄러져 내려간다면 전체 운동에너지는 어떻게 될까요? 이와 같이 입자들이 모여 큰 물체를 구성하는 계를 입자계라고 부릅니다.

즉 입자계가 갖는 전체 운동에너지는 어떻게 될까요?

2. 입자계의 운동에너지

2-1. 병진운동하는 입자계의 운동에너지

아래 [그림 2]는 질량 {m_1}, {m_2}, {m_3}, {m_4}인 조각들이 서로 묶인채로 빗면을 속력 v로 내려가는 모습을 나타냅니다.

이러한 입자계의 전체 운동에너지는 각 입자 요소가 갖는 운동에너지를 모두 합하면 구할 수 있어요.

\tag{2}
\begin{align}
T &= {1 \over 2} m_1 {v_1} ^2 + {1 \over 2} m_2 {v_2} ^2 + {1 \over 2} m_3 {v_3} ^2 + {1 \over 2} m_4 {v_4} ^2  
\end{align}

(2)식에서 속력을 v_1, v_2, v_3, v_4로 구분하였습니다만 [그림 2]의 조건에서는 모두 동일한 v가 되겠죠.

(2)식이 일반적인 형태이니 이를 정리하면 아래 (3)식처럼 쓸 수 있을거에요.

\tag{3}
T = \sum {1 \over 2} m_i v_i^2 

여기서 m_i는 입자의 질량이고, v_i는 입자의 속력입니다. (3)식이 바로 병진운동하는 입자계의 전체 운동에너지가 되겠습니다.

여기서 병진(translation)이라는 뜻은 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리를 이동시키는 것으로 평행이동의 개념과 같습니다.

2-2. 병진과 회전운동이 결합된 입자계의 운동에너지

[그림 1]과 [그림 2]는 모두 빗면 위에서 물체가 미끄러져 물체의 질량중심이 옆으로 이동하는 병진운동만을 다루고 있습니다.

그런데 잘 생각해보면 질량 m을 갖는 물체가 속력 v로 이동하는 조건은 병진운동 뿐만 아니라 회전운동도 있다는 것을 짐작할 수 있어요.

왜냐면 회전운동은 회전축을 중심으로 주변에 있는 입자들이 회전하는 것이므로 질량과 속력이 모두 존재해요. 따라서 회전운동도 운동에너지를 갖게 됩니다.

이러한 상황을 조금만 더 알아봐요.

아래 [그림 3]은 물체가 자전하면서 공전하는 상황을 나타내는데요. 공전은 물체의 질량중심이 옆으로 이동하는 병진운동에 해당하고 자전은 질량중심을 회전축으로 하는 회전운동에 해당해요.

질량중심은 그림에서 cm으로 표기하였습니다.

따라서 [그림 3]의 물체는 병진운동과 회전운동이 결합된 운동입니다.

이 경우에 물체가 갖는 전체 운동에너지는 어떻게 구할 수 있을까요? 네 맞아요 (3)식과 같이 물체를 구성하는 각 입자요소가 갖는 운동에너지의 합으로 구하면 되겠죠.

\tag{4}
T = \sum {1 \over 2} m_i v_i^2 

여기서 m_i와 v_i는 물체를 구성하는 각 입자요소의 질량과 속력을 의미합니다.

[병진운동에너지와 회전운동에너지 유도]

그런데 (4)식을 질량중심 개념을 활용하여 식의 모양을 변형시켜 볼까요? 이것을 왜 하냐면 (4)식 속에 숨어 있는 물리적 의미를 명확하게 드러내고 싶기 때문이에요.

우선 [그림 3]에 있는 육면체 입자요소의 위치벡터 \vec r_i는 다음과 같이 벡터의 덧셈으로 표현할 수 있어요.

\tag{5}
\vec r_i = \vec r_{cm} + \bar r_i

여기서 \vec r_{cm}은 질량중심의 위치벡터이고, \bar r_i는 질량중심에서 입자요소까지의 위치벡터입니다.

한편 (5)식의 위치벡터를 시간으로 미분하면 속도벡터가 됩니다.

\tag{6}
\vec v_i = \vec v_{cm} + \bar v_i

그럼 이제 (6)식을 물체의 전체 운동에너지 식인 (4)식에 대입하고 정리해 보겠습니다.

\tag{7}
\begin{align}
T&=\sum {1 \over 2} m_i v_i^2\\
&=\sum{1 \over 2} m_i (\vec v_i \cdot \vec v_i)\\
&=\sum{1 \over 2} m_i \big[(\vec v_{cm} + \bar v_i) \cdot (\vec v_{cm} + \bar v_i)\big]\\
&=\sum {1 \over 2} m_i (\vec v_{cm} \cdot \vec v_{cm}) + \sum {1 \over \cancel 2} m_i \times \cancel2(\vec v_{cm} \cdot \bar v_i) + \sum{1 \over 2} m_i(\bar v_i \cdot \bar v_i)\\
&={\sum} {1 \over 2}m_i v_{cm}^2 + \vec v_{cm}\cdot \color{red}{\sum m_i \bar v_i} \color {black}+ \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\
&={1 \over 2}(\sum m_i)v_{cm}^2 + \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\
&={1 \over 2 }m v_{cm}^2 + \sum {1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\
\end{align}

여기서 어느 벡터를 자기 자신과 내적하면 \vec v_i \cdot \vec v_i = v_i^2 \cos 0^{\circ} = v_i^2이 되는 스칼라곱 규칙을 적용하였습니다. 또한 식에서 빨강색으로 표기한 부분은 0이 되어 사라집니다.

또한 \sum m_i는 모든 입자요소가 갖는 질량의 합이므로 전체질량이 되죠. 이 전체질량을 m으로 표기하였습니다.

(7)식의 결과와 같이 [그림 3]의 회전하는 물체가 갖는 전체 운동에너지는 두개의 항으로 나타낼 수 있게 되는데요.

하나는 질량중심에 물체의 모든 질량 m이 모여있다고 했을 때 그 질량중심이 속력 v_{cm}으로 병진운동할 때 갖게 되는 운동에너지에 해당합니다.

그래서 이 항은 질량중심이 옆으로 이동하므로 병진운동에너지(translational kinetic energy)라고 부릅니다.

그리고 다른 하나는 질량중심에서 바라본 입자 요소의 질량 m_i와 그 입자요소가 질량중심을 축으로 자전함으로써 갖는 속력 \bar v_i 에 의한 운동에너지에 해당합니다.

그래서 이 항은 질량중심이 옆으로 이동하지 않으므로 회전운동에너지(rotational kinetic energy)라고 부릅니다.

결국 [그림 3]의 회전하는 물체가 갖는 전체 운동에너지는 다음과 같이 정리할 수 있어요.

\tag{8}
\begin{align}
T=\sum{1 \over 2} m_i v_i ^2 &= {1 \over 2} mv_{cm}^2 + \sum{1\over2} m_i \bar v_i^2\\
&=T_{translational} + T_{rotational}
\end{align}

그러면 다시 [그림 1]과 [그림 2]를 생각해 볼까요?

이 두 그림에서는 빗면위에 있는 물체를 사각형으로 그렸잖아요. 그것은 일부로 그렇게 그린거에요.

물체가 빗면을 미끄러져 내려온다는 상황으로 한정하기 위함이에요. 이렇게 함으로써 [그림 1]과 [그림 2]는 모두 (8)식의 병진운동에너지가 전체 운동에너지가 되며, 회전운동에너지는 0이 됩니다.

만약 빗면 위에 있는 물체를 동그라미로 그리면 물체가 데굴데굴 구르면서 내려가는 상황을 상상할 수 있어요. 그때는 물체 질량중심의 병진운동에너지와 물체의 회전에 의한 회전운동에너지가 모두 존재하게 되죠.

3. 운동에너지 예제

(문제) 한 끝을 회전축으로 길이 l, 질량 m인 균일한 막대가 일정한 각속도 \omega로 회전하고 있다. 이 막대의 전체 운동에너지는 얼마인가? 단 막대의 선밀도는 \lambda이다.

3-1 회전하는 막대의 전체운동에너지

아래 [그림 4]는 문제에 주어진 회전하는 막대를 그림으로 표현한 것입니다.

이렇게 회전하는 막대의 전체 운동에너지는 (8)식에 따라 T=\sum {1\over2}m_i v_i^2으로 구할 수 있습니다.

우선 그림에서와 같이 막대의 한 부분에 있는 미소 질량 요소 {\rm d}m이 만드는 미소 운동에너지 {\rm d}T를 구해보겠습니다.

\tag{E1}
\begin{align}
{\rm d} T &= {1 \over 2} v^2 {\rm d}m\\
&={1 \over 2} v^2 {\lambda} {\rm d}r\\
&={1 \over 2} (r \omega)^2 \lambda {\rm d}r\\
&={1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r
\end{align}

여기서 선밀도 개념을 적용하여 {\rm d}m = \lambda {\rm d}r의 관계를 활용하였습니다. 또한 회전축으로부터 r만큼 떨어진 곳의 접선속도는 v=r \omega로 주어지는 관계를 적용하였습니다.

그럼 (E1)식을 이용해 막대 전체의 운동에너지를 구해 볼까요. 다만 r에 대한 적분이니 적분구간은 0에서부터 l까지 하면 됩니다.

\tag{E2}
\begin{align}
T &= \int_0^l dT\\
&=\int_0^l {1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r\\
&={1 \over 2} \omega^2 \lambda \int_0^l r^2 {\rm d}r\\
&={1 \over 2} \omega^2 \lambda \Big[{r^3 \over 3}\Big]_0^l\\
&={1 \over 2} \omega^2 \lambda \Big( {1 \over 3} l^3\Big)\\
&={1 \over 6} \omega^2({m \over l})l^3\\
&={1 \over 6 } ml^2 \omega^2
\end{align}

회전하는 막대의 전체 운동에너지는 {1 \over 6} ml^2 \omega^2으로 주어지는 군요.

3-2. 회전하는 막대의 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합

이번에는 (8)식처럼 병진운동에너지 T_{translational}와 회전운동에너지 T_{rotational}을 각각 구한 후 그 둘을 합했을 때 정말 (E2)와 같아지는지 알아보겠습니다.

우선 병진운동에너지 T_{translational}부터 구해보겠습니다.

아래 [그림 5]는 막대의 질량중심 cm이 막대의 중간지점인 l/2인 곳에 있음을 나타냅니다. 그곳에 막대의 전체질량 m이 모두 모여있다고 할 때 그 질량중심의 이동에 의한 운동에너지를 구하면 그것이 병진운동에너지가 됩니다.

이를 식으로 전개하면 다음과 같아요.

\tag{E3}
\begin{align}
T_{translational}  &= {1 \over 2} mv_{cm}^2\\
&= {1 \over 2} m \Big({l \over2} \omega\Big)^2\\
&={1 \over 8}ml^2 \omega^2
\end{align}

다음에는 회전운동에너지를 구해보겠습니다.

회전운동에너지는 질량중심점을 기준으로 회전하는 막대를 생각하면 됩니다. 아래 [그림 6]을 보면 질량중심점을 기준으로 막대가 회전하고 있는데요.

회전축으로부터 r만큼 떨어진 곳에 질량 요소 {\rm d}m이 접선속도 \bar v로 회전하고 있어요.

이때 미소 회전운동에너지 {\rm d}T_{rotational}를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{E4}
\begin{align}
{\rm d}T_{rotational} &= {1 \over 2} \bar v^2 dm\\
&={1 \over 2} (r \omega)^2 (\lambda {\rm d}r)\\
&={1 \over 2} r^2 \omega^2 \lambda{\rm d}r
\end{align}

(E4)식을 활용하여 회전운동에너지 T_{rotational}를 구하면 다음 (E5)식과 같아요. 이때 막대는 연속적이므로 \sum을 적분으로 대체해야 합니다.

아울러 적분구간은 0에서 l/2까지로 하되 질량중심점 양쪽으로 막대가 있으므로 적분값을 2배 해주면 됩니다.

\tag{E5}
\begin{align}
T_{rotational} &= \sum{1 \over 2} m_i \bar v_i^2\\
&=2 \int_0^{l/2} {\rm d} T_{rotational}\\
&=\cancel2 \int_0^{l/2} {1 \over \cancel2} r^2 \omega^2 \lambda {\rm d}r\\
&=\omega^2 \lambda \int_0^{l/2} r^2 {\rm d}r\\
&=\omega^2 \lambda \Big[ {r^3 \over 3}\Big]_0^{l/2}\\
&=\omega^2 \lambda \Big({1 \over 3} \times{l^3 \over 8}\Big)\\
&={1 \over 24 }\omega^2 \Big( {m \over l} \Big)l^3\\
&={1 \over 24} ml^2 \omega^2
\end{align}

그러면 마지막으로 (E3)식의 병진운동에너지와 (E5)식의 회전운동에너지를 합하여 전체 운동에너지를 구해보겠습니다.

\tag{E6}
\begin{align}
T &= T_{translational} + T_{rotational}\\
&={1 \over 8} ml^2 \omega^2 +{1 \over 24} ml^2 \omega^2\\
&={1 \over 6} ml^2 \omega^2
\end{align}

(E6)식에 주어진 {1 \over 6} ml^2 \omega^2이 문제에 주어진 회전하는 막대의 전체 운동에너지가 됩니다. 이 값을 (E2)식과 비교해보세요.

동일합니다.

결국 전체 운동에너지는 질량중심의 병진운동에너지와 회전운동에너지의 합으로 주어진다는 것을 이해할 수 있습니다.

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