적분 후 미분, 미분 후 적분

BallPen · 2024-11-16T11:18:33+09:00

어떤 함수를 적분 후 미분하거나, 미분 후 적분한 결과가 서로 같은지 궁금한 때가 있어요. 그래서 일변수함수와 다변수 함수에 대한 적분 후 미분, 미분 후 적분의 결과를 구해 봤어요. 물론 적분할 때 정적분과 부정적분으로 나누어 설명드립니다.

Last Updated on 2024-11-16 by BallPen

함수를 적분 후 미분한 것과 미분 후 적분한 것의 결과가 같은지 알아 봐요.

어떤 함수를 적분 후 미분 또는 미분 후 적분한 결과가 같은지 궁금한 경우가 있어요. 특히 과학이나 공학 분야에서 이런 경우가 간혹 나오게 되는데요.

그 결과는 아래와 같습니다.

\begin{align*} &{d \over dx} \int f(x)dx \ne \int {d \over dx} f(x) dx\\[8pt] &{d \over dx} \int_a^b f(x) dx \ne \int_a^b {d \over dx} f(x)dx\\[8pt] &{\partial \over \partial \alpha} \int f(x, \alpha) dx \ne \int {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx\\[8pt] &\color {blue} {d \over d \alpha}\int_a^b f(x, \alpha) dx = \int_a^b {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx\\ \end{align*}

상수를 적분구간으로 하는 다변수함수에 대해서는 적분과 미분의 순서가 바뀌어도 같다는 것을 알 수 있어요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

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1. 일변수 함수
- 1-1. 부정적분
  - [부정적분 후 미분]
  - [미분 후 부정적분]
- 1-2. 정적분
  - [정적분 후 미분]
  - [미분 후 정적분]
2. 다변수 함수
- 2-1. 부정적분
  - [부정적분 후 편미분]
  - [편미분 후 부정적분]
- 2-2. 정적분
  - [정적분 후 상미분]
  - [편미분 후 정적분]

1. 일변수 함수

변수가 하나인 어떤 함수 $f(x)$ 가 다음과 같이 주어질 때 이 함수의 적분 후 미분, 미분 후 적분을 각각 구해보겠습니다.

\tag{1-1} \begin{align} f(x) = 3x^2 + 2x +8 \end{align}

1-1. 부정적분

[부정적분 후 미분]

먼저 부정적분 후 미분하는 경우입니다. 어떤 함수를 적분 후 미분했으니 원래 함수로 돌아올 것을 기대할 수 있을 거에요.

\tag{1-2} \begin{align} {d \over dx} \int f(x) dx &= {d \over dx} \int(3x^2 + 2x +8) dx\\[8pt] &= {d \over dx} (x^3 + x^2 +8x+c)\\[8pt] &=3x^2 + 2x + 8 \end{align}

여기서 $c$ 는 적분상수를 의미합니다.

그 결과 기대했던대로 위 식과 같이 일변수 함수 $f(x)$ 를 부정적분 후 미분하면 원래 함수 $f(x)$ 로 돌아옵니다.

[미분 후 부정적분]

다음은 함수를 미분 후 부정적분하는 경우입니다.

\tag{1-3} \begin{align} \int{d \over dx} f(x) dx &= \int {d \over dx}(3x^2 + 2x + 8)dx\\[8pt] &=\int (6x + 2)dx\\[8pt] &=3x^2 + 2x +c\\ \end{align}

그 결과 $f(x)$ 를 미분 후 부정적분하면 원래 함수 $f(x)$ 가 나오지 않습니다. 그 이유는 상수항이 임의의 수 $c$ 로 나오기 때문이에요.

만일 $c$ 가 어떤 특정한 값을 갖는지를 도출하고 싶다면 경계조건이 필요합니다. 예를 들어 $x=2$ 에서 (1-3)식의 좌변이 20이 되어야 한다는 조건이 있다면, 이 조건을 만족하는 $c$ 는 4가 되어야 함을 알 수 있어요.

결국 (1-2)식과 (1-3)식처럼 어떤 함수를 부정적분 후 미분한 것과 미분 후 부정적분한 결과는 서로 달라요.

\tag{1-4} {d \over dx} \int f(x)dx \ne \int {d \over dx} f(x) dx

1-2. 정적분

[정적분 후 미분]

함수 $f(x)$ 를 정적분 후 미분하는 경우입니다.

부정적분과 달리 정적분은 결과가 특정 숫자로 나오게 되잖아요. 그래서 이 숫자, 즉 상수를 미분하면 0이 나올 것 같은데요. 정말 그런지 아래 결과를 봐주세요.

\tag{1-4} \begin{align} {d \over dx} \int_0^2 f(x) dx &= {d \over dx} \int_0^2 (3x^2 + 2x +8) dx\\[8pt] &={d \over dx} \Big[x^3 + x^2 + 8x \Big]_0^2\\[8pt] &={d \over dx} (28)\\[8pt] &=0 \end{align}

기대했던 대로 0이 나옴을 알 수 있어요.

[미분 후 정적분]

다음은 함수를 미분 후 정적분하는 경우입니다.

\tag{1-5} \begin{align} \int_0^2 {d \over dx}f(x) dx &= \int_0^2 {d \over dx}(3x^2 + 2x +8) dx\\[8pt] &=\int_0^2 (6x + 2)dx\\[8pt] &=\Big[ {6 {x^2 \over 2 }} + 2x \Big]_0^2\\[8pt] &=16 \end{align}

이번에는 16이 나오는군요.

그 결과 (1-4)식과 (1-5)식처럼 $f(x)$ 를 미분 후 정적분한 값은 정적분 후 미분한 값과 다르다는 것을 알 수 있어요.

\tag{1-6} {d \over dx} \int_a^b f(x) dx \ne \int_a^b {d \over dx} f(x)dx

2. 다변수 함수

변수가 둘인 어떤 함수 $f(x, \alpha)$ 가 다음과 같이 주어질 때 적분 후 미분, 미분 후 적분을 알아보겠습니다.

\tag{2-1} \begin{align} f(x) = 3x^2 + 2x +5 \alpha \end{align}

2-1. 부정적분

[부정적분 후 편미분]

함수 $f(x, \alpha)$ 를 $x$ 로 부정적분 후, $\alpha$ 로 편미분해봐요.

\tag{2-2} \begin{align} {\partial \over \partial \alpha} \int f(x, \alpha) dx &={\partial \over \partial \alpha} \int ({3x^2 + 2x + 5 \alpha}) dx\\[8pt] &={\partial \over \partial \alpha} \Big( x^3 + x^2 + 5 \alpha x + c\Big)\\[8pt] &=5x \end{align}

[편미분 후 부정적분]

이번에는 $\alpha$ 로 편미분 후 $x$ 로 부정적분 해봐요.

\tag{2-3} \begin{align} \int {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx &= \int {\partial \over \partial \alpha}(3x^2 + 2x + 5 \alpha)dx\\[8pt] &=\int 5 dx\\[8pt] &=5x+c \end{align}

결국 (2-2)식과 (2-3)식처럼 어떤 다변수 함수를 부정적분 후 편미분한 것과 편미분 후 부정적분한 결과는 서로 다르다는 것을 알 수 있어요.

\tag{2-4} {\partial \over \partial \alpha} \int f(x, \alpha) dx \ne \int {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx

2-2. 정적분

[정적분 후 상미분]

함수 $f(x, \alpha)$ 를 $x$ 로 정적분 후, $\alpha$ 로 미분해봐요. 이때 다변수 함수 $f(x, \alpha)$ 를 $x$ 로 정적분하면 $\alpha$ 만의 함수가 되므로 편미분이 아닌 상미분을 해주어야 합니다.

\tag{2-5} \begin{align} {d \over d \alpha} \int_0^2 f(x, \alpha) dx &={d \over d \alpha} \int_0^2 ({3x^2 + 2x + 5 \alpha}) dx\\[8pt] &={d \over d \alpha} \Big[ {x^3} + {x^2} + 5 \alpha x \Big]_0^2\\[8pt] &={d \over d \alpha} (12+10 \alpha)\\[8pt] &=10 \end{align}

[편미분 후 정적분]

이번에는 $f(x, \alpha)$ 를 $\alpha$ 로 편미분 후 $x$ 로 정적분하면 다음과 같아요.

\tag{2-6} \begin{align} \int_0^2 {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx &= \int_0^2 {\partial \over \partial \alpha} (3x^2 + 2x + 5 \alpha) dx\\[8pt] &=\int_0^2 5dx\\[8pt] &=\Big[ 5x \Big]_0^2\\[8pt] &=10 \end{align}

놀랍게도 이 경우에는 (2-5)식과 (2-6)식이 서로 같다는 것을 알 수 있어요.

\tag{2-7} \color {blue} {d \over d \alpha}\int_a^b f(x, \alpha) dx = \int_a^b {\partial \over \partial \alpha} f(x, \alpha) dx

다만 여기서 중요한 것은 정적분의 적분 구간이 상수인 경우에만 같아진다는 거에요. 만일 적분구간이 $\alpha$ 의 함수로 주어지면 두 결과 값은 서로 달라질 수 있어요.

이 성질은 라이프니츠 적분 규칙(Leibniz integral rule)을 통해 이해할 수 있는데요. 이 규칙에 따르면 다음의 관계가 성립합니다.

\tag{2-8} \begin{align} &{d \over d \alpha} \Big( \int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} f(x,\alpha) dx \Big)\\[8pt] &~~~~~=f(\alpha, b(\alpha))\cdot{\color{blue}{d \over d \alpha}b(\alpha)} - f(\alpha, a(\alpha))\cdot{\color{blue}{d \over d \alpha}a(\alpha)}+\int_{a(\alpha)}^{b(\alpha)} {\partial \over \partial x} f(x, \alpha) dx \end{align}

그런데 위 식에서 적분구간인 $a(\alpha)$ 와 $b(\alpha)$ 가 상수라면 파랑색 수식 부분이 0이 됨을 알 수 있어요. 상수를 미분하는 것이니 0이 되는 것이죠.

그러면 결국 (2-8)식의 좌변과 우변이 서로 같아야 하는데 그러면 (2-7)식이 된답니다.

라이프니츠 적분 규칙에 대해서는 나중에 기회가 되면 다른 글에서 구체적으로 설명드리겠습니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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