사인 제곱 함수의 평균값

BallPen · 2023-02-26T09:21:01+09:00

사인 제곱 함수의 평균값 계산 방법을 소개합니다. 함수의 평균값은 파동의 세기나 교류신호의 평균값 계산 등을 위해 많이 사용됩니다. 주기가 같고 초기 위상만 다른 코사인 제곱 함수의 평균값도 사인 제곱 함수의 평균값과 동일합니다.

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

사인 제곱 함수의 평균값 계산을 해보겠습니다.

함수의 평균값은 교류신호의 평균값이나 파동의 세기 등을 계산할 때 많이 사용됩니다.

예를 들어 주기적으로 반복되는 주기 함수 $f(t)$ 의 평균값 $\bar f(t)$ 은 다음의 공식으로 구할 수 있습니다.

\tag{1} \bar f = {1 \over T} \int _0^Tf(t)dt

(1)식에서 $T$ 는 함수의 주기값입니다.

예제를 하나 풀어보죠. 다음 사인 제곱 함수의 평균값을 구해보세요.

\tag{2} f(t) = \sin^2 t

이 함수의 평균값은 (1)식을 적용하여 구하면 됩니다. 이때 주기 $T$ 는 $-\pi$ 에서 $\pi$ 까지 $2 \pi$ 주기로 설정하겠습니다.

\tag{3} \begin{align} \bar f(t) &= {1 \over T} \int_0^T f(t) dt\\ &={1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2{t}dt\\ \end{align}

한편 두배각 공식에 따르면 $\sin^2{x} = {{1-\cos{(2x)}}\over{2}}$ 가 됩니다. 이를 (3)식에 대입하고 계속 풀어나갑니다.

\tag{4} \begin{align} \bar f(t) &= {1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2{t}dt\\ &={1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi}{{1-\cos(2t)}\over{2}} dt\\ &={1 \over {2 \pi}}\times{1 \over 2} \int_{- \pi}^{\pi} 1- \cos(2t) dt\\ &={1 \over {4 \pi}} \Big(\int_{-\pi}^{\pi} 1dt - \int_{-\pi}^{\pi}\cos(2t)dt\Big)\\ &={1 \over {4 \pi}} \Big( \big[t\big]_{-\pi}^{\pi} - \big[{1 \over 2}\sin(2t)\big]_{-\pi}^{\pi}\Big)\\ &={1 \over{4 \pi}} \Big((\pi - (-\pi))-{1 \over 2}\big(\sin(2 \pi) - \sin(-2 \pi)\big) \Big)\\ &={1 \over {4 \pi}}\Big(2 \pi - {1 \over 2}(0) \Big)\\ &={1 \over {4 \cancel \pi}} 2 \cancel\pi\\ &={1 \over 2} \end{align}

결과적으로 사인 제곱 함수의 평균값은 $1/2$ 입니다.

참고로 주기가 같고 초기 위상만 다른 코사인 제곱 함수의 평균값도 동일하게 $1/2$ 이 나온다는 것을 꼭 기억하세요.

\tag{5} \bar f(t) = {1 \over 2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \cos^2{t}dt = {1 \over 2}

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