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역행렬이 어떻게 정의되고, 또 그 성질은 어떤지 알아봐요.
역행렬(inverse matrix)이란 어떤 정방행렬에 곱했을 때 단위행렬 을 만들어내는 행렬을 말합니다.
즉, 행과 열이 같은 어떤 정방행렬 A A A A A A A − 1 A^{-1} A − 1 I I I
A A − 1 = I o r A − 1 A = I AA^{-1} = I~~~~~~or~~~~~~A^{-1}A = I A A − 1 = I or A − 1 A = I 그러면 역행렬 A − 1 A^{-1} A − 1
A − 1 = 1 d e t ( A ) ( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) t A^{-1} = {{1}\over{det(A)}}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
C_{21} & C_{22} & C_{23}\\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}^{t} A − 1 = d e t ( A ) 1 ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ t 여기서 d e t ( A ) det(A) d e t ( A ) A A A 행렬식 , C i j C_{ij} C ij a i j a_{ij} a ij 여인수(cofactor) 입니다. 그리고 윗첨자 t t t
그럼 이제부터 윗 식들이 어떻게 도출되었으며, 그 역행렬의 주요 성질을 알아봐요.
아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 행렬식과 여인수 복습 행과 열이 같은 정방행렬 을 생각해봐요. 예를 들어 3×3 행렬 A A A 행렬식 d e t ( A ) det(A) d e t ( A )
d e t ( A ) = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = ( a 11 a 22 a 33 − a 11 a 32 a 23 ) + ( a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a a 33 ) + ( a 13 a 32 a 21 − a 13 a 22 a 31 ) (1-1) \tag{1-1}
\begin{align}
det(A) &=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}\\[10pt]
&=(a_{11} a_{22} a_{33} - a_{11} a_{32} a_{23})\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~+(a_{12}a_{23}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{a33}) \\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ (a_{13}a_{32} a_{21}-a_{13}a_{22}a_{31})
\end{align}
d e t ( A ) = ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ = ( a 11 a 22 a 33 − a 11 a 32 a 23 ) + ( a 12 a 23 a 31 − a 12 a 21 a a 33 ) + ( a 13 a 32 a 21 − a 13 a 22 a 31 ) ( 1-1 ) 한편 여인수란 행렬의 한 원소가 속한 행과 열을 제외한 부분의 소행렬식(minor)에 규칙에 따라 부호를 붙인 것을 말해요. 그리고 행렬의 한 행(또는 열)에 대한 원소와 그 여인수를 서로 곱한 후 모두 합한 것을 여인수 전개 라고 하죠.
이때 여인수 전개 결과는 행렬식과 같아요.
어떤 행렬 원소 a i j a_{ij} a ij C i j C_{ij} C ij
C i j = ( − 1 ) i + j M i j (1-2) \tag{1-2}
C_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij} C ij = ( − 1 ) i + j M ij ( 1-2 ) 여기서 ( − 1 ) i + j (-1)^{i+j} ( − 1 ) i + j M i j M_{ij} M ij i i i j j j
예를 들어 (1-1)식의 3×3 행렬에서 첫번째 행에 대한 여인수 전개 는 다음과 같죠.
d e t ( A ) = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = a 11 ( − 1 ) 1 + 1 M 11 + a 12 ( − 1 ) 1 + 2 M 12 + a 13 ( − 1 ) 1 + 3 M 13 = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 (1-3) \tag{1-3}
\begin{align}
det(A) &=
\begin{vmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}\\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}\\[10pt]
&=a_{11} C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13} C_{13}\\[10pt]
&=a_{11}(-1)^{1+1} M_{11} + a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13}\\[10pt]
&=a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12}+a_{13}M_{13}
\end{align} d e t ( A ) = ∣ ∣ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ∣ ∣ = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = a 11 ( − 1 ) 1 + 1 M 11 + a 12 ( − 1 ) 1 + 2 M 12 + a 13 ( − 1 ) 1 + 3 M 13 = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 ( 1-3 )
2. 역행렬 어떤 수에 그 역수를 곱하면 1이 됩니다. 예를 들어 숫자 3에 3의 역수를 곱하면 단위 숫자 1이 되죠. 이를 식으로 쓰면 다음과 같습니다.
3 × 3 − 1 = 3 × 1 3 = 1 (2-1) \tag{2-1}
3 \times 3^{-1} = 3 \times {1 \over 3} = 1 3 × 3 − 1 = 3 × 3 1 = 1 ( 2-1 ) 그러면 어떤 수에 역수를 곱하면 1이 되는 관계를 행렬연산에도 확대해서 적용해봐요. 즉, 어떤 행렬에 그 행렬의 역행렬을 곱해주면 단위행렬(unit matrix) I I I I I I
A A − 1 = I (2-2) \tag{2-2}
A A^{-1} = I A A − 1 = I ( 2-2 ) 예를 들어 아래에 행렬 A A A A − 1 A^{-1} A − 1
A = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) (2-3) \tag{2-3}
A=
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix} A = ⎝ ⎛ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎠ ⎞ ( 2-3 ) 우선 행렬 A A A B B B
B = ( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) t = ( C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ) (2-4) \tag{2-4}
B=
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
C_{21} & C_{22} & C_{23}\\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}^{t}
=
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31} \\
C_{12} & C_{22} & C_{32} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33}
\end{pmatrix} B = ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ t = ⎝ ⎛ C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ⎠ ⎞ ( 2-4 ) 그리고 A A A B B B
( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ) = ( a d g b e h c f i ) (2-5) \tag{2-5}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{21} & C_{31} \\
C_{12} & C_{22} & C_{32} \\
C_{13} & C_{23} & C_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & d & g \\
b & e & h \\
c & f & i
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ a b c d e f g h i ⎠ ⎞ ( 2-5 ) 이제 위 식의 좌변을 전개해서 우변의 각 원소를 구해 봐요.
먼저 a a a
a = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = a 11 ( − 1 ) 1 + 1 M 11 − a 12 ( − 1 ) 1 + 2 M 12 + a 13 ( − 1 ) 1 + 3 M 13 = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 = d e t ( A ) (2-6) \tag{2-6}
\begin{align}
a &= a_{11} C_{11} + a_{12} C_{12} + a_{13} C_{13}\\
&=a_{11}(-1)^{1+1}M_{11} -a_{12}(-1)^{1+2}M_{12} + a_{13}(-1)^{1+3}M_{13} \\
&=a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \color{blue}=det(A)
\end{align} a = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = a 11 ( − 1 ) 1 + 1 M 11 − a 12 ( − 1 ) 1 + 2 M 12 + a 13 ( − 1 ) 1 + 3 M 13 = a 11 M 11 − a 12 M 12 + a 13 M 13 = d e t ( A ) ( 2-6 ) 전개 결과 윗 식의 세번째 줄이 행렬식 (1-3)식과 같다는 것을 알 수 있어요. 그래서 a = d e t ( A ) a=det(A) a = d e t ( A )
이번에는 b b b
b = a 21 C 11 + a 22 C 12 + a 23 C 13 = a 21 M 11 − a 22 M 12 + a 23 M 13 (2-7) \tag{2-7}
\begin{align}
b&=a_{21} C_{11} + a_{22}C_{12} + a_{23}C_{13}\\
&=a_{21}M_{11} - a_{22}M_{12} + a_{23}M_{13}\\
\end{align} b = a 21 C 11 + a 22 C 12 + a 23 C 13 = a 21 M 11 − a 22 M 12 + a 23 M 13 ( 2-7 ) 그런데 위 식의 두번째 줄을 얼핏보면 행렬식처럼 보이는데요. 행렬식이 아닙니다. (1-3)식처럼 계수와 소행렬식의 아래 첨자가 모두 같아야 행렬식인데, 이 경우에는 아래첨자가 서로 다르므로 행렬식이 아니에요. 구체적인 결과를 알기 위해 위 식을 계속 전개해봐요.
b = a 21 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 22 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ − a 23 ∣ a 21 a 22 a 31 a 32 ∣ = a 21 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 22 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 23 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = 0 (2-8) \tag{2-8}
\begin{align}
b&=
a_{21}
\begin{vmatrix}
a_{22} & a_{23}\\
a_{32} & a_{33}
\end{vmatrix}
-
a_{22}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{23}\\
a_{31} & a_{33}
\end{vmatrix}
-
a_{23}
\begin{vmatrix}
a_{21} & a_{22}\\
a_{31} & a_{32}
\end{vmatrix}\\
&=
a_{21}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{22}(a_{21}a_{33}-a_{23} a_{31}) + a_{23}(a_{21}a_{32} - a_{22} a_{31})\\
&=0
\end{align} b = a 21 ∣ ∣ a 22 a 32 a 23 a 33 ∣ ∣ − a 22 ∣ ∣ a 21 a 31 a 23 a 33 ∣ ∣ − a 23 ∣ ∣ a 21 a 31 a 22 a 32 ∣ ∣ = a 21 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) − a 22 ( a 21 a 33 − a 23 a 31 ) + a 23 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) = 0 ( 2-8 ) 그 결과 0이 나오는 것을 알 수 있습니다. 즉 b = 0 b=0 b = 0
이러한 방식으로 (2-4)식의 우변 전체 원소 값을 구해보면 다음과 같아요. 각자 구해보시기 바랍니다.
a = e = i = d e t ( A ) b = c = d = f = g = h = 0 (2-9) \tag{2-9}
\begin{align}
&a=e=i=det(A) \\
&b=c=d=f=g=h=0
\end{align} a = e = i = d e t ( A ) b = c = d = f = g = h = 0 ( 2-9 ) 위의 관계를 이용해 (2-5)식을 다시 표현하면 다음과 같다는 것을 알 수 있어요.
( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) ( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) t = d e t ( A ) ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) (2-10) \tag{2-10}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}^{t}
=
det(A)
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎠ ⎞ ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ t = d e t ( A ) ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 2-10 ) 그리고 위 식의 양변을 d e t ( A ) det(A) d e t ( A )
( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ) 1 d e t ( A ) ( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) t = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) (2-11) \tag{2-11}
\begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
\end{pmatrix}
\color{red}{
{1 \over{det(A)}}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}^{t}
}
\color{black}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ a 11 a 21 a 31 a 12 a 22 a 32 a 13 a 23 a 33 ⎠ ⎞ d e t ( A ) 1 ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ t = ⎝ ⎛ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎠ ⎞ ( 2-11 ) 마지막으로 위의 빨강색을 A − 1 A^{-1} A − 1
이 결과는 우리가 구하려고 했던 (2-2)식과 같은 형태임을 알 수 있어요. 결국 어떤 행렬의 역행렬을 구하는 식은 다음과 같다는 것을 알 수 있어요.
A − 1 = 1 d e t ( A ) ( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) t (2-12) \tag{2-12}
A^{-1} =
{1 \over{det(A)}}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13} \\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}^{t} A − 1 = d e t ( A ) 1 ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ t ( 2-12 )
3. 역행렬 주요 성질 3-1. 모든 정방행렬이 역행렬을 갖는 것은 아니다. (2-12)식에서 분모에 있는 행렬식 d e t ( A ) det(A) d e t ( A ) A − 1 A^{-1} A − 1
즉, 역행렬이 존재할 조건은 다음과 같고, 역행렬이 존재한다면 그것은 유일합니다.
d e t ( A ) ≠ 0 (3-1) \tag{3-1}
det(A) \ne 0 d e t ( A ) = 0 ( 3-1 ) 3-2. 역행렬을 행렬의 앞에서 곱하든 뒤에서 곱하던 그 결과는 단위행렬로 같다. 행렬 A A A B B B
A B ≠ B A (3-2) \tag{3-2}
AB \ne BA A B = B A ( 3-2 ) 하지만 역행렬의 경우에는 예외입니다. 서로 교환해도 단위행렬이 항상 나와요.
A − 1 A = A A − 1 = I (3-3) \tag{3-3}
A^{-1}A = A A^{-1} = I A − 1 A = A A − 1 = I ( 3-3 ) 3-3. AB의 역행렬은 각각의 역행렬을 구한 후 순서를 바꾸어 곱해야 한다. 행렬 A A A B B B
( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (3-4) \tag{3-4}
(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 ( 3-4 ) 3-4. 역행렬의 역행렬은 원래 행렬이 된다. 식으로 쓰면 다음과 같습니다.
( A − 1 ) − 1 = A (3-5) \tag{3-5}
(A^{-1})^{-1} = A ( A − 1 ) − 1 = A ( 3-5 ) 3-5. kA의 역행렬은 (1/k)A^{-1}이 된다. k k k
( k A ) − 1 = 1 k A − 1 (3-6) \tag{3-6}
(kA)^{-1} = {1 \over k} A^{-1} ( k A ) − 1 = k 1 A − 1 ( 3-6 )
4. 역행렬 예제 함께 예제를 풀어봐요.
4-1. 2×2 행렬의 역행렬 다음 행렬의 역행렬을 구해 보세요.
A = ( 2 1 7 4 ) (4-1) \tag{4-1}
A=
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
7 & 4
\end{pmatrix} A = ( 2 7 1 4 ) ( 4-1 ) 이를 위해서는 (2-12)식을 적용하면 됩니다.
우선 행렬식 d e t ( A ) det(A) d e t ( A )
d e t ( A ) = 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 7 = 1 (4-2) \tag{4-2}
det(A) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 7 = 1 d e t ( A ) = 2 ⋅ 4 − 1 ⋅ 7 = 1 ( 4-2 ) 이번에는 여인수 행렬을 구하면 됩니다. 예를 들어 a 11 = 2 a_{11}=2 a 11 = 2 A A A M 11 M_{11} M 11
C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = ∣ 4 ∣ = 4 (4-3) \tag{4-3}
C_{11} = (-1)^{1+1} M_{11} =
\begin{vmatrix}
4
\end{vmatrix}
=4 C 11 = ( − 1 ) 1 + 1 M 11 = ∣ ∣ 4 ∣ ∣ = 4 ( 4-3 ) 이러한 방식으로 여인수 행렬을 모두 구하면 다음과 같아요.
( C 11 C 12 C 21 C 22 ) = ( 4 − 7 − 1 2 ) (4-4) \tag{4-4}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} \\
C_{21} & C_{22}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
4 & -7 \\
-1 & 2
\end{pmatrix} ( C 11 C 21 C 12 C 22 ) = ( 4 − 1 − 7 2 ) ( 4-4 ) 결국 A − 1 A^{-1} A − 1
A − 1 = 1 1 ( 4 − 7 − 1 2 ) t = ( 4 − 1 − 7 2 ) (4-5) \tag{4-5}
A^{-1} = {1 \over 1}
\begin{pmatrix}
4 & -7 \\
-1 & 2
\end{pmatrix}^t =
\begin{pmatrix}
4 & -1\\
-7 & 2
\end{pmatrix} A − 1 = 1 1 ( 4 − 1 − 7 2 ) t = ( 4 − 7 − 1 2 ) ( 4-5 ) 4-2. 3×3 행렬의 역행렬 이번에는 다음 행렬의 역행렬을 구해 보세요.
B = ( 1 2 3 4 5 6 7 2 9 ) (4-6) \tag{4-6}
B=
\begin{pmatrix}
1 & 2& 3\\
4 & 5 & 6\\
7 & 2 & 9
\end{pmatrix} B = ⎝ ⎛ 1 4 7 2 5 2 3 6 9 ⎠ ⎞ ( 4-6 ) 여기서도 (2-12)식을 적용하면 됩니다. 이를 위해 먼저 d e t ( B ) det(B) d e t ( B )
d e t ( B ) = ( 1 ⋅ 5 ⋅ 9 − 1 ⋅ 2 ⋅ 6 ) + ( 2 ⋅ 6 ⋅ 7 − 2 ⋅ 4 ⋅ 9 ) + ( 3 ⋅ 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ) = − 36 (4-7) \tag{4-7}
\begin{align}
det(B) &= (1 \cdot 5 \cdot9 - 1 \cdot 2 \cdot 6) + (2 \cdot 6 \cdot 7 - 2 \cdot 4 \cdot9)+(3 \cdot 2 \cdot 4 - 3 \cdot 5 \cdot 7)\\
&=-36
\end{align} d e t ( B ) = ( 1 ⋅ 5 ⋅ 9 − 1 ⋅ 2 ⋅ 6 ) + ( 2 ⋅ 6 ⋅ 7 − 2 ⋅ 4 ⋅ 9 ) + ( 3 ⋅ 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ) = − 36 ( 4-7 ) 여인수 행렬도 구해야 하는데요. 예를 들어 a 12 = 2 a_{12} = 2 a 12 = 2
C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 M 12 = − ∣ 4 6 7 9 ∣ = − ( 36 − 42 ) = 6 (4-8) \tag{4-8}
C_{12} = (-1)^{1+2} M_{12} = -
\begin{vmatrix}
4 & 6\\
7 & 9
\end{vmatrix}
=-(36-42) = 6 C 12 = ( − 1 ) 1 + 2 M 12 = − ∣ ∣ 4 7 6 9 ∣ ∣ = − ( 36 − 42 ) = 6 ( 4-8 ) 이런 방식으로 여인수 행렬을 모두 구하면 다음이 됩니다.
( C 11 C 12 C 13 C 21 C 22 C 23 C 31 C 32 C 33 ) = ( 33 6 − 27 − 12 − 12 12 − 3 6 − 3 ) (4-9) \tag{4-9}
\begin{pmatrix}
C_{11} & C_{12} & C_{13}\\
C_{21} & C_{22} & C_{23} \\
C_{31} & C_{32} & C_{33}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
33 & 6 & -27\\
-12 & -12 & 12\\
-3 & 6 & -3
\end{pmatrix} ⎝ ⎛ C 11 C 21 C 31 C 12 C 22 C 32 C 13 C 23 C 33 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ 33 − 12 − 3 6 − 12 6 − 27 12 − 3 ⎠ ⎞ ( 4-9 ) 결국 B − 1 B^{-1} B − 1
B − 1 = 1 − 36 ( 33 6 − 27 − 12 − 12 12 − 3 6 − 3 ) t = 1 − 36 ( 33 − 12 − 3 6 − 12 6 − 27 12 − 3 ) = ( − 11 12 1 3 1 12 − 1 6 1 3 − 1 6 3 4 − 1 3 1 12 ) (4-10) \tag{4-10}
\begin{align}
B^{-1} &= {1 \over {-36}}
\begin{pmatrix}
33 & 6 & -27\\
-12 & -12 & 12\\
-3 & 6 & -3
\end{pmatrix}^{t}\\[10pt]
&={1 \over {-36}}
\begin{pmatrix}
33& -12 & -3\\
6& -12& 6\\
-27& 12& -3
\end{pmatrix}\\
&=
\begin{pmatrix}
-{11 \over 12} & {1 \over 3} & {1 \over {12}}\\[5pt]
-{1 \over 6} & {1 \over 3} & -{1 \over 6}\\[5pt]
{3 \over 4} & - {1 \over 3} & {1 \over 12}
\end{pmatrix}
\end{align} B − 1 = − 36 1 ⎝ ⎛ 33 − 12 − 3 6 − 12 6 − 27 12 − 3 ⎠ ⎞ t = − 36 1 ⎝ ⎛ 33 6 − 27 − 12 − 12 12 − 3 6 − 3 ⎠ ⎞ = ⎝ ⎛ − 12 11 − 6 1 4 3 3 1 3 1 − 3 1 12 1 − 6 1 12 1 ⎠ ⎞ ( 4-10 )
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