벡터의 좌표계 변환

BallPen · 2025-01-09T22:36:06+09:00

벡터의 좌표계 변환 예제 풀이입니다. 구면좌표계에서 정의된 벡터를 직각좌표계로 변환해 봐요. 이러한 변환을 위해서는 구면좌표계의 단위벡터를 직각좌표계로 표현한 관계식이 필요합니다. 그 관계식들을 사용하면 좌표계를 쉽게 변환할 수 있어요.

Last Updated on 2025-01-09 by BallPen

구면좌표계에서 정의된 벡터를 직각좌표계로 표현해 봐요.

벡터의 좌표계 변환 예제를 풀어 보겠습니다.

아래에 구면좌표계에서 정의된 벡터 $\vec a$ 가 있어요.

\tag{1} \vec a = \cos \theta \hat r - \sin \theta \hat \theta

이 벡터를 직각좌표계로 바꾸어 표현해 보겠습니다.

이를 위해서는 구면좌표계의 단위벡터를 직각좌표계로 표현한 아래의 관계식이 필요합니다.

\tag{2} \begin{align} &\hat r = \sin \theta \cos \phi \hat x + \sin \theta \sin \phi \hat y + \cos \theta \hat z\\[7pt] &\hat \theta = \cos \theta \cos \phi \hat x + \cos \theta \sin \phi \hat y - \sin \theta \hat z\\[7pt] &\hat \phi = - \sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y \end{align}

(2)식의 $\hat r$ 과 $\hat \theta$ 를 (1)식에 대입하세요.

\tag{3} \begin{align} \vec a &= \cos \theta \hat r - \sin \theta \hat \theta\\[7pt] &=\cos \theta(\sin \theta \cos \phi \hat x + \sin \theta \sin \phi \hat y + \cos \theta \hat z) \\[7pt] &~~~~~~~~~~~~~~~- \sin \theta(\cos \theta \cos \phi \hat x + \cos \theta \sin \phi \hat y - \sin \theta \hat z)\\[7pt] &=\cos^2 \theta \hat z + \sin^2 \theta \hat z\\[7pt] &=(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)\hat z\\[7pt] &=\hat z \end{align}

결국 (1)식의 벡터는 직각좌표계에서의 $z$ 방향 단위벡터와 같다는 것을 알 수 있어요.

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