내적의 분배법칙

BallPen · 2022-01-29T23:35:21+09:00

내적의 분배법칙 증명입니다. 내적의 분배 법칙은 다른 말로 스칼라곱의 분배법칙이라고도 불립니다. 분배법칙은 벡터 연산에서 자주 사용되는 벡터의 내적 성질 중의 하나입니다. 이 증명을 통해 분배법칙이 성립함을 완전히 이해할 수 있어요.

Last Updated on 2023-12-04 by BallPen

내적 즉, 스칼라곱의 분배법칙 성립에 대한 증명입니다.

내적의 분배법칙 증명을 이번 글에서 다룹니다.

다음 세 개의 벡터가 있습니다.

\tag{1} \vec A = A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z}

\tag{2} \vec B = B_x \hat{x} + B_y \hat{y} + B_z \hat{z}

\tag{3} \vec C = C_x \hat{x} + C_y \hat{y} + C_z \hat{z}

이 벡터들에 대해 $\vec{A} \cdot ( \vec{B} + \vec{C} )$ 를 구해 보겠습니다.

\tag{4} \begin{align} \vec{A} \cdot ( \vec{B} + \vec{C} ) &= \vec{A} \cdot \Big[(B_x + C_x)\hat{x} + (B_y + C_y)\hat{y} + (B_z + C_z) \hat{z} \Big]\\ &=(A_x \hat{x} + A_y \hat{y} + A_z \hat{z}) \cdot \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Big[(B_x + C_x)\hat{x} + (B_y + C_y)\hat{y} + (B_z + C_z) \hat{z} \Big]\\ &=A_x (B_x + C_x) + A_y(B_y + C_y) + A_z (B_z + C_z)\\ &=A_x B_x + A_x C_x + A_y B_y + A_y C_y + A_z B_z + A_z C_z\\ &=(A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z) + (A_x C_x + A_y C_y + A_z C_z)\\ &=\vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{A}\cdot \vec{C} \end{align}

결과적으로 다음 (5)식으로 주어지는 내적의 분배 법칙이 성립함을 알 수 있습니다.

\tag{5} \vec A \cdot (\vec B + \vec C) = \vec A \cdot \vec B + \vec A \cdot \vec C

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