포인팅 벡터(Poynting vector)

BallPen · 2026-05-11T16:34:16+09:00

포인팅 벡터(poynting vector)는 단위면적당 단위시간당 통과하는 에너지로 정의됩니다. 식으로 표현하면 전기장과 자기장세기의 벡터곱으로 주어져요. 포인팅 벡터는 전기장 진동수의 두배로 진동하며, 포인팅 벡터의 평균이 사람이 느끼는 세기입니다.

Last Updated on 2026-05-11 by BallPen

전자기파의 에너지 흐름률인 포인팅 벡터에 대해 알아 봐요.

포인팅 벡터(Poynting vector)란 전자기파의 에너지 흐름율로서, 단위면적당 일률을 말해요.

이 글에서는 포인팅 벡터의 개념에 대해 구체적으로 알아 보도록 해요.

Contents

포인팅 벡터는 1884년 영국의 물리학자 존 헨리 포인팅(John Henry Poynting)이 처음 제안했습니다.

방향을 ‘가리킨다’라는 뜻의 영단어 ‘pointing’에서 온 것이 아니라, 이 물리량을 발견한 학자의 이름에서 유래한 용어에요.

포인팅 벡터 $\vec S$ 는 전자기파가 공간을 통해 에너지를 전달하는 방향과 크기(단위면적당 일률)를 나타내는 물리량입니다. 수식으로는 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{1} \vec S = \vec E \times \vec H

여기서 $\vec E$ 는 전자기파에서의 전기장을 $\vec H$ 는 자기장세기(magnetic field intensity)를 뜻해요.

따라서 (1)식을 자기장 $\vec B$ 로 표기를 바꾸고자 한다면, 진공중에서 $\vec B = \mu_0 \vec H$ 의 관계가 있으므로 다음과 같이 표현될 수 있습니다.

\tag{2} \vec S = {{1}\over{\mu_0}} \vec E \times \vec B

포인팅 벡터의 단위는 $\rm W/m^2$ 에요. 파동의 세기 단위와 같죠.

즉, 단위면적 $A$ 당 일률 $P$ 로서 단위 면적의 표면을 통과하는 총에너지를 경과시간으로 나눈 값이에요.

그래서 포인팅 벡터의 크기를 식으로 쓰면 아래와 같아요. 이때 전기장과 자기장은 [그림 1]과 같이 설로 수직하다고 하겠습니다.

\tag{3} \begin{aligned} S = {P \over A} &= {{Energy}\over{At}}\\[10pt] &={{EB}\over{\mu_0}} \end{aligned}

한편 $E=cB$ 이므로 위 (3)식은 다음과 같습니다.

\tag{4} \begin{align} S = {{E^2}\over{\mu_0 c}} = {{cB^2}\over{\mu_0}} \end{align}

포인팅 벡터에 대한 위 (4)식은 임의의 순간 동안 단위 면적을 통해 전달되는 에너지 비율은 그 순간의 $E$ 와 $B$ 의 값으로 나타내어집니다.

결국 포인팅 벡터 $S$ 는 시간에 의존하여 크기가 계속 변하며 앞으로 진행하게 됩니다.

(2)식과 같이 포인팅 벡터는 전기장과 자기장으로 주어지는 두 파동의 곱으로 주어집니다. 이를 각각 식으로 나타내면 다음과 같아요.

\tag{5} E(t) =E_0 \cos (\omega t)

\tag{6} B(t) = B_0 \cos (\omega t)

포인팅 벡터는 이 둘의 외적으로 연산되므로 다음과 같이 표현됩니다.

\tag{7} \begin{aligned} S(t) &= {1 \over \mu_0} \Big(E(t) \times B(t)\Big)\\[8pt] &={1 \over \mu_0} E_0 B_0\cos^2 (\omega t) \end{aligned}

그리고 윗 식의 마지막 줄에 두배각 공식을 적용하면 다음과 같아요.

\tag{8} \begin{aligned} S(t) &= {1 \over \mu_0} E_0 B_0 \Big( {{1+\cos (2 \omega t)}\over{2}}\Big)\\[8pt] &={1 \over 2} {{E_0 B_0}\over{\mu_0}} + {1 \over 2} {{E_0 B_0 \cos(2 \omega t)}\over{\mu_0}} \end{aligned}

결국 포인팅 벡터는 시간에 의존하여 크기가 계속 변하게 되는데, 위 (8)식과 같이 첫째항의 크기에 둘째항의 변동이 추가된 형태임을 알 수 있어요.

또한 포인팅 벡터의 진동수는 전기장과 자기장보다 2배 더 크다는 것을 알 수 있어요. 이유는 코사인 제곱이 되었기 때문이에요.

현실 세계에서 (8)식으로 주어지는 포인팅 벡터의 변화를 눈으로 관찰하는 것은 불가능할 것에요. 왜냐면 가시광선의 진동수는 $10^{14} \rm Hz$ 정도로 매우 빠른데다가 포인팅벡터의 진동수는 이 진동수의 2배나 되기 때문이죠.

그래서 순간 순간 변하는 값 대신, 평균값을 구해 이를 전자기파의 세기(인간이 느끼는 감각)로 나타냅니다. 즉(8)식의 한 주기에 걸친 평균을 구하면 되는데요.

(8)식의 두번째 항의 평균은 0이되어 버려 시간 평균 포인팅 벡터, 또는 전자기파의 세기는 다음과 같습니다.

\tag{9} I=S_{avg} = {1 \over 2} {{E_0 B_0}\over{\mu_0}} = {{1}\over{2} }{{E_0^2}\over{\mu_0}c} = {1 \over 2} {{cB_0^2}\over{\mu_0}}

결국 전자기파의 세기는 전기장 최대값 $E_0$ 의 제곱에 비례함을 알 수 있어요.

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