비보존력 (Non-conservative force)

BallPen · 2023-06-11T17:21:56+09:00

비보존력(non-conservative force)이란 닫힌 경로에서 한 일이 0이 되지 않는 힘을 말합니다. 비보존력이 작용하면 위치에너지를 정의할 수 없어요. 그래서 역학적 에너지 보존 법칙이 성립하지 않고 비보존력이 한 일만큼 총 에너지가 변합니다.

Last Updated on 2023-06-11 by BallPen

비보존력이 한 일과 역학적 에너지 사이의 관계를 알아봅니다.

비보존력(Non-conservative force)이란 닫힌 경로를 따라 한 일이 0이 되지 않는 힘을 말합니다.

바꾸어 말하면 힘이 한 일이 시작점과 끝점에만 의존하면 보존력, 그렇지 않고 이동 경로에 의존하는 경우 그 힘을 비보존력이라고 합니다.

따라서 보존력이 작용하는 경우 운동에너지와 위치에너지의 합인 역학적 에너지가 보존되지만, 비보존력이 작용하는 경우 역학적 에너지는 보존되지 않습니다.

어떤 힘 $\vec F^{\prime}$ 이 비보존력이라면 다음의 세가지 요건이 성립합니다.

\tag{A-1} \bold{ \color{blue} \oint \vec F^{\prime} \cdot d \vec r \neq 0}

\tag{A-2} \bold{\color{blue} \nabla \times \vec F^{\prime} \neq 0 }

\tag{A-3} \bold{\color{blue} \vec F^{\prime} \neq -\nabla V }

지난 글에서 보존력의 특성과 보존력인지의 여부를 판단하는 방법을 설명드렸는데요.

이번 글에서는 비보존력이 작용할 때 일-에너지 정리가 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

Contents

1. 보존력 그리고 역학적 에너지
- 1-1. 보존력의 요건
- 1-2. 보존력에 의한 역학적 에너지 보존
2. 비보존력 그리고 역학적 에너지
3. 비보존력, 보존력이 동시에 존재할 때의 역학적 에너지
4. 관련 예제
- 4-1. 보존력
- 4-2. 비보존력

1. 보존력 그리고 역학적 에너지

비보존력이 한 일과 역학적 에너지 사이의 관계를 알아보기 전에, 보존력의 요건과 보존력에 의한 역학적 에너지 보존 식이 어떻게 만들어지는지 잠시 복습하도록 하겠습니다.

1-1. 보존력의 요건

지난 글에서 설명드린 바와 같이 힘 $\vec F$ 가 보존력이라면 다음의 요건을 만족합니다.

즉, 힘 $\vec F$ 가 닫힌 경로를 따라 한 일은 0입니다. 또한 그 힘의 회전(curl)도 0이죠. 아울러 위치에너지 $V$ 를 정의할 수 있습니다.

\tag{1-1} { \color{b} \oint \vec F \cdot d \vec r = 0}

\tag{1-2} {\color{b} \nabla \times \vec F = 0 }

\tag{1-3} {\color{b} \vec F = -\nabla V }

1-2. 보존력에 의한 역학적 에너지 보존

보존력인 힘 $\vec F$ 가 물체에 작용하여 물체를 $A$ 점에서 $B$ 점으로 이동시켰을 때 이 힘이 한 일은 다음과 같습니다.

\tag{1-4} \begin{align} \int_A^B \vec F \cdot d \vec r &= -\int_A^B \nabla V \cdot d \vec r\\ &=- \int_A^B \Big({{\partial V}\over{\partial x}}\hat x + {{\partial V}\over{\partial y}}\hat y +{{\partial V}\over{\partial z}} \hat z \Big) \cdot \Big( dx \hat x + dy \hat y + dz \hat z \Big)\\ &=-\Big(\int_{A_x}^{B_x}{{\partial V}\over{\partial x}} dx + \int_{A_y}^{B_y}{{\partial V}\over{\partial y}} dy+ \int_{A_z}^{B_z}{{\partial V}\over{\partial z}} dz \Big)\\ &=-\int_A^B dV\\ &=-\Big(V_B - V_A\Big)\\ &=V_A - V_B \end{align}

이때 (1-3)식의 관계가 전개과정에서 활용되었습니다. 아울러 $\nabla V$ 와 $d \vec r$ 사이에는 스칼라곱(또는 내적)의 계산법이 적용되었어요.

또한 다음의 완전미분식이 적용되었습니다. 이것은 위치에너지의 미소 변화가 $x,~y,~z$ 방향의 미소 변화에 비례하며, 그 비례 상수가 각각의 편도함수가 되는 형태입니다.

\tag{1-5} dV = {{\partial V}\over{\partial x}}dx +{{\partial V}\over{\partial y}}dy + {{\partial V}\over{\partial z}}dz

(1-4)식처럼 보존력이 한 일은 위치에너지의 변화량에 $-1$ 을 곱한 $V_A - V_B$ 가 성립합니다.

아울러 보존력이 한 일은 일-운동에너지 정리에 따라 $B$ 점과 $A$ 점에서의 운동에너지 변화량과 같습니다. 이 관계를 쓰면 다음과 같아요.

\tag{1-6} \begin{align} \int_A^B \vec F \cdot d \vec r &= \Delta T \\ &= T_B - T_A \end{align}

결국 (1-4)식과 (1-6)식의 좌변은 서로 같으므로 우변도 서로 같아야만 합니다. 따라서 아래 (1-8)식의 역학적 에너지 보존 법칙이 성립합니다.

\tag{1-7} \begin{align} V_A - V_B &= T_B - T_A\\ -(V_B - V_A) &= T_B - T_A\\ -\Delta V &= \Delta T \end{align}

\tag{1-8} T_A + V_A = T_B + V_B

(1-8)식은 운동에너지가 증가하면 위치에너지는 감소하고, 운동에너지가 감소하면 위치에너지가 증가해야함을 나타냅니다. 그래야 두 에너지의 합이 일정하게 되니까요. 결국 보존력이 작용하면 위치와 관계없이 운동에너지 $T$ 와 위치에너지 $V$ 의 합에 대한 변화량은 0이 됩니다.

\tag{1-9} \Delta (T+V) =0

지금까지 보존력이 작용할 때 역학적 에너지 보존 법칙이 성립함을 설명드렸습니다. 그렇다면 비보존력이 작용할 때에도 역학적 에너지는 보존이 될까요?

2. 비보존력 그리고 역학적 에너지

앞에서 말씀드렸듯이 비보존력이 일을 하면 경로에 의존하여 그 크기가 변합니다.

바꾸어 말하면 물체의 처음 위치와 나중 위치가 서로 같을지라도 그 중간의 이동 경로가 서로 다르면 한 일의 크기가 다릅니다. 따라서 임의 위치마다 위치에너지를 고유하게 정하는 것이 불가능합니다.

아래 [그림 1]은 비보존력이 작용하는 상황에서 어떤 물체를 $A$ 점으로부터 $B$ 점으로 이동시키는 두가지 경로를 나타냅니다.

[그림 1] 비보존력 작용 상황에서 어떤 물체가 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">A</span>점을 출발하여 <span class="katex-eq" data-katex-display="false">B</span>점으로 이동할 때 경로1과 경로2를 따라 한 일은 서로 다릅니다. — [그림 1] 비보존력 작용 상황에서 어떤 물체가 $A$ 점을 출발하여 $B$ 점으로 이동할 때 경로1과 경로2를 따라 한 일은 서로 다릅니다.

물체의 출발점과 도착점은 두 경로가 모두 동일하지만 비보존력이 한 일의 크기는 서로 다릅니다.

예를 들어 평면위의 $A$ 점에서 어떤 물체를 속력 $v$ 의 빠르기로 두번 각각 밀쳤더니 한번은 경로1을 따라 이동하였고 다른 한번은 경로2를 따라 이동했다고 상상해보세요.

그런데 물체가 이동하는 과정중에 물체와 지면사이에 마찰력이 작용한다면 물체의 빠르기는 점점 느려질거에요. 따라서 이동거리가 상대적으로 짧은 경로1을 따라 이동한 경우가 경로2의 경우보다 $B$ 점에서의 속력이 더 빠를 것을 기대할 수 있어요.

이것은 $A$ 점에서 동일한 운동에너지로 밀쳐진 물체가 마찰력에 의해 $B$ 점에서 서로 다른 운동에너지를 갖게 된다는 것을 의미합니다.

이것을 다르게 표현하면 물체가 이동하는 과정중에 마찰력이 한 일이 경로에 따라 서로 다르다는 것을 뜻해요. 그래서 마찰력은 대표적인 비보존력입니다.

같은 방식으로 [그림 1]에 표기한 것처럼 두 경로가 교차되는 지점에서의 물체의 운동에너지도 서로 다를거에요. 위치는 동일한데 경로에 따라 운동에너지가 서로 다르다는 것은 해당 위치 고유의 위치에너지를 정할 수 없다는 의미입니다.

따라서 비보존력이 작용하는 경우 위치에너지와 운동에너지의 합이 일정하게 유지되는 역학적 에너지 보존법칙은 성립하지 않습니다.

3. 비보존력, 보존력이 동시에 존재할 때의 역학적 에너지

지금까지 보존력이 작용하는 경우와 비보존력이 작용하는 경우를 나누어 설명드렸습니다.

이를 통해 보존력이 작용하는 경우 역학적 에너지는 보존되며, 비보존력이 작용하는 경우 역학적 에너지는 보존되지 않음을 알게되었어요.

이번에는 보다 현실적인 상황으로 보존력과 비보존력이 동시에 존재할 때 역학적 에너지 관계가 어떻게 표현되는지 알아보겠습니다.

예를 들어 높은 곳에서 물체가 떨어지고 있어요. 이때 보존력인 중력과, 비보존력인 공기저항력이 동시에 작용하는 경우를 상상해보세요.

이때 보존력인 중력을 $\vec F$ , 비보존력인 공기저항력을 $\vec F^{\prime}$ 으로 기호를 붙이겠습니다.

두 힘이 한 미소 일에 대한 일-에너지정리를 적용하면 아래와 같습니다.

\tag{3-1} \begin{align} ( \vec F + \vec F^{\prime} ) \cdot d \vec r &= \color{blue}(\vec F \cdot d\vec r) + (\vec F^{\prime} \cdot d \vec r) =dT\\ \end{align}

이때 위 식의 가운데 항에서 $(\vec F \cdot d \vec r)$ 은 보존력이 한 일이며, 오른쪽 $(\vec F^{\prime} \cdot d \vec r )$ 는 비보존력이 한 일을 나타냅니다. 또한 $(\vec F \cdot d \vec r)$ 은 (1-4)식에서 $-dV$ 와 같다는 것을 알 수 있어요.

그래서 (3-1)식에서 파랑색 수식 부분을 비보존력이 한 일에 대해 정리하고 양변을 적분하면 다음과 같아요.

\tag{3-2} \begin{align} &-dV + (\vec F^{\prime} \cdot d \vec r) = dT\\[11pt] \end{align}

\tag{3-3} \begin{align} \int_A^B \vec F^{\prime} \cdot d \vec r &= \int_A^BdT + \int_A^BdV\\[11pt] &=(T_B - T_A) + (V_B - V_A)\\[11pt] &=\Delta T + \Delta V\\[11pt] \end{align}

보존력이 일을 하면 (1-7)식에 따라 $\Delta T + \Delta V$ 는 0이 됩니다. 그러나 위 (3-3)식과 같이 비보존력이 일을 하면 $\Delta T + \Delta V$ 는 비보존력이 한 일 만큼 변하게 됩니다.

이것은 어느 물체에 보존력과 비보존력이 동시에 작용하는 경우 그 물체의 총 역학적 에너지는 비보존력이 한 일만큼 달라짐을 뜻해요.

4. 관련 예제

4-1. 보존력

(예제) 높이 $h=10.0~\mathrm{m}$ 에서 질량 $m=3.00~\mathrm{kg}$ 인 물체가 $v_0 = 0~\mathrm{m/s}$ 의 정지상태로부터 자유낙하한다면, 지표면으로부터 $h^{\prime} = 3.00~\mathrm{m}$ 인 지점을 통과할 때 물체가 갖는 속력 $v$ 는 얼마인가? 단 물체가 낙하하는 동안 공기저항력은 무시한다.

물체는 보존력인 중력에 의해 자유낙하합니다. 따라서 (1-8)식의 역학적 에너지 보존법칙이 성립해요. 이 법칙을 그대로 적용하면 문제를 풀 수 있어요.

\tag{4-1} T_A + V_A = T_B + V_B

여기서 아래첨자 $A$ 는 높이 10.0 m 인 지점으로 정하고, 아래첨자 $B$ 는 높이 3.00 m인 지점으로 정하겠습니다.

그러면 (4-1)식을 정리하고 답을 구하면 아래와 같습니다.

\tag{4-2} \begin{align} {1 \over 2} mv_0^2 + mgh &= {1 \over 2} mv^2 + mgh^\prime\\[11pt] {1 \over 2} mv^2 &= {1 \over 2} mv_0^2 + mg(h-h^\prime)\\[11pt] v^2 &= v_0^2 + 2g(h-h^{\prime})\\[11pt] v&= \sqrt{v_0^2 + 2g(h-h^\prime)}\\[11pt] &=\sqrt{0+2\times9.8~\mathrm{m/s^2}\times(10.0~\mathrm{m} - 3.00~\mathrm{m})}\\[11pt] &=11.7~\mathrm{m/s} \end{align}

4-2. 비보존력

(예제) 평평한 바닥 위에 정지상태로 있던 질량 $m=6.00~\mathrm{kg}$ 의 물체에 $\vec F = 12.0~\mathrm{N}$ 의 일정한 힘이 오른쪽 수평방향으로 작용한다. 물체와 바닥사이에 작용하는 마찰력이 $\vec F^{\prime} = 8.82~\mathrm{N}$ 이라면 물체가 $d=3.00~\mathrm{ m}$ 이동한 후의 물체의 속력을 구하여라.

이 문제에서 물체는 수평방향으로 작용하는 일정한 힘을 받게 되는데요. 그 힘을 중력으로 간주하면 수평방향으로 자유낙하하는 물체의 운동으로 볼 수 있습니다.

그러므로 물체에 작용하는 12.0 N의 힘은 보존력입니다. 그러나 마찰력은 대표적인 비보존력이에요.

결국 이 문제는 보존력과 비보존력이 동시에 물체에 작용할 때의 상황인거에요. 따라서 (3-3)식을 적용하면 문제를 풀수 있습니다.

\tag{4-3} \begin{align} \int_A^B \vec F^{\prime} \cdot d \vec r &=\Delta T + \Delta V\\[11pt] \end{align}

이 식에서 좌변은 비보존력이 한 일이고, 우변은 운동에너지 변화량과 위치에너지 변화량의 합으로 주어지는데요.

여기서 중요한것은 보존력이던 비보존력이던 힘이 일을하면 운동에너지 변화량 $\Delta T$ 가 나타난다는 거에요. 이와 달리 위치에너지는 앞에서 이야기한것처럼 보존력만이 만들어낼 수 있습니다.

그러므로 (4-3)식에서 위치에너지 변화량 $\Delta V$ 인 $V_B - V_A$ 는 (1-4)식을 적용하여 보존력이 한 일로 바꾸어 쓸 수 있어요. 바로 아래식 처럼요.

\tag{4-4} \begin{align} \int_A^B \vec F^{\prime} \cdot d \vec r &=\Delta T - \int_A^B \vec F \cdot d \vec r\\[11pt] \end{align}

이때 물체가 $d=3.00~\mathrm{ m}$ 이동하는 동안 보존력 $\vec F$ 와 비보존력 $\vec F^{\prime}$ 는 일정하게 작용하므로 (4-4)식에서 $F$ 와 $F^{\prime}$ 은 적분기호 밖으로 나갈 수 있어 다음과 같이 표현할 수 있어요.

\tag{4-5} \begin{align} -F^{\prime} d=\Big({1 \over 2}mv^2 - {1 \over2} mv_0^2\Big) -Fd\\[11pt] \end{align}

이때 (4-5)식의 좌변에 붙은 음의 부호는 마찰력 $\vec F^{\prime}$ 의 방향과 물체가 움직인 $d\vec r$ 방향이 서로 반대방향이므로 부여된 거에요. 또한 이 식에서 물체는 최초 정지해 있었으므로 $v_0$ 는 0이 됩니다.

(4-5)식을 $v$ 에 대해 정리하면 다음과 같습니다.

\tag{4-6} {1 \over 2} mv^2 = (F - F^{\prime})d

그리고 $v$ 를 구하면 다음과 같습니다.

\tag{4-7} \begin{align} v&=\sqrt{{2 \over m} (F-F^{\prime})d}\\[11pt] &=\sqrt{{{2}\over {6.00~\mathrm{kg}}}(12.0~\mathrm{N}-8.82~\mathrm{N})(3.00~\mathrm{m})}\\[11pt] &=1.78~\mathrm{m/s} \end{align}

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