원통좌표계(cylindrical coordinate system)

BallPen · 2023-11-25T12:10:45+09:00

원통좌표계(cylindrical coordinate system)의 위치벡터와 단위벡터를 설명합니다. 그리고 원통좌표계에서의 속도, 가속도, 미소 길이, 미소 면적, 미소부피를 설명합니다. 마지막으로 델 연산자, 기울기, 발산, 회전 식을 유도합니다.

Last Updated on 2023-11-25 by BallPen

원통좌표계와 관련된 다양한 개념들을 상세히 알아봐요.

원통좌표계(cylindrical coordinate system)란 직교좌표계의 한 종류로써 3차원 공간을 표현하는 방법중의 하나입니다.

이번 글에서는 원통좌표계에서의 단위벡터, 위치, 속도, 가속도, 길이요소, 면적요소, 부피요소, 델연산자, 기울기, 발산, 회전 등에 대해 알아보겠습니다.

이 글은 원통좌표계를 최대한 상세히 설명하고자 작성한거에요. 만약 관련 공식을 빠르게 찾아보고자 한다면 위키백과의 원통좌표계를 참고하세요.

이 글에서 나오는 공식들을 암기할 필요는 없어요. 하지만 한번 정도는 볼펜을 잡고 전체 내용을 유도해보는 것이 좋아요. 그래야 원통좌표계에 대한 자신감이 생긴답니다.

그럼 이제부터 시작하겠습니다. 아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 원통좌표계 위치 벡터와 단위벡터
2. 원통좌표계 속도, 가속도
- 2-1. 단위벡터의 시간 미분
  - [원통좌표계 속도벡터]
3. 미소 길이, 면적, 부피요소
4. 델 연산자, 기울기, 발산, 회전

1. 원통좌표계 위치 벡터와 단위벡터

아래 [그림 1]은 원통좌표계를 설명하기 위한 그림입니다.

1-1. 위치

[그림 1] 원통좌표계. <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat r</span>, <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\hat \phi</span>, <span class="katex-eq" data-katex-display="false">z</span>는 원통좌표계의 단위벡터입니다. — [그림 1] 원통좌표계. $\hat r$ , $\hat \phi$ , $z$ 는 원통좌표계의 단위벡터입니다.

직각좌표계에서는 공간상의 어느 위치를 나타내는 좌표를 ( $x,~y,~z$ )로 표기합니다. 구면좌표계에서는 ( $r,~\theta,~\phi$ )로 표현하죠.

또한 평면극좌표계에서는 ( $r,~\phi$ )로 표현합니다. 다만 다른 좌표계와 달리 극좌표계는 평면의 2차원 공간을 표현할 수 있어요.

그런데 여기서 조금만 더 생각을 해보면 평면극좌표계의 2차원 평면 공간에 수직한 또 하나의 좌표축을 추가하면 3차원을 표현할 수 있게 될거에요.

이런 방식으로 만들어진 것이 원통좌표계입니다.

[그림 1]을 보면 원통의 바닥면은 $r$ 과 $\phi$ 로 표현되는 극좌표계에요. 그런데 수직 점선으로 표기한 높이 축 $z$ 가 하나 더 추가되어 3차원 공간을 표현하게 되는 것이죠.

그래서 원통좌표계에서는 좌표를 ( $r,~\phi,~z$ )로 표기합니다.

1-2. 위치벡터

앞서 말씀드렸듯이 원통좌표계는 평면극좌표계에 높이 축인 $z$ 축이 추가된거에요. 그래서 극좌표계의 위치벡터인 $r\hat r$ 에 $z$ 방향의 벡터를 합하면 원통좌표계의 위치벡터가 됩니다.

즉 [그림 1]에서 $x,y$ 평면에 있는 $\vec r = r \hat r$ 과 점선으로 그려진 수직선의 벡터 $\vec z = z \hat z$ 의 합이 위치 벡터 $\vec R$ 이 됩니다. 이를 식으로 쓰면 아래 (1-1)식과 같아요.

\tag{1-1} \begin{align} \vec R &= \vec r + \vec z\\ &=r \hat r + z\hat z \end{align}

그런데 위치벡터에 $r$ 과 $z$ 성분은 있는데 $\phi$ 성분은 없어요. 그런데 없는 것은 아니고요. $r$ 성분에 $\phi$ 성분이 녹아 있는 것으로 보시면 됩니다.

1-3. 단위벡터

[원통좌표계와 직각좌표계 변환 관계]

좌표계는 계산의 편리를 위해 선택되는 경우가 많아요. 따라서 어느 한 좌표계에서 다른 좌표계로 변환해야 할 경우가 있어요.

이때 가장 기준이 되는 좌표계가 직각좌표계에요. 예를 들어 원통좌표계를 구면좌표계로 바꾸고 싶다면 먼저 원통좌표계를 직각좌표계로 바꾼 후 직각좌표계를 구면좌표계로 바꾸면 되는 거죠.

그래서 원통좌표계와 직각좌표계 사이의 변환관계를 아는 것은 중요합니다. 즉 원통좌표계의 ( $r,~\phi,~z$ )가 주어졌을 때 이를 직각좌표계의 ( $x,~y,~z$ )로 어떻게 바꾸느냐 하는 거에요.

\tag{1-2} (r, \phi, z) \rightarrow(x,y,z)

이를 위해서는 아래 [그림 2]를 통해 설명드립니다.

[그림 2] 위치벡터 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\vec R</span>이 향하는 점의 좌표를 (<span class="katex-eq" data-katex-display="false">r,\phi,z</span>)라고 할 때 이것을 직각좌표계 (<span class="katex-eq" data-katex-display="false">x,y,z</span>)로 바꾸기 위해서는 변환 관계를 알아야 합니다. — [그림 2] 위치벡터 $\vec R$ 이 향하는 점의 좌표를 ( $r,\phi,z$ )라고 할 때 이것을 직각좌표계 ( $x,y,z$ )로 바꾸기 위해서는 변환 관계를 알아야 합니다.

[그림 2]를 보면 원통의 바닥면에 $r$ 이 있는데요. $r \cos \phi$ 를 구하면 $x$ 의 길이가 구해진다는 것을 알 수 있어요. 유사한 방법으로 $r \sin \phi$ 는 $y$ 의 길이가 됩니다. 그리고 $z$ 는 직각좌표계나 원통좌표계나 동일합니다.

이러한 관계를 정리하면 다음과 같아요.

\tag{1-3} \begin{align} &x = r \cos \phi\\ &y= r \sin \phi\\ &z=z \end{align}

반대로 $(x,y,z)\rightarrow(r,\phi,z)$ 로 바꾸고자 한다면 다음의 공식을 사용하면 됩니다.

\tag{1-4} \begin{align} &r = \sqrt{x^2 + y^2}\\ &\phi =\tan^{-1}{y \over x}\\ &z = z \end{align}

첫번째 식은 피타고라스 정리이고, 두번째 식은 식 (1-3)의 두번째 식을 첫번째 식으로 나누면 유도할 수 있어요.

[단위벡터 유도]

원통좌표계는 [그림 1]과 같이 $\hat r,~\hat \phi,~\hat z$ 세 개의 단위벡터를 가져요. 이 단위벡터가 어떻게 표현되는지 유도해 보겠습니다.

(1-1)식에 따르면 $\vec r = r \hat r$ 이므로, 단위벡터 $\hat r$ 은 다음과 같이 나타낼 수 있어요. 이때 전개과정에서 (1-3)식과 (1-4)식을 활용하면 됩니다.

\tag{1-5} \begin{align} \hat r = {{\vec r}\over{r}}&={{x \hat x + y \hat y}\over{\sqrt{x^2 + y^2}}}\\[10pt] &={{r \cos \phi \hat x + r \sin \phi \hat y}\over{\sqrt{r^2 \cos^2 \phi + r^2 \sin^2 \phi}}}\\[10pt] &={{\cancel r \cos \phi \hat x + \cancel r \sin \phi \hat y}\over{\cancel r}}\\[10pt] &=\cos \phi \hat x + \sin \phi \hat y \end{align}

다음에는 단위벡터 $\hat \phi$ 를 구해 볼게요. 이번에는 약간 머리속으로 상상하는 과정이 필요해요.

[그림 1]을 보면 각도 $\phi$ 에서의 단위벡터 $\hat r$ 이 있는데, 만일 각도가 현재의 $\phi$ 보다 $\pi \over 2$ 만큼 더 회전하면 $\hat r$ 은 $\hat \phi$ 와 같아집니다. 따라서 (1-5)식에서 $\phi$ 를 $\phi + {\pi \over 2}$ 로 바꾸면 $\hat \phi$ 이 되는 거에요.

이를 식으로 표현하면 아래와 같아요. 전개과정에서 삼각함수 덧셈정리를 적용합니다.

\tag{1-6} \begin{align} \hat \phi &= \hat r~ [\phi \rightarrow\phi + {\pi \over 2}]\\ &=\cos(\phi + {\pi \over 2}) \hat x + \sin (\phi + {\pi \over 2})\hat y\\ &= - \sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y \end{align}

마지막으로 $\hat z$ 인데요. [그림 1]과 같이 원통좌표계에서의 $\hat z$ 는 직각좌표계에서의 $\hat z$ 와 같아요.

\tag{1-7} \hat z = \hat z

최종적으로 (1-5), (1-6), (1-7)식을 정리하면 다음과 같아요.

\tag{1-8} \begin{align} &\hat r = \cos \phi \hat x + \sin \phi \hat y\\ &\hat \phi = - \sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y \\ &\hat z = \hat z \end{align}

2. 원통좌표계 속도, 가속도

원통좌표계에서 위치벡터가 시간에 따라 변하면 속도와 가속도를 이야기할 수 있는데요. 그 속도와 가속도가 원통좌표계에서 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

이를 위해서는 우선 단위벡터를 시간으로 미분한 결과를 알아보겠습니다. 왜냐하면 속도와 가속도를 구하는 과정에서 단위벡터의 시간 미분이 나오기 때문이에요.

2-1. 단위벡터의 시간 미분

원통좌표계는 $\hat r,~\hat \phi,~\hat z$ 세 개의 단위벡터가 있잖아요. 이때 $\hat r$ 과 $\hat \phi$ 는 극좌표계에서 유래한 것이고 $\hat z$ 는 직각좌표계에서 유래한 거에요.

그런데 극좌표계를 설명할 때 $\hat r$ 과 $\hat \phi$ 의 시간 미분을 이미 설명드린적이 있어요. 그 결과를 그대로 인용할게요(이전 극좌표계 설명에서는 각도를 $\theta$ 로 표기했어요. 이 글에서는 $\theta$ 대신 $\phi$ 를 사용하고 있음을 주의하세요).

\tag{2-1} \begin{align} &{{d \hat r}\over{dt}} ={{d \phi}\over{dt}} \hat \phi= \dot \phi \hat \phi\\ &{{d \hat \phi}\over{dt}} = -{{d \phi}\over{dt}} \hat r= -\dot \phi \hat r \end{align}

(2-1)식에서 기호 위에 점이 있는 것은 시간으로 미분된 것임을 뜻해요. 즉 $\dot \phi$ 은 ${{d \phi}\over{dt}}$ 를 의미해요.

한편 $z$ 방향의 단위벡터인 $\hat z$ 을 시간으로 미분한 결과는 0이 됩니다. 왜냐면 직각좌표계의 단위벡터는 크기와 방향이 시간에 따라 변하지 않기 때문이에요.

식으로 표현하면 다음과 같아요.

\tag{2-2} {{d \hat z}\over{dt}} = 0

이렇게 해서 단위벡터의 시간미분을 알아봤어요. 이제부터 속도와 가속도를 구해보겠습니다.

[원통좌표계 속도벡터]

속도벡터는 식(1-1)의 위치벡터를 시간으로 미분하면 됩니다. 전개 과정에서 곱의 미분과 (2-1), (2-2)식을 적용하면 됩니다.

\tag{2-3} \begin{align} \vec v &= {{d \vec R}\over{dt}} \\[10pt] &={d({r \hat r + z \hat z)}\over{dt}}\\[10pt] &={d \over dt}(r \hat r) + {d \over dt}(z\hat z)\\[10pt] &= {dr \over dt} \hat r + r {{d \hat r}\over{dt}} + {dz \over dt}\hat z + z{{d\hat z}\over{dt}}\\[10pt] &=\dot r \hat r + r(\dot \phi \hat \phi)+\dot z \hat z + z(0)\\[10pt] &=\dot r \hat r + r \dot \phi \hat \phi+\dot z \hat z \end{align}

이번에는 가속도입니다. 가속도는 속도벡터를 시간으로 미분하면 됩니다.

\tag{2-4} \begin{align} \vec a &= {{d \vec v}\over{dt}}\\[10pt] &= {{d(\dot r \hat r + r \dot \phi \hat \phi+\dot z \hat z)}\over{dt}}\\[10pt] &={{d}\over{dt}}(\dot r \hat r) + {{d}\over{dt}}(r \dot \phi \hat \phi) + {{d}\over{dt}}(\dot z \hat z)\\[10pt] &={{d\dot r}\over{dt}} \hat r+ \dot r {{d \hat r}\over{dt}} + {{dr}\over{dt}} \dot \phi \hat \phi + r{{d \dot \phi}\over{dt}} \hat \phi + r \dot \phi {{d \hat \phi}\over{dt}} + {{d \dot z}\over{dt}} \hat z + \dot z {{d \hat z}\over{dt}}\\[10pt] &=\ddot r\hat r + \dot r (\dot \phi \hat \phi) + \dot r \dot \phi \hat \phi + r \ddot \phi \hat \phi + r \dot \phi (- \dot \phi \hat r) + \ddot z \hat z + \dot z (0)\\[10pt] &= (\ddot r -r \dot \phi^2)\hat r + (2 \dot r \dot \phi +r \ddot \phi)\hat \phi + \ddot z \hat z \end{align}

3. 미소 길이, 면적, 부피요소

다음은 원통좌표계에서 미소 길이, 미소 면적, 미소 부피 요소가 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

3-1. 미소 길이 요소

원통좌표계 위치벡터는 (1-1)식과 같이 $\vec R = r \hat r + z \hat z$ 입니다. 따라서 이것의 미소 변화량이 미소 길이 요소가 됩니다.

그런데 길이는 통상적으로 $l$ 로 표현하는 경우가 많으니 기호 $R$ 대신에 $l$ 을 사용하겠습니다. 전개과정에서 나타나는 $d \hat r$ 과 $d \hat z$ 는 (2-1)식과 (2-2)식에서 분자에 있는 식을 적용하면 됩니다.

\tag{3-1} \begin{align} &\vec l = r \hat r + z \hat z\\[10pt] d \vec l &= dr \hat r + r d \hat r + dz \hat z + z d\hat z\\ &=dr \hat r + r (d \phi \hat \phi) + dz \hat z + z(0)\\ &=dr \hat r + r (d \phi \hat \phi) + dz \hat z\\ &=d l_r + dl_\phi \hat \phi + dl_z \hat z \end{align}

결국 원통좌표계에서 $r$ , $\phi$ , $z$ 방향의 미소 길이 요소는 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

\tag{3-2} \begin{align} &dl_r = dr\\ &d l_\phi = r d \phi\\ &dl_z = dz \end{align}

3-2. 미소 면적 요소

이번에는 미소 면적 요소 입니다. 아래 [그림 3]을 보아 주세요.

원통에 아주 작은 면적 요소가 두개 그려져 있어요. 원통 옆면에 있는 미소 면적은 원통 벽의 일부이고, 원통 윗면에 있는 미소 면적은 원통 윗면적의 일부에요.

먼저 원통 벽에 있는 미소 면적 요소부터 생각해봐요. 그림과 같이 가로의 미소길이는 $dl_\phi$ 이고 세로는 $dl_z$ 가 될거에요.

또한 저 면적의 방향은 지름방향 단위벡터 $\hat r$ 과 같은 방향이 됩니다.

이번에는 원통 윗면에 있는 미소 면적 요소를 생각해봐요. 이 경우에는 지름방향의 미소길이 $dl_r$ 과 $\phi$ 방향의 미소길이 $dl_\phi$ 가 미소 면적을 구성합니다.

방향은 $z$ 방향의 단위벡터 $\hat z$ 와 동일한 방향이 되는군요.

결국 이 내용들을 모두 정리하면 원통좌표계의 미소 면적 요소 $d \vec a$ 는 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{3-3} \begin{align} &원통의~벽면: d \vec a = dl_\phi dl_z \hat r = r d \phi dz \hat r\\ &원통의~윗면: d \vec a = dl_r dl_\phi \hat z = dr r d \phi \hat z = r dr d \phi \hat z \end{align}

3-3. 미소 부피 요소

위 [그림 4]에서 보여진 원통좌표계의 미소 부피 요소는 각 방향의 미소 길이를 곱하면 미소 부피 요소 $d \tau$ 의 크기가 됩니다.

\tag{3-4} \begin{align} d \tau &= dl_r dl_\phi dl_z\\ &=(dr)(rd \phi)(dz)\\ &=rdrd\phi dz \end{align}

4. 델 연산자, 기울기, 발산, 회전

원통좌표계의 델 연산자부터 스칼라장의 기울기, 벡터장의 발산과 회전, 라플라시안까지의 유도과정을 설명드립니다.

4-1. 델 연산자

직각좌표계에서 길이 요소와 델 연산자 사이의 대응 관계는 아래 식과 같습니다.

\tag{4-1} \begin{align} d \vec l = dx \hat x + dy \hat y + dz \hat z \rightarrow \nabla={{{\partial}}\over{\partial x}} \hat x + {{\partial}\over{\partial y}} \hat y + {{\partial}\over{\partial z}}\hat z \end{align}

(4-1)식의 대응 관계를 원통좌표계에 그대로 적용해봐요. 그러면 아래와 같아요.

\tag{4-2} \begin{align} d \vec l = dr \hat r + rd\phi \hat \phi + dz \hat z \rightarrow \nabla = {{\partial}\over{\partial l_r}} \hat r + {{\partial}\over{\partial l_\phi}} \hat \phi + {{\partial}\over{\partial l_z}} \hat z \end{align}

그러면 (4-2)식의 오른쪽에 있는 델 연산자를 더 구체적으로 바꾸어 볼께요. (3-2)식을 위 (4-2)식에 대입하면 되는데요. 다만 변수가 두개 이상이니 상미분을 편미분으로 바꾸어주면 됩니다.

그 결과는 다음과 같아요.

\tag{4-3} \begin{align} \nabla = {{\partial}\over{\partial r}} \hat r + {1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \end{align}

4-2. 스칼라장의 기울기

$T$ 를 스칼라함수라 할 때 이 함수의 기울기 벡터장을 도출하기 위해서는 델 연산자에 스칼라함수 $T$ 를 적용하면 됩니다.

\tag{4-4} \begin{align} \nabla T &= \Big({{\partial }\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \Big)T\\[10pt] &={{\partial T}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r }{{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi + {{\partial T}\over{\partial z}}\hat z \end{align}

4-3. 벡터장의 발산

벡터장 $\vec A = A_r{\hat r} + A_{\phi} \hat \phi + A_z \hat z$ 가 있을 때 이 벡터장의 발산을 구하기 위해서는 델 연산자와 스칼라곱을 하면 됩니다.

구체적인 전개 과정은 아래와 같습니다.

\tag{4-5} \begin{align} \nabla \cdot \vec A &= \Big({{\partial}\over{\partial r}} \hat r + {1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \Big) \cdot \vec A\\[10pt] &=\Big({{\partial \vec A}\over{\partial r}} \cdot \hat r + {1 \over r}{{\partial \vec A}\over{\partial \phi}} \cdot \hat \phi + {{\partial \vec A}\over{\partial z}} \cdot \hat z \Big)\\[10pt] &=\Big({{\partial A_r}\over{\partial r}} \hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial r}}\hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial r}} \hat z\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+A_r \color{blue}{{\partial \hat r}\over{\partial r}}\color{black} +A_\phi \color{blue}{{\partial \hat\phi}\over{\partial r}}\color{black} + A_z\color{blue} {{\partial \hat z}\over{\partial r}}\color{black}\Big) \cdot \hat r\\[10pt] &~~~~~~+\Big({{\partial A_r}\over{\partial \phi}} \hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial \phi}}\hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial \phi}} \hat z\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+A_r \color{blue}{{\partial \hat r}\over{\partial \phi}}\color{black} +A_\phi \color{blue}{{\partial \hat\phi}\over{\partial \phi}}\color{black} + A_z\color{blue} {{\partial \hat z}\over{\partial \phi}}\color{black}\Big) \cdot {{\hat \phi}\over{r}} \\[10pt] &~~~~~~+\Big({{\partial A_r}\over{\partial z}} \hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial z}}\hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial z}} \hat z\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+A_r \color{blue}{{\partial \hat r}\over{\partial z}}\color{black} +A_\phi \color{blue}{{\partial \hat\phi}\over{\partial z}}\color{black} + A_z\color{blue} {{\partial \hat z}\over{\partial z}}\color{black}\Big) \cdot \hat z\\[10pt] \end{align}

위 (4-5)식의 파랑색 부분은 (1-8)식을 활용하여 계산하면 됩니다. 구체적인 계산 과정은 다음과 같습니다.

\tag{4-6} \begin{align} &{{\partial \hat r}\over{\partial r}} = {{\partial}\over{\partial r}}(\cos \phi \hat x + \sin \phi \hat y) =0\\[10pt] &{{\partial \hat \phi}\over{\partial r}} = {{\partial}\over{\partial r}}(-\sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y) =0\\[10pt] &{{\partial \hat z}\over{\partial r}} = 0\\[20pt] &{{\partial \hat r}\over{\partial \phi}}= {{\partial }\over{\partial \phi}}(\cos \phi \hat x+\sin \phi \hat y)=-\sin \phi \hat x+\cos \phi \hat y =\hat \phi\\[10pt] &{{\partial \hat \phi}\over{\partial \phi}}={{\partial}\over{\partial \phi}}(-\sin \phi \hat x+\cos \phi \hat y)= - \cos \phi \hat x-\sin \phi \hat y = - \hat r\\[10pt] &{{\partial z}\over{\partial \phi}}=0\\[20pt] &{{\partial \hat r}\over{\partial z}} = {{\partial}\over{\partial z}} (\cos \phi \hat x + \sin \phi \hat y)=0\\[10pt] &{{\partial \hat \phi}\over{\partial z}} = {{\partial}\over{\partial z}}(-\sin \phi \hat x + \cos \phi \hat y)=0\\[10pt] &{{\partial \hat z}\over{\partial z}}=0 \end{align}

위 (4-6)식을 (4-5)식에 대입하고 정리합니다. 이 과정에서 단위벡터끼리의 스칼라곱을 계산해야 하는데요. 평행한 단위벡터끼리의 스칼라곱은 1이되고, 수직한 성분끼리의 스칼라곱은 0이됩니다.

이를 반영하여 정리하면 아래 (4-7)식을 얻게 됩니다.

\tag{4-7} \begin{align} \nabla \cdot \vec A = {{\partial A_r}\over{\partial r}} + {1 \over r} {{\partial A_\phi}\over{\partial \phi}} + {1 \over r}{A_r + {{\partial A_z}\over{\partial z}}} \end{align}

그리고 최종적으로 (4-7)식을 다시 한번 더 형태를 바꾸면 아래 식과 같아요.

\tag{4-8} \nabla \cdot \vec A = {1 \over r} {{\partial}\over{\partial r}}(rA_r) + {1 \over r} {{\partial A_\phi}\over{\partial \phi}} + {{\partial A_z}\over{\partial z}}

4-4. 벡터장의 회전

벡터장 $\vec A = A_r \hat r + A_\phi \hat \phi + A_z \hat z$ 가 있을 때 이 벡터장의 회전을 구하는 방법입니다. 델 연산자와 벡터장을 벡터곱하면 됩니다.

\tag{4-9} \begin{align} \nabla \times \vec A &= \Big({{\partial}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi +{{\partial }\over{\partial z}}\hat z \Big) \times \vec A\\[10pt] &=\hat r \times \Big(\color{red}{{\partial \vec A}\over{\partial r}}\color{black}\Big) + {{\hat \phi}\over{r}} \times \Big(\color{red}{{\partial \vec A}\over{\partial \phi}}\color{black}\Big) + \hat z \times\Big(\color{red}{{\partial \vec A}\over{\partial z}} \color{black}\Big)\\[10pt] &=\hat r \times \Big( {{\partial A_r}\over{\partial r}} \hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial r}} \hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial r}}\hat z\Big)\\[10pt] &~~~~~~~~~+{{\hat \phi}\over{r}} \times \Big({{\partial A_r}\over{\partial \phi}}\hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial \phi}}\hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial \phi}} \hat z + A_r \hat \phi - A_\phi \hat r \Big)\\[10pt] &~~~~~~~~~+\hat z \times \Big({{\partial A_r}\over{\partial z}}\hat r + {{\partial A_\phi}\over{\partial z}}\hat \phi + {{\partial A_z}\over{\partial z}} \hat z \Big)\\[10pt] &={{\partial A_r}\over{\partial r}}(\hat r \times \hat r)+{{\partial A_\phi}\over{\partial r}}(\hat r \times \hat \phi) + {{\partial A_z}\over{\partial z}}(\hat r \times \hat z)\\[10pt] &~~~~~~~~~+{1 \over r} \Big( {{\partial A_r}\over{\partial \phi}} (\hat \phi \times \hat r) + {{\partial A_\phi}\over{\partial \phi}}(\hat \phi \times \hat \phi) + {{\partial A_z}\over{\partial \phi}}(\hat \phi \times \hat z)+A_r(\hat \phi \times \hat \phi) - A_\phi (\hat \phi \times \hat r) \Big)\\[10pt] &~~~~~~~~~+{{\partial A_r}\over{\partial z}}(\hat z \times \hat r)+{{\partial A_\phi}\over{\partial z}}(\hat z \times \hat \phi) + {{\partial A_z}\over{\partial z}}(\hat z \times \hat z) \end{align}

위 식에서 빨강색 부분은 (4-5)식에서 이미 계산했습니다. 해당 부분을 인용해서 적용했어요. 그리고 (4-9)식에는 단위벡터끼리의 벡터곱이 나오는데요. 그것을 순서대로 정리하면 아래와 같습니다.

\tag{4-10} \begin{align} &\hat r \times \hat r = 0\\ &\hat r \times \hat \phi = \hat z\\ &\hat r \times \hat z = - \hat \phi\\ &\hat \phi \times \hat r = - \hat z\\ &\hat \phi \times \hat \phi = 0\\ &\hat \phi \times \hat z = \hat r\\ &\hat z \times \hat r = \hat \phi\\ &\hat z \times \hat \phi = - \hat r\\ &\hat z \times \hat z = 0 \end{align}

(4-10)식을 (4-9)식에 대입하고 정리할게요.

\tag{4-11} \begin{align} \nabla \times \vec A &= {{\partial A_\phi}\over{\partial r}}\hat z - {{\partial A_z}\over{\partial r}} \hat \phi \\[10pt] &~~~~~~ - {1 \over r} \Big({{\partial A_r}\over{\partial \phi}}\Big) \hat z+{1 \over r} {{\partial A_z}\over{\partial \phi}} \hat r + {1 \over r} A_\phi \hat z \\[10pt] &~~~~~~ + {{\partial A_r}\over{\partial z}}\hat \phi - {1 \over r}{{\partial A_\phi}\over{\partial z}}\hat r\\[10pt] &=\Big({1 \over r} {{\partial A_z}\over{\partial \phi}} - {{\partial A_\phi}\over{\partial z}} \Big)\hat r + \Big({{\partial A_r}\over{\partial z}} - {{\partial A_z}\over{\partial r}}\Big) \hat \phi\\[10pt] &~~~~~~ + \Big({{\partial A_\phi}\over{\partial r}} - {1 \over r}{{\partial A_r}\over{\partial \phi}} + {1 \over r} A_\phi \Big)\hat z \end{align}

마지막으로 (4-11)식의 마지막 줄을 더 간결하게 정리하면 다음과 같습니다. 바로 이것이 원통좌표계에서 벡터장의 회전을 구하는 공식이 되겠습니다.

\tag{4-12} \begin{align} \nabla \times \vec A &= \Big({1 \over r} {{\partial A_z}\over{\partial \phi}} - {{\partial A_\phi}\over{\partial z}}\Big) \hat r + \Big({{\partial A_r}\over{\partial z}} - {{\partial A_z}\over{\partial r}}\Big) \hat \phi \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~+ {1 \over{}r}\Big({{\partial}\over{\partial r}}(r A_\phi) - {{\partial A_r}\over{\partial \phi}}\Big) \hat z \end{align}

4-5. 라플라시안

스칼라함수 $T$ 의 기울기에 대한 발산을 라플라시안이라고 하는데요. (4-3)식으로 정의한 델 연산자를 그대로 활용하시면 됩니다.

\tag{4-13} \begin{align} \nabla ^2 T &= \nabla \cdot(\nabla T)\\[10pt] &=\Big({{\partial}\over{\partial r}} \hat r + {1 \over r} {{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi + {{\partial}\over{\partial z}} \hat z \Big) \cdot\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi +{{\partial T}\over{\partial z}}\hat z\Big) \end{align}

(4-13)식을 전개해서 정리하면 라플라시안을 구할 수 있는데요. 모두 한꺼번에 전개하면 너무 복잡하니 세개로 쪼개서 전개한 후 다시 합치도록 할게요.

먼저 첫번째 입니다.

\tag{4-13-1} \begin{align} {{\partial}\over{\partial r}} \hat r &\cdot \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi + {{\partial T}\over{\partial z}}\hat z \Big)\\[10pt] &=\hat r \cdot \Big[{{\partial }\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r\Big) + {{\partial}\over{\partial r}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi \Big) + {{\partial}\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}} \hat z \Big) \Big]\\[10pt] &=\hat r \cdot \Big[ \Big \{ {{\partial}\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) \hat r+\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big)\color{red}{{\partial \hat r}\over{\partial r}}\color{black}\Big\} + \Big\{{{\partial}\over{\partial r}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\hat \phi +{1 \over r}\Big({{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\color{red}{{\partial \hat \phi}\over{\partial r}}\color{black}\Big\}\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~+\Big\{{{\partial}\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) \hat z + \Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big)\color{red}{{\partial \hat z}\over{\partial r}}\color{black}\Big\}\Big]\\[10pt] &={{\partial}\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big)(\hat r \cdot \hat r) + {{\partial}\over{\partial r}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\color{red}(\hat r \cdot \hat \phi)\color{black}+{{\partial}\over{\partial r}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) \color{red}(\hat r \cdot \hat z)\\[10pt] &={{\partial}\over{\partial r}} \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big)\\[10pt] &={{\partial^2 r}\over{\partial r^2}} \end{align}

위 (4-13-1)식에서 위로부터의 빨강색 수식 3개는 (4-6)식에 따라 0이 됩니다. 그리고 아래에 있는 빨강색 수식들은 서로 수직인 단위벡터 사이의 스칼라곱이므로 0이 됩니다.

이번에는 (4-13)식의 두번째 부분을 전개하겠습니다.

\tag{4-13-2} \begin{align} {1 \over {r}} \Big({{\partial}\over{\partial \phi}} \hat \phi \Big)&\cdot \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}} \hat \phi + {{\partial T}\over{\partial z}}\hat z\Big)\\[10pt] &={{\hat \phi}\over{r}} \cdot \Big[{{\partial}\over{\partial \phi}} \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r \Big) + {{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi \Big) + {{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\hat z \Big) \Big ]\\[10pt] &={{\hat \phi}\over{r}} \cdot \Big[ \Big\{{{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) \hat r + \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) \color{blue}{{\partial \hat r}\over{\partial \phi}}\color{black}\Big\}+ \Big\{{{\partial }\over{\partial \phi}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big) \hat \phi + \Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\color{blue}{{\partial \hat \phi}\over{\partial \phi}}\color{black}\Big\}\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+\Big\{ {{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) \hat z + \Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big)\color{red}{{\partial \hat z}\over{\partial \phi}}\color{black}\Big\}\Big]\\[10pt] &={1 \over r} {{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) \color{red}(\hat \phi \cdot \hat r)\color{black} + {1 \over r} \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) (\hat \phi \cdot \hat \phi)+{1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)(\hat \phi\cdot\hat\phi) - {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\color{red}(\hat \phi \cdot \hat r)\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+{1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}} \Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big)\color{red}(\hat \phi \cdot \hat z)\color{black} + {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial z}}(0)\\[10pt] &={1 \over r}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) + {1 \over r}{{\partial}\over{\partial \phi}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\\[10pt] &={1 \over r}{{\partial T}\over{\partial r}} + {1 \over r^2} {{\partial^2 T}\over{\partial \phi^2}} \end{align}

위 식에서 위로부터의 파랑색 수식 2개는 (4-6)식에 따라 $\hat \phi$ 와 $-\hat r$ 이 됩니다. 그리고 아래 부분을 보면 단위벡터 사이의 스칼라곱이 있는데요. 빨강색으로 표시한 부분은 수직인 단위벡터 끼리의 스칼라곱이므로 모두 0이 됩니다.

마지막으로 (4-13)식의 세번째 부분을 전개합니다.

\tag{4-13-3} \begin{align} {{\partial}\over{\partial z}}\hat z &\cdot \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r + {1 \over r} {{\partial T}\over{\partial \phi}}\hat \phi + {{\partial T}\over{\partial z}}\hat z \Big)\\[10pt] &={\hat z} \cdot \Big[{{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\hat r \Big) +{{\partial}\over{\partial z}} \Big({{1}\over{r}}{{\partial T}\over{\partial \phi}} \hat \phi\Big) + {{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\hat z \Big) \Big]\\[10pt] &= \hat z \cdot \Big[ \Big\{ {{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big) \hat r +\Big( {{\partial T}\over{\partial r}}\Big)\color{red}{{\partial \hat r}\over{\partial z}}\color{black} \Big\} + \Big\{{{\partial}\over{\partial z}}\Big({1 \over r}{{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big)\hat \phi + \Big({1 \over r} {{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big) \color{red} {{\partial \hat \phi}\over{\partial z}}\color{black}\Big\}\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~~~+\Big\{{{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) \hat z + \Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) \color{red}{{\partial \hat z}\over{\partial z}}\color{black} \Big\} \Big]\\[10pt] &={{\partial}\over{\partial z}} \Big({{\partial T}\over{\partial r}}\Big)(\hat z \cdot \hat r) + {{\partial}\over{\partial z}}\Big({1 \over r} {{\partial T}\over{\partial \phi}}\Big) (\hat z \cdot \hat \phi) + {{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big) (\hat z \cdot \hat z)\\[10pt] &={{\partial}\over{\partial z}}\Big({{\partial T}\over{\partial z}}\Big)\\[10pt] &={{\partial^2 T}\over{\partial z^2}} \end{align}

위 식에서 빨강색 수식 3개는 (4-6)식에 따라 모두 0입니다.

이제 전개가 모두 끝났으니 (4-13-1), (4-13-2), (4-13-3) 식을 모두 합하면 아래의 관계를 얻습니다.

\tag{4-14} \begin{align} \nabla ^2 T &= \nabla \cdot(\nabla T)\\[10pt] &={{\partial^2 T}\over{\partial r^2}} + {1 \over r}{{\partial T}\over{\partial r}} + {1 \over r^2} {{\partial^2 T}\over{\partial \phi^2}} + {{\partial^2 T}\over{\partial z^2}} \end{align}

그리고 (4-14)식을 조금만 더 형태를 바꾸면 (4-15)식으로 정리할 수 있습니다. 바로 이 식이 원통좌표계에서의 라플라시안이 되겠습니다.

\tag{4-15} \begin{align} \nabla ^2 T &= \nabla \cdot(\nabla T)\\[10pt] &={1 \over r} {{\partial}\over{\partial r}}\Big(r {{\partial T}\over{\partial r}}\Big) + {1 \over {r^2}} {{\partial^2 T}\over{\partial \phi^2}} + {{\partial^2 T}\over{\partial z^2}} \end{align}

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