Last Updated on 2026-07-03 by BallPen
외적 \(\vec A \times \vec B = \vec C\)에서 \(\vec A\)는 어떻게 표현될까요?
외적 또는 벡터곱 \vec A \times \vec B = \vec C가 있다고 생각해봐요. 이때 벡터 \vec A를 구하고자 한다면 어떻게 하면 될까요?
외적에는 나눗셈이 존재하지 않기 때문에 전개하기 쉽지 않아요.
즉 외적은 서로 다른 벡터가 동일한 결과를 만들어 낼 수 있어요. 나눗셈이 존재하려면 곱셈 결과와 곱하기 전의 값이 1:1로 매칭되어야 하지만 그렇지가 않죠.
이번 글에서는 이에 대해 알아 봐요.
1. 외적의 기하학적 특성
다음과 같이 주어진 외적(벡터곱)이 있다고 생각해봐요.
\tag{1}
\vec A \times \vec B = \vec C그러면 다음 특성들이 성립합니다.
- \vec C는 \vec A와 수직이다. \vec A \cdot \vec C = 0
- \vec C는 \vec B와 수직이다. \vec B \cdot \vec C = 0
- \vec A와 \vec B가 이루는 평면에 수직인 방향이 \vec C이다.
외적에 대한 보다 자세한 내용은 이전 관련 글을 참고하시기 바랍니다.
2. 벡터 \(\vec A\) 구하기
그러면 (1)식에서 \(\vec A\)를 구해 봐요. 먼저 (1)식의 양변을 \(\vec B\)로 곱해줍니다.
\tag{2}
(\vec A \times \vec B) \times \vec B = \vec C \times \vec B그리고 (2)식 좌변에서 곱의 순서를 바꾸면 다음과 같아요.
\tag{3}
\begin{align}
-\Big(\vec B \times (\vec A \times B)\Big) = \vec C \times \vec B
\end{align}(3)식의 좌변에 BAC-CAB 룰을 적용해 봐요. 그러면 아래와 같아요.
\tag{4}
\begin{aligned}
-\Big( \vec A (\vec B \cdot \vec B ) - \vec B (\vec B \cdot \vec A) \Big) &= \vec C \times \vec B\\[10pt]
\vec B (\vec B \cdot \vec A) - \vec A (\vec B \cdot \vec B) &=\vec C \times \vec B\\[10pt]
\vec B (\vec B \cdot \vec A) - \vec A B^2 &=\vec C \times \vec B\\[10pt]
-B^2 \vec A &= \vec C \times \vec B - \vec B(\vec B \cdot \vec A)
\end{aligned}(4)식의 마직막 줄에서 \vec A에 대해 최종적으로 정리하면 다음과 같아요.
\tag{5}
\begin{aligned}
\vec A &= {{-(\vec B \times \vec C) - \vec B (\vec A \cdot \vec B)}\over{-B^2}}\\[10pt]
&={{(\vec B \times \vec C) + \vec B (\vec A \cdot \vec B)}\over{B^2}}\\[10pt]
&={{\vec B \times \vec C}\over{B^2}} + \Big ( {{\vec A \cdot \vec B}\over{B^2}} \Big) \vec B
\end{aligned}흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
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