진행파(travelling wave)

Last Updated on 2024-09-21 by BallPen

진행파의 수학적 표현과, 파동의 모양을 알아봐요.

진행파(travelling wave, progressive wave)란 공간을 전파해나가는 파동을 말해요. 마치 길다란 용수철의 한 끝을 손으로 잡고 주기적으로 흔들면 그 파동이 용수철을 따라 진행하는 모습을 상상하면 됩니다.

시간 $t$에 따라 $x$방향을 향하는 진행파는 수학적으로 다음과 같이 표현되는데요. 여기서 $A$는 진폭, $k$는 파수(wave number), $\omega$는 각속도입니다.

그럼 이제부터 위 (D1)식이 어떻게 만들어지고, 진행파의 모양은 어떤지 알아봐요.

1. 정지된 파동

진행파를 알아보기 전에 먼저 정지파를 알아 봐요. 파동이 정지되어 있다고 하면 이상하게 들릴텐데요.

여기서 말하는 정지파는 아래 [그림 1]과 같이 백조가 만든 물결파를 사진으로 찍어 순간적으로 기록된 파동의 모습을 말해요.

그림에서 빨강색 화살표 방향을 $x$방향이라고 했을 때 주기적 물결파의 정지된 파동은 아래 식으로 표현할 수 있습니다.

여기서 $A$는 정지된 파동의 진폭이고, $k$는 파수로서 $k = {{2 \pi}\over{\lambda}}$의 관계를 갖습니다. 또한 $\theta$는 초기위상이라고 해요.

아래 [그림 2]는 정지된 파동의 예시인데요.

그림에서 파랑색과 오렌지색 파동은 아래의 파랑색 수식과 빨강색 수식으로 만든거에요. 이때 $\lambda =2$로 설정하여 파수 $k$가 $\pi$가 됨을 알 수 있어요.

그림과 같이 두 파동은 사인꼴 모양을 갖고 있어 백조가 만드는 물결파와 그 형태가 같음을 알 수 있어요.

이때 중요한 것은 파랑색 파동은 (1-2)식처럼 초기위상 $\theta$가 0이고, 주황색 파동은 ${{\pi}\over{2}}$라는 거에요. 이 초기위상의 차이는 [그림 2]에서 파랑색 파동이 오른쪽으로 ${{\pi}\over{2}}$rad만큼 이동된 효과를 가져와요.

이 초기 위상에 의한 파동의 이동 현상을 꼭 기억해 주세요.

2. 진행파

그럼 이제부터 진행파를 설명드릴게요.

정지파는 [그림 2]처럼 정지된 파동을 의미해요. 그런데 이 파동이 실제 파동처럼 연속적으로 이동하면 그것을 진행파라고 합니다. 그렇다면 수학적으로 어떻게 진행파를 표현할 수 있을까요?

이미 눈치를 채셨겠습니다만, 아주 간단해요. 바로 (1-2)식에서 초기위상 $\theta$를 시간에 따라 연속적으로 바꾸어주면 파동이 마치 왼쪽 또는 오른쪽으로 이동하는 효과를 만들어 낼 수 있어요.

이를 위해서는 $\theta$가 시간의 함수를 가지면 되는데요. 이때 사용할 수 있는 것이 각속도 개념입니다. 각속도는 다음과 같이 정의됩니다.

위 식을 (1-1)식에 대입하면 다음과 같아져요.

바로 위 식이 진행파를 나타내는 식입니다.

2-1. 오른쪽으로 이동하는 진행파

진행파 공식인 (2-2)식에 적당한 값들을 대입한 후 시간을 연속적으로 바꾸면 오른쪽으로 이동하는 진행파를 볼 수 있어요.

예를 들어 다음의 식을 매스매티카에 입력하고 시간을 연속적으로 바꾸어 봤어요.

아래 유튜브 동영상이 그 결과입니다.

보시는 바와 같이 파동이 오른쪽으로 이동해 나가는 것을 볼 수 있어요. 그래서 진행파 입니다.

2-2. 왼쪽으로 이동하는 진행파

이번에는 왼쪽으로 진행하는 진행파를 만들어 봐요.

이것은 아주 간단한데요. (2-2)식에서 $\omega t$ 앞의 부호를 바꾸어 주며 됩니다.

예를 들어 아래의 공식을 매스매티카로 입력한 후 실행해 봤어요.

그 결과가 아래의 유튜브 동영상입니다.

이번에는 파동이 왼쪽으로 이동해 나가는 것을 볼 수 있어요.