크로네커 델타 (Kronecker delta)

BallPen · 2024-12-15T14:00:16+09:00

크로네커 델타(Kronecker delta)란 정수 값을 갖는 두 변수가 동일한 값을 가지면 1, 서로 다른 값을 가지면 0이 되는 함수를 말합니다. 이번 글에서는 크로네커 델타의 성질과 그 사용 예시를 알아보겠습니다.

Last Updated on 2024-12-15 by BallPen

함수값이 1 또는 0이 되는 크로네커 델타를 알아 봐요.

크로네커 델타(Kronecker delta)의 성질과 그 적용 예시를 이번 글에서 알아 봐요.

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크로네커 델타는 레오폴드 크로네커(Leopold Kronecker, 독일, 1823-1891)의 이름에서 유래되었어요.

크로네커 델타 $\delta_{ij}$ 의 성질은 아래와 같이 정수로 정의되는 두 변수 $i$ 와 $j$ 가 같은 값을 가지면 1, 다른 값을 가지면 0이 되는 함수를 말합니다.

\tag{1} \delta _ {ij} = \left\{ \begin{align*} 1 ~~~~~~~~~~i=j\\ 0~~~~~~~~~~i \ne j \end{align*} \right.

예를 들어 $\delta_{11}=1$ , $\delta_{21}=0$ , $\delta_{32}=0$ , $\delta_{33}=1$ 이 되는 방식이죠.

크로네커 델타의 성질이 사용되는 대표적인 사례는 다음과 같아요.

\tag{2} \sum_{n=1}^{\infty} G_n \delta_{mn} = G_m

즉, $G_n \delta_{mn}$ 을 모두 합하면 $m$ 번째 $G_m$ 를 구할 수 있어요.

예를 들어 $G_n=2n$ 이고 크로네커 델타가 $\delta_{3n}$ 으로 주어졌다면 다음과 같이 $G_3$ 의 값이 얻어지는 것과 같죠.

\tag{3} \begin{align} \sum_{n=1}^{5} G_{n}\delta_{3n} &= G_1 \delta_{31} + G_2 \delta_{32}+G_3 \delta_{33}+G_4 \delta_{34}+G_5 \delta_{35}\\[10pt] &=G_3 \end{align}

결국 위 식의 결과는 $G_3 = 2 \times 3 = 6$ 이 됩니다.

물론 (2)식에서 $G_m$ 을 $G_n$ 으로 표기해도 상관없어요. 왜냐면 $n=m$ 인 경우에만 (2)식이 성립하니까요.

예를 들어 아래의 식은 삼각함수의 직교성에 따라 다음 관계가 성립합니다.

\tag{4} \int_0^a \Big(\sin {{n \pi}\over{a}} y \sin {{m\pi}\over{a}}y\Big) ~dy = \left\{ \begin{align*} &0~~~~~~~~~~ n \ne m\\[8pt] &{{a} \over {2}}~~~~~~~~~~ n=m\\ \end{align*} \right.

윗 식에서 $n$ 과 $m$ 은 정수인데요. 그 정수가 서로 다른 값을 가지면 적분 결과가 0, 같은 값을 가지면 적분결과가 ${a \over 2}$ 가 됩니다.

(4)식을 크로넥커 델타 $\delta_{nm}$ 기호를 사용하면 다음과 같이 간단히 표기할 수 있어요.

\tag{5} \int_0^a \Big(\sin {{n \pi}\over{a}} y \sin {{m\pi}\over{a}}y\Big) ~dy = {a \over 2} \delta_{nm}

마지막으로 (5)식을 $\delta_{nm}$ 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{6} \delta_{nm} = {2 \over a} \int_0^a \Big(\sin {{n \pi}\over{a}} y \sin {{m\pi}\over{a}}y\Big) ~dy

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