불완전미분방정식 풀이 방법

BallPen · 2023-01-15T12:02:44+09:00

불완전미분방정식 풀이 방법을 소개합니다. 불완전미분방정식에 적분인자(integrating factor)를 구하여 곱한 후 완전미분방정식으로 식을 변형합니다. 그리고 통상의 완전미분방정식 풀이 방법을 적용하여 일반해와 특수해를 구하면 됩니다.

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

완전미분방정식이 아닌 불완전미분방정식을 어떻게 푸는지 알아봐요.

불완전미분방정식(Non-exact differential equation)이란 완전미분방정식은 아니지만 특별한 방법을 써서 완전미분방정식처럼 문제를 풀수 있는 미분방정식을 말합니다.

우선 간단한 예제부터 시작하면 아주 재미있게 그 풀이 원리를 이해할 수 있어요.

참고로 미분방정식에 대한 글을 계속 올리고 있어요. 이와 관련된 다양한 글들을 보고 싶으면 화면 위쪽의 검색창에 ‘미분방정식’을 입력해 보세요.

그럼 이제부터 시작합니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents [hide]

1. 미분방정식 예제
- 1-1. 완전미분방정식이 아닌 방정식(불완전미분방정식)
- 2-2. 불완전미분방정식 변형
2. 적분인자 유도
- 2-1. 적분인자가 x만의 함수인 경우
- 2-2. 적분인자가 y만의 함수인 경우
3. 불완전미분방정식 풀이 예제
- 3-1. 적분인자가 x만의 함수인 경우
- 3-2. 적분인자가 y만의 함수인 경우

1. 미분방정식 예제

1-1. 완전미분방정식이 아닌 방정식(불완전미분방정식)

불완전미분방정식의 풀이법을 공부하기 전에 우선 다음의 미분방정식을 완전미분방정식 풀이법으로 풀어보세요. 혹시 완전미분방정식 풀이법이 잘 기억이 나지 않으면 이전 글을 참고하기 바랍니다.

\tag{1} \bold{-ydx + x dy =0}

완전미분방정식 풀이법을 적용하기 위해서는 (1)식에서 $-y$ 를 $M(x,y)$ 로, $x$ 를 $N(x,y)$ 로 치환합니다.

그리고 아래의 관계가 성립하면 완전미분방정식 풀이법을 적용할 수 있어요.

\tag{2} {\partial M(x,y) \over {\partial y}} = {\partial N(x,y) \over {\partial x}}

(2)식의 관계가 성립하는지 적용해봐요.

\tag{3} \begin{align} &{\partial M(x,y) \over{\partial y}} = {\partial (-y) \over {\partial y}} = -1\\ &{\partial N(x,y) \over {\partial x}} = {\partial x \over {\partial x}} = 1\\ \end{align}

그 결과 -1과 1이 도출되어 같지 않습니다. 결국 (2)식의 관계가 성립하지 않으므로 주어진 미분방정식은 완전미분방정식 풀이법을 적용할 수 없습니다. 이러한 경우의 미분방정식을 불완전미분방정식이라고 해요.

2-2. 불완전미분방정식 변형

그런데 만일 (1)식의 좌변과 우변에 $1/x^2$ 을 곱하면 어떻게 될까요? 좌변과 우변에 같은 양을 곱했으므로 수학적으로 (1)식이 달라지는 것은 전혀 없어요.

예를 들어 $x+2y=0$ 의 좌변과 우변에 2를 곱하면 $2x + 4 y =0$ 이 됩니다. 이것을 정리하면 $2(x+2y) =0$ 로 쓸 수 있으며, 이 관계가 성립하기 위해서는 $x+2y =0$ 가 되어야 하므로 2를 곱하기 전과 동일한 관계가 유지되고 있음을 알 수 있어요.

결국 같은 수를 방정식의 좌변과 우변에 곱해주더라도 아무 상관없어요.

그런데 (1)식의 좌변과 우변에 하필 $1/x^2$ 을 곱한다고 하는데 그 이유는 나중에 이해하실 수 있어요. 일단 $1/x^2$ 이 어떻게 도출되었는지는 나중에 알아보고 일단 곱해봐요.

그러면 (1)식은 다음과 같이 변형됩니다.

\tag{4} \begin{align} {1 \over x^2 }\times(-ydx + x dy) &= {1 \over x^2}\times0\\ {- {y \over x^2}} dx+ {1 \over x}dy &= 0 \end{align}

그리고 (4)식이 (2)식의 완전미분방정식 조건을 만족하는 지의 여부를 아래 (5)식으로 확인해 보겠습니다.

\tag{5} \begin{align} &{\partial M(x,y) \over{\partial y}} = {\partial (-y/x^2) \over {\partial y}} = -{1 \over x^2}\\ &{\partial N(x,y) \over {\partial x}} = {\partial (1/x) \over {\partial x}} = - {1 \over x^2}\\ \end{align}

신기하게도 동일한 값이 도출되어 (2)식이 성립하고 있음을 알 수 있습니다. 이것은 (4)식이 완전미분방정식이며 통상적인 완전미분방정식 풀이법을 적용할 수 있음을 뜻해요.

그리고 (4)식을 풀어 도출된 일반해는 (1)식에 주어진 미분방정식의 일반해와 같습니다.

(4)식을 완전미분방정식으로 풀이하는 방법은 여기를 참고하세요. 또한 (1)식은 완전미분방정식이 아닌 변수분리형 미분방정식 풀이법으로도 해를 구할 수 있습니다. 그 풀이과정도 여기를 클릭하세요.

(4)식과 (1)식을 만족하는 일반해는 다음 (6)식과 같습니다. 여기서 $c$ 는 상수입니다.

\tag{6} x = cy

지금까지 어느 불완전미분방정식에 어떤 함수를 곱함으로써 완전미분방정식으로 식을 변형할 수 있고, 이를 통해 일반해를 구하는 예시를 말씀드렸어요.

지금까지 오셨으면 아마도 불완전미분방정식에 어떤 함수를 곱해야 완전미분방정식이 될 수 있느냐가 궁금할 거에요. 이제부터 그 이야기를 시작합니다.

2. 적분인자 유도

식 (4)에서 불완전미분방정식에 $1/x^2$ 을 곱해주었더니 완전미분방정식으로 바뀌었어요. 일단 완전미분방정식으로 식이 변형되면 정해진 풀이법을 적용해 일반해를 구할 수 있습니다.

이때 불완전미분방정식에 곱하는 어떤 특별한 함수를 ‘적분인자(integrating factor)’라고 부릅니다. ‘적분’ 단어가 들어가 있으니 적분의 형태로 주어지는 어떠한 함수를 말해요.

그렇다면 이제부터 적분인자를 구하는 방법을 알아보겠습니다. 이 방법만 알면 불완전미분방정식일지라도 완전미분방정식으로 변형하여 문제를 풀수 있게 돼요.

아래 (7)식은 불완전미분방정식이라고 생각해 보세요. 즉 ${{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \ne {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}$ 가 성립해요.

\tag{7} M(x,y) dx + N(x,y)dy =0

이 불완전미분방정식에 어떤 $x$ 와 $y$ 의 함수로 주어진 적분인자 $F(x,y)$ 를 곱해서 완전미분방정식으로 변형할 수 있다고 가정해봐요.

그러면 아래와 같이 표현할 수 있습니다.

\tag{8} M(x,y)F(x,y) dx + N(x,y)F(x,y)dy =0

그리고 (8)식은 조금 복잡하니 $M(x,y)F(x,y)$ 를 $M_1 (x,y)$ 로 치환하고, $N(x,y)F(x,y)$ 를 $N_1 (x,y)$ 로 치환해 봐요.

\tag{9} M_1 (x,y) dx + N_1 (x,y)dy =0

아주 간단해 졌어요.

그런데 위에서 가정한 것처럼 불완전미분방정식인 (7)식에 적분인자를 곱해서 (9)식은 완전미분방정식이 되었어요. 그러면 (9)식은 다음의 관계를 만족해야만 합니다.

\tag{10} {{\partial M_1 (x,y)}\over{\partial y}} = {{\partial N_1 (x,y)}\over{\partial x}}

그리고 곱의 미분 공식 ${{d(uv)}\over{dx}} = {{du}\over{dx}}v+u{{dv}\over{dx}}$ 을 적용하면 아래와 같습니다.

\tag{11} \begin{align} &{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}F(x,y)+ M(x,y){{\partial F(x,y)}\over{\partial y}} \\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}F(x,y)+ N(x,y){{\partial F(x,y)}\over{\partial x}} \end{align}

복잡해 보이는 식이 나왔어요. 이 (11)식을 잘 정리해서 적분인자 $F(x,y)$ 를 구할 수 있으면 좋겠는데요. 아쉽게도 너무 복잡해서 그리 쉬워보이지 않아요.

그래서 한번 더 가정을 합니다. (11)식을 조금 더 간단한 형태로 바꾸면 좋겠어요.

이를 위해 적분인자가 $x$ 만의 함수로 되어 있거나 $y$ 만의 함수로 되어 있다고 가정해봐요.

그럼 하나씩 알아봐요.

2-1. 적분인자가 $x$ 만의 함수인 경우

만일 적분인자가 $x$ 만의 함수 $F(x)$ 로 주어진다면, (11)식은 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{12} \begin{align} &{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}F(x)+ \color {red}M(x,y){{\partial F(x)}\over{\partial y}} \color{black}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}F(x)+ \color{blue} N(x,y){{dF(x)}\over{\ dx}} \end{align}

이때 빨강색 항은 $x$ 만의 함수인 적분인자 $F(x)$ 를 $y$ 로 편미분하므로 0이 됩니다.

또한 파랑색 항은 $x$ 만의 함수를 $x$ 로 미분하므로 상미분으로 표현을 바꿀 수 있어요.

계속 정리해 봐요.

\tag{13} {{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}F(x)= {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}F(x)+ N(x,y){{dF(x)}\over{dx}}

\tag{14} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)F(x)= N(x,y){{dF(x)}\over{dx}}

\tag{15} {{1}\over{F(x)}}{{dF(x)}\over{dx}}= {{1}\over{N(x,y)}} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)

\tag{16} {{1}\over{F(x)}}dF(x)= {{1}\over{N(x,y)}} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)dx

(16)식의 양변을 적분해보세요. 이때 $\int {1 \over x} dx = \ln |x| + c$ 의 관계를 활용합니다. 적분상수 $c$ 는 임의의 상수이므로 0으로 간주해도 좋습니다.

\tag{17} \ln |F(x)|= \int{{1}\over{N(x,y)}} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)dx

로그의 성질 $e^{\ln |x|} = x$ 을 활용하기 위해 양변에 exponential을 취해 줍니다.

\tag{18} \bold{F(x)= e^{\int{{1}\over{N(x,y)}} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)dx}}

최종적으로 구한 (18)식이 적분인자 $F(x)$ 를 구하는 공식이 됩니다. 이 적분인자를 불완전미분방정식에 곱하면 완전미분방정식으로 바뀌게 됩니다.

이번에는 $y$ 만의 함수 $F(y)$ 로 주어지는 적분상수도 구해봐요.

2-2. 적분인자가 $y$ 만의 함수인 경우

적분인자가 $y$ 만의 함수 $F(y)$ 로 주어진다면, (11)식은 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{19} \begin{align} &{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}F(y)+ \color {blue}M(x,y){{d F(y)}\over{dy}} \color{black}\\ &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}F(y)+ \color{red} N(x,y){{\partial F(y)}\over{\partial x}} \end{align}

이때 파랑색 항은 $y$ 만의 함수를 $y$ 로 미분하므로 상미분으로 바꾸었어요. 빨강색 항은 $y$ 만의 함수를 $x$ 로 편미분하므로 0이됩니다.

그러면 다음과 같이 정리할 수 있어요.

\tag{20} {{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}F(y)+ \color {black}M(x,y){{d F(y)}\over{dy}} \color{black}= {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}F(y)

\tag{21} \Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big)F(y)= \color {black}M(x,y){{d F(y)}\over{dy}} \color{black}

\tag{22} \begin{align} {{1}\over{F(y)}}{{d F(y)}\over{dy}} \color{black} = {{1}\over{M(x,y)}}\Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big) \end{align}

\tag{23} \begin{align} {{1}\over{F(y)}}dF(y) \color{black} = {{1}\over{M(x,y)}}\Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big) dy \end{align}

(23)식의 양변을 적분해 보세요.

\tag{24} \begin{align} \ln |F(y)| = \int{{1}\over{M(x,y)}}\Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big) dy \end{align}

양변에 exponential을 취합니다.

\tag{25} \begin{align} \bold{F(y) = e^{\int{{1}\over{M(x,y)}}\Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big) dy}} \end{align}

(25)식이 적분인자 $F(y)$ 입니다. 이 적분인자를 불완전미분방정식에 곱하면 완전미분방정식으로 바뀌게 됩니다.

지금까지 적분인자를 구하는 방법을 알아봤습니다. 적분인자만 구하면 불완전미분방정식이 완전미분방정식으로 바뀌게 되므로 완전미분방정식 풀이법을 적용하여 일반해를 구합니다.

이쯤되면 이해하셨을 거에요. (1)식에 $1/x^2$ 을 곱하여 불완전미분방정식을 완전미분방정식으로 바꾸었는데, 그때 $1/x^2$ 이 바로 적분인자 $F(x)$ 에 해당합니다.

관련 예제를 함께 풀어보겠습니다.

3. 불완전미분방정식 풀이 예제

다음 미분방정식의 일반해를 구해보세요.

\tag{q-1} \bold{2ydx + 3xdy=0}

문제에 주어진 식이 완전미분방정식인지의 여부를 알아봐요.

식의 $2y$ 를 $M(x,y)$ 로, $3x$ 를 $N(x,y)$ 로 생각하고 (2)식의 관계가 성립하는지를 확인해 봅니다.

\tag{q-2} \begin{align} &{\partial M(x,y) \over {\partial y}} = {{\partial (2y)}\over{\partial y}} = 2\\ &{\partial N(x,y) \over {\partial x}} = {{\partial (3x)}\over{\partial x}} = 3 \end{align}

그 결과 두 값이 서로 달라 (2)식의 관계가 성립하지 않아요. 이 말은 문제에 주어진 식이 완전미분방정식이 아니라는 뜻입니다.

그럼 이번에는 적분인자를 구한 후, 적분인자를 문제의 양변에 곱하여 완전미분방정식으로 바꾸어 볼까요? 그러면 문제를 풀 수 있을 거에요.

적분인자를 구해 봅니다.

3-1. 적분인자가 $x$ 만의 함수인 경우

(18)식을 적용해봐요.

\tag{q-3} \begin{align} F(x) &= \exp\Big[{\int{{1}\over{N(x,y)}} \Big({{\partial M(x,y)}\over{\partial y}}- {{\partial N(x,y)}\over{\partial x}}\Big)dx} \Big]\\ &=\exp\Big[\int {1 \over{3x}}\Big( {{\partial (2y)}\over{\partial y}}-{{\partial (3x)}\over{\partial x}} \Big) dx\Big]\\ &=\exp \Big[ \int{{1}\over{3x}}\big(2-3\big)dx \Big]\\ &=\exp \Big[-{{1}\over{3}}\int{1 \over x}dx \Big]\\ &=\exp\Big[-{{1}\over{3}}\ln |x| + c_1 \Big]\\ &=\exp(c_1)\exp\Big( -{1 \over 3} \ln|x|\Big)\\ &=c_2 e^{(-1/3) \ln |x|}\\ &=c_2 e^{\ln |x|^{-1/3}}\\ &=c_2 x^{-1/3} \end{align}

(q-3)식을 전개하는 과정에서 상수 곱하기 상수는 또 하나의 상수로 간주될 뿐입니다. 또한 상수에 exponential 취해도 상수가 됩니다. 풀이를 단순화하기 위해서 (q-3)식의 가장 마지막 줄에 있는 상수 $c_2$ 를 1로 두겠습니다. 그리고 구해진 적분상수를 문제의 양변에 곱해줍니다.

그러면 다음과 같아요.

\tag{q-4} (x^{-1/3}) 2ydx + (x^{-1/3})3xdy=0

\tag{q-5} \begin{align} 2(x^{-1/3}) ydx + 3(x^{2/3})dy=0 \end{align}

그렇다면 (q-5)식이 완전미분방정식이 되었을까요? 그럼 확인해봐요.

\tag{q-6} \begin{align} &{\partial M(x,y) \over{\partial y}} = {\partial (2x^{-1/3}y) \over {\partial y}} = 2x^{-1/3}\\ &{\partial N(x,y) \over {\partial x}} = {\partial (3x^{2/3}) \over {\partial x}} = 2x^{-1/3}\\ \end{align}

(q-6)식과 같이 두 값이 서로 같다는 것을 알 수 있습니다. 결국 (q-5)식은 완전미분방정식이 되었어요.

그러면 (q-5)식을 완전미분방정식 풀이법을 적용하여 일반해를 구하면 됩니다.

그 일반해는 다음과 같아요.

\tag{q-7} y=cx^{-2/3}

이렇게 해서 적분인자가 $x$ 만의 함수로 주어질 때 미분방정식의 일반해를 구했어요. 이쯤되면 아마도 적분인자가 $y$ 만의 함수로 주어진 경우에는 어떻게 되나 하고 궁금할 거에요.

그것도 한번 구해 봐요.

3-2. 적분인자가 $y$ 만의 함수인 경우

이번에는 (25)식을 적용합니다.

\tag{q-8} \begin{align} F(y) &= \exp \Big[{\int{{1}\over{M(x,y)}}\Big({{\partial N(x,y)}\over{\partial x}} -{{\partial M(x,y)}\over{\partial y}} \Big) dy}\Big]\\ &=\exp\Big[\int{{1}\over{2y}} \Big({{\partial(3x)}\over{\partial x}} - {{\partial(2y)}\over{\partial y}} \Big) dy \Big]\\ &=\exp\Big[\int{{1}\over{2y}}(3-2)dy \Big]\\ &=\exp\Big[{1 \over 2}\int{1 \over y} dy \Big]\\ &=\exp\Big[{1 \over 2} \ln |y| + c_1 \Big]\\ &=\exp(c_1) \exp\Big({1\over 2} \ln |y| \Big)\\ &=c_2 e^{(1/2) \ln|y|}\\ &=c_2 e^{\ln|y|^{1/2}}\\ &=c_2 y^{1/2} \end{align}

여기서도 풀이를 단순화하기 위해 상수 $c_2$ 는 1로 두겠습니다. 그리고 (q-8)의 적분상수를 문제의 양변에 곱합니다.

\tag{q-9} (y^{1/2}) 2ydx + (y^{1/2})3xdy=0

\tag{q-10} \begin{align} 2(y^{3/2}) dx + 3x(y^{1/2})dy=0 \end{align}

(q-10)도 완전미분방정식이 되었는지 확인해보겠습니다.

\tag{q-11} \begin{align} &{\partial M(x,y) \over{\partial y}} = {\partial (2y^{3/2}) \over {\partial y}} = 3y^{1/2}\\ &{\partial N(x,y) \over {\partial x}} = {\partial (3xy^{1/2}) \over {\partial x}} = 3y^{1/2}\\ \end{align}

두 값이 동일하게 나왔으니 (q-10)은 완전미분방정식이 맞습니다. 이제는 완전미분방정식 풀이법을 적용하여 풀면 됩니다.

그리고 그 일반해를 구해보면 다음과 같아요.

\tag{q-12} y=cx^{-2/3}

그 결과 (q-7)식과 동일한 결과가 얻어집니다. 적분인자를 $F(x)$ 로 구하든 $F(y)$ 로 구하든 미분방정식의 일반해는 동일하게 주어집니다.

이상으로 불완전미분방정식 풀이 방법을 설명드렸습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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불완전미분방정식 풀이 방법