벡터의 방향 표기를 정확하게 하는 방법

BallPen · 2021-10-23T13:02:00+09:00

벡터의 방향 표기 방법은 크게 두가지가 있습니다. 첫번째는 단위벡터를 표기하는 방법이고, 두번째는 각도를 표기하는 방법입니다. 단위벡터와 각도가 동일한 벡터들은 방향이 같은 벡터입니다. 반대로 단위벡터에 -1이 곱해져 있으면 방향이 반대인 벡터입니다.

Last Updated on 2021-11-12 by BallPen

벡터의 방향을 제대로 표기하고 이해하는 방법을 알아야 합니다. 그래야 벡터 연산이 쉬워져요.

벡터의 방향 표기를 어떻게 해야 할지 어려워하는 경우가 많아요.

벡터는 크기와 방향을 갖습니다. 벡터 크기를 구하고 표시하는 방법에 대해서는 이전 글에서 다루었습니다만 방향에 대해서는 따로 설명을 드리지 않았어요.

그래서 이번 글에서는 벡터 방향에 대한 내용을 집중해서 다룹니다.

혹시 벡터와 관련하여 다른 내용이 궁금하시면 아래의 추천 글 목록을 참고하시기 바랍니다.

이번 글의 목차는 다음과 같습니다.

Contents

1. 벡터 표기법 복습
- 1-1. 벡터 성분을 이용한 표기
- 1-2. 단위벡터를 이용한 표기
2. 벡터의 방향 표시
3. 벡터 방향 비교
- 3-1. 방향이 같은 벡터
- 3-2. 방향이 반대인 벡터
4. 벡터의 방향 표기 방법 요약

1. 벡터 표기법 복습

벡터를 표현하기 위해서는 벡터 성분을 이용하는 방법과 단위벡터를 이용하는 방법이 있어요. 각각을 복습해 보겠습니다. 이 방법을 잘 모르시는 분은 우선 여기를 클릭해서 이전 글을 보시는 것을 추천합니다.

[그림 1] 파랑색 화살표로 그려진 어떤 벡터의 크기와 방향. 빨강색 화살표는 파랑색 화살표의 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>성분과 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">y</span>성분의 크기와 방향을 나타냅니다. — [그림 1] 파랑색 화살표로 그려진 어떤 벡터의 크기와 방향. 빨강색 화살표는 파랑색 화살표의 $x$ 성분과 $y$ 성분의 크기와 방향을 나타냅니다.

1-1. 벡터 성분을 이용한 표기

[그림 1]에 주어진 크기가 9.08이고 가로축으로부터 시계방향으로 38.0^o 틀어진 파랑색 벡터 $\vec{B}$ 를 벡터 성분법으로 표현해 보겠습니다.

벡터 성분법은 주어진 벡터를 $x$ 성분과 $y$ 성분으로 분해하여 서로 합하는 형태로 표기하는 것입니다.

이때 각 성분의 크기는 [그림 1]에 제시되어 있으니 크게 고민할 것이 없는데요. 주의해야 할것은 방향입니다.

아래 [그림 2]는 $x$ 축과 $y$ 축을 갖는 직각좌표계에서 각 축의 단위벡터를 나타냅니다. 즉 $x$ 축 방향의 단위벡터는 + $x$ 축을 향하고 $y$ 축 방향의 단위벡터는 + $y$ 축을 향합니다.

그렇다면 [그림 1]에서 $\vec{B}$ 의 $x$ 성분은 + $x$ 축을 향하니 문제가 없습니다. 그런데 $y$ 성분은 + $y$ 축 방향이 아닌 – $y$ 축 방향을 향하고 있습니다.

이러한 경우는 단위벡터 앞에 마이너스를 붙여 $-\hat{y}$ 으로 표기해야 합니다.

[그림 2] 직각좌표계에서 단위벡터의 방향. 단위벡터의 크기는 1입니다.

이를 반영하여 $\vec{B}$ 를 성분으로 표기하면 다음과 같습니다.

\tag{1} \begin{align} \vec{B} &= \vec{B}_x + \vec{B}_y\\ &=|\vec{B}_x|\hat{x} + |\vec{B}_y|(-\hat{y})\\ &=9.08\cos({38.0^\circ}) \hat{x}- 9.08\sin{(38.0^\circ)}\hat{y}\\ &=7.16\hat{x} - 5.59\hat{y} \end{align}

1-2. 단위벡터를 이용한 표기

이번에는 단위벡터를 이용하여 $\vec{B}$ 를 표시하겠습니다. [그림 1]에서 표기를 하지는 않았습니다만 단위벡터는 파랑색 화살표 방향을 향하면서 크기가 1인 벡터를 말합니다.

단위벡터를 구하기 위해서는 벡터 정규화를 해야 합니다. 바로 벡터 $\vec{B}$ 를 벡터의 크기 $|\vec{B}|$ 로 나누는 것이지요. 즉, 아래 (2)식과 같은 방법으로 구하면 됩니다.

\tag{2} \begin{align} \vec{B}의~단위벡터 &= {{\vec{B}}\over{|\vec{B}|}}\\ &={{7.16\hat{x}-5.59\hat{y}}\over{\sqrt{(7.16)^2 + (-5.59)^2}}}\\ &=0.789\hat{x} - 0.616\hat{y} \end{align}

(2)식에서 구한 단위벡터를 이용해 $\vec{B}$ 를 표기하겠습니다.

\tag{3} \begin{align} \vec{B} &= \vec{B}의~크기 \times \vec{B}의~단위벡터\\ &=9.08(0.789\hat{x}-0.616\hat{y}) \end{align}

이렇게 해서 $\vec{B}$ 를 (1)식과 (3)식을 통해 서로 다른 방식으로 표기했습니다. 표기의 형태만 다를 뿐 결국 같은 식이죠.

2. 벡터의 방향 표시

많은 사람들이 벡터는 크기와 방향을 갖는다는 것은 잘 알고 있습니다. 그런데 임의의 벡터를 제시하고 크기를 구하라고 하면 잘 구하는데, 방향을 구해보라고 하면 어려워 합니다.

결론부터 말씀드리면 벡터의 방향은 단위벡터를 이용하는 방법과 각도를 이용하는 방법이 있습니다.

2-1. 단위 벡터를 이용하는 방법

단위벡터는 위에서 복습한 것처럼 벡터 정규화를 통해 쉽게 구할 수 있습니다. 구해진 단위벡터는 크기가 1이고 방향 정보를 갖다보니 단위벡터를 방향벡터라고도 부르는 경우가 있어요.

그렇다면 벡터의 방향을 표시하기 위해 단위벡터를 이용한다는 것은 무슨 뜻일까요? 바로 단위벡터 그 자체가 방향정보를 나타냅니다.

단위벡터를 제시하면 지구상에 있는 벡터를 아는 모든 사람은 그것을 벡터의 방향으로 이해해요. 예를 들어 아래 (4)식에 위에서 구한 $\vec{B}$ 의 단위벡터가 있는데요.

이렇게 단위벡터를 제시한 것 자체가 벡터의 방향을 표기한 것입니다. 구체적으로는 원점으로부터 $x$ 축 방향으로 0.789, $-y$ 축 방향으로 0.616만큼 이동한 지점을 향하는 것이죠.

\tag{4} \begin{align} \vec{B}의~단위벡터 =0.789\hat{x} - 0.616\hat{y} \end{align}

[그림 3] 단위벡터를 제시하는 것 자체가 이미 방향을 표기한 것으로 간주됩니다.

2-2. 각도를 이용하는 방법

다음은 각도를 이용해 벡터의 방향을 표현하는 방법입니다.

각도란 두개의 변이 벌어진 정도를 말합니다. 이를 이용해 기준 변으로부터 다른 변 사이의 벌어진 정도를 방향으로 표기하는 것이죠.

직각좌표계에서는 보통 $x$ 축을 기준변으로 하고 다른 하나의 변은 벡터의 화살표가 됩니다. 그래서 $x$ 축으로부터 벡터까지의 각도를 이용해 방향을 표기하죠.

예를 들면 아래의 [그림 4]에 단위벡터 $\hat{B}$ 가 주어져 있습니다. 이것을 각도를 이용해 표기하면 다음 (5)식의 형태로 표기하면 됩니다.

[그림 4] <span class="katex-eq" data-katex-display="false">x</span>축의 기준변으로부터 벡터가 있는 곳까지의 각도 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\theta</span>를 이용해 벡터의 방향 표기가 가능합니다. — [그림 4] $x$ 축의 기준변으로부터 벡터가 있는 곳까지의 각도 $\theta$ 를 이용해 벡터의 방향 표기가 가능합니다.

\tag{5} \begin{align} \hat{B} &=(\hat{B}의 ~크기) (각도)\\ &= |\hat{B}| \angle\theta \end{align}

그럼 (5)식의 형태로 함께 표기해 보겠습니다.

우선 $|\hat{B}|$ 는 단위벡터의 크기이므로 1이 나오겠죠. 피타고라스 정리를 이용해 실제로 구해봐도 아래 (6)식과 같이 1.00이 나옵니다.

\tag{6} \begin{align} |\hat{B}| &= \sqrt{|\hat{B}_x|^2 + {|\hat{B}_y|^2}}\\ &=\sqrt{(0.789)^2 + {(-0.616)^2}}\\ &=1.00 \end{align}

이번에는 $\angle{\theta}$ 를 구해보겠습니다. 각도는 [그림 4]를 참고하여 삼각함수를 이용하면 쉽게 구할 수 있어요.

\tag{7} \begin{align} \tan{\theta} &= {{|\hat{B}_y|}\over{|\hat{B}_x|}}\\ &={{-0.616}\over{+0.789}}\\ &=-0.781\\ \theta&=\tan^{-1}(-0.781)\\ &=-38.0^\circ \end{align}

이렇게 함으로써 (6)과 (7)식의 결과를 이용해 (5)식의 형태로 벡터를 표기하면 됩니다.

\tag{8} \begin{align} \hat{B}=1 \angle{-38.0^\circ} \end{align}

2-3. 예제 풀이

(예제1) 벡터 $\vec{A} = -15.0\hat{x} + 25.0\hat{y}$ 가 있습니다. 이 벡터의 방향을 단위벡터와 각도를 이용해 각각 표기하여라.

(Solution)

(1) 단위벡터를 이용한 표기

벡터를 정규화하여 단위벡터를 구하면 된다. 이를 위해서는 우선 벡터의 크기를 먼저 구한다.

\tag{9} \begin{align} |\vec{A}| &= \sqrt{|\vec{A}_x|^2 + |\vec{A}_y|^2}\\ &=\sqrt{|-15.0|^2 + |25.0|^2}\\ &=29.2 \end{align}

그리고 벡터를 정규화한다.

\tag{10} \begin{align} \hat{A} &= {{\vec{A}}\over{|\vec{A}|}}\\ &={{-15.0\hat{x}+25.0\hat{y}}\over{29.2}}\\ &=-0.514\hat{x}+0.856\hat{y} \end{align}

결국 단위벡터를 이용한 벡터 방향 표기는 아래와 같이 하면 됩니다.

\tag{11} \begin{align} \vec{A} &= |\vec{A}| \hat{A}\\ &=29.2(-0.514\hat{x} + 0.856\hat{y}) \end{align}

(2) 각도를 이용한 표기

각도를 구하기 전에 (10)식에서 구한 단위벡터를 이용해 방향을 그림으로 나타내보면 아래 [그림 5]와 같습니다. 원점을 기준으로했을 때 2사분면에 벡터가 놓이는 것을 알 수 있습니다.

또한 $x$ 축으로부터 벡터까지의 각도 $\theta$ 도 표기해 놓았습니다. 바로 저 $\theta$ 를 구하면 되는 것이죠.

\tag{12} \begin{align} \theta &= \tan^{-1} {{|\hat{A}_y|}\over{|\hat{A}_x|}} \\ &=\tan^{-1} {{+0.856}\over{-0.514}} \\ &= 121^\circ \end{align}

결국 각도를 이용한 벡터 방향 표기는 (9)식과 (12)식을 이용하여 아래와 같이 하면 됩니다.

\tag{13} \begin{align} \vec{A} &= |\vec{A}| \angle\theta\\ &=29.2\angle{121^{\circ}} \end{align}

3. 벡터 방향 비교

벡터의 방향 표기에 대해 지금까지 알아보았습니다.

벡터의 방향 표기는 단위벡터 또는 각도를 이용하는 방법이 있는 것이죠. 이 두가지를 명확히 알았다면 방향이 같은 벡터와 방향이 반대인 벡터를 쉽게 구분할 수 있습니다.

3-1. 방향이 같은 벡터

어느 두 벡터가 주어졌다고 생각해보세요. 두 벡터의 방향이 같기 위해서는 단위벡터와 각도가 서로 동일하면 같은 방향을 갖습니다.

예를 들어 아래의 두 벡터 $A_1$ 과 $A_2$ 는 방향이 같은 벡터입니다. 물론 앞의 숫자가 서로 다르기 때문에 벡터의 크기는 다릅니다.

\tag{14} \begin{align} \vec{A_1} &= 54(-0.514\hat{x} + 0.856\hat{y})\\ &=54\angle{121^\circ}\\ \vec{A_2} &= 132(-0.514\hat{x} + 0.856\hat{y})\\ &=132\angle{121^\circ} \end{align}

명심하세요. 단위벡터와 각도가 같으면 방향이 같은 벡터에요. 물론 크기까지 서로 동일하면 두 벡터는 동일한 벡터가 됩니다.

3-2. 방향이 반대인 벡터

이번에도 어느 두 벡터가 주어졌어요. 두 벡터의 방향이 반대라는 것은 어떻게 표기될까요? 결론부터 말씀드리면 방향이 반대인 벡터는 앞에 -1을 곱해주면 됩니다.

예를 들어 아래의 두 벡터 $A_1$ 과 $A_2$ 는 크기는 서로 같으나 방향이 서로 반대인 벡터입니다.

\tag{15} \begin{align} \vec{A_1} &= 171(-0.514\hat{x} + 0.856\hat{y})\\ &=171\angle{121^\circ}\\ \vec{A_2} &= -171(-0.514\hat{x} + 0.856\hat{y})\\ &= 171(0.514\hat{x} - 0.856\hat{y})\\ &=171\angle{301^\circ} \end{align}

4. 벡터의 방향 표기 방법 요약

벡터의 방향을 표기하는 첫번째 방법은 단위벡터를 제시하는 것이다.
벡터의 방향을 표기하는 두번째 방법은 각도를 제시하는 것이다.
단위벡터와 각도가 동일하면 방향이 서로 같은 벡터이다.
단위벡터에 -1이 곱해져 있고 각도가 180도 차이가 나면 방향이 서로 반대인 벡터이다.

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벡터의 방향 표기를 정확하게 하는 방법