Last Updated on 2024-01-06 by BallPen
신호 분석에 자주 사용하는 푸리에 급수의 전개 원리를 알아보겠습니다.
이번 글에서는 푸리에 급수(Fourier series) 전개를 다룹니다.
푸리에 급수는 어느 주기 함수를 sin \sin sin cos \cos cos
푸리에 급수는 과학 측정이나 신호처리 분야에서 많이 사용되는데요. 예를 들어 어느 신호에 잡음이 심하게 섞여 원래 신호의 주파수 성분을 알아보기 힘들때가 있어요. 그때 원래 신호의 주파수 성분을 찾아주는 도구로서 푸리에 급수는 유용하게 사용됩니다.
아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 테일러 급수 복습 푸리에 급수로 들어가기 전에 먼저 테일러 급수에 대해 간단히 복습하겠습니다.
무한히 미분가능한 어떤 함수 f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x ) f(x) f ( x )
f ( x ) = f ( 0 ) + x f ′ ( 0 ) + x 2 2 ! f ′ ′ ( 0 ) + x 3 3 ! f ′ ′ ′ ( 0 ) + ⋯ = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ (2) \tag{2}
\begin{align}
f(x) &= f(0) + xf^\prime (0) + {{x^2}\over{2! }}f^{\prime \prime}(0) + {{x^3}\over{3!}}f^{\prime \prime \prime}(0) + \cdots\\
&=c_0 + c_1 x + c_2 x^2 + c_3 x^3 + \cdots
\end{align} f ( x ) = f ( 0 ) + x f ′ ( 0 ) + 2 ! x 2 f ′′ ( 0 ) + 3 ! x 3 f ′′′ ( 0 ) + ⋯ = c 0 + c 1 x + c 2 x 2 + c 3 x 3 + ⋯ ( 2 ) 이와 같이 어떤 함수를 급수의 형식으로 표현하는 것을 테일러급수 라고 합니다.
이때 테일러급수로 만들어진 항의 수를 더 많이 사용할수록 원점근처에서 근사 함수가 원래함수 f ( x ) f(x) f ( x ) 이전 글 에서 소개한 바 있어요.
이제부터 설명할 푸리에 급수도 테일러 급수와 개념적으로 비슷합니다.
2. 푸리에 급수 (Fourier Series) 2-1. 주기함수 주기적 신호란 일정 모양의 파형이 거리 또는 시간에 따라 주기적으로 반복되는 신호를 말합니다. 예를 들어 아래 [그림1]에 있는 f ( x ) = sin ( x ) f(x)=\sin (x) f ( x ) = sin ( x ) T = 2 π T=2\pi T = 2 π
[그림 1] sin \sin sin [그림 1]에서와 같이 주기 함수는 어느 x x x f ( x ) f(x) f ( x ) x + 2 π x+2\pi x + 2 π f ( x + 2 π ) f(x+2\pi) f ( x + 2 π )
f ( x ) = f ( x + 2 π ) (1) \tag{1}
\begin{align}
f(x) &=f(x+2 \pi)
\end{align} f ( x ) = f ( x + 2 π ) ( 1 ) 예를 들어 [그림 1]에서 x = 2.50 x=2.50 x = 2.50 f ( x ) = sin ( 2.50 ) f(x) = \sin (2.50) f ( x ) = sin ( 2.50 ) ( x + 2 π ) = ( 2.50 + 2 π ) = 8.78 (x+2 \pi)=(2.50+2\pi)=8.78 ( x + 2 π ) = ( 2.50 + 2 π ) = 8.78 f ( x + 2 π ) = sin ( 8.78 ) f(x+2 \pi) = \sin (8.78) f ( x + 2 π ) = sin ( 8.78 ) f ( x ) f(x) f ( x ) f ( x + 2 π ) f(x+2 \pi) f ( x + 2 π )
2-2. 푸리에 급수 푸리에 급수의 기본 개념은 주기가 T 0 T_0 T 0 f ( t ) f(t) f ( t ) sin \sin sin cos \cos cos
이때 변수를 거리 x x x t t t
이것을 식으로 표현하면 아래와 같아요. 이것을 푸리에 급수라고 합니다.
f ( t ) = ⋯ + c ( − 2 ) e i ( − 2 ) ω o t + c ( − 1 ) e i ( − 1 ) ω 0 t + c 0 + c 1 e i ( 1 ) ω 0 t + c 2 e i ( 2 ) ω 0 t + ⋯ (3) \tag{3}
f(t) = \cdots + c_{(-2)} e^{i(-2)\omega_o t} + c_{(-1)} e^{i(-1)\omega_0 t} + \color{black}{ c_0 } \color{black}+ c_1e^{i(1)\omega_0 t} + c_2 e^{i(2)\omega_0 t} + \cdots f ( t ) = ⋯ + c ( − 2 ) e i ( − 2 ) ω o t + c ( − 1 ) e i ( − 1 ) ω 0 t + c 0 + c 1 e i ( 1 ) ω 0 t + c 2 e i ( 2 ) ω 0 t + ⋯ ( 3 ) 여기서 ω 0 = 2 π f 0 = 2 π T \omega_0 = 2 \pi f_0 = {{2\pi}\over{T}} ω 0 = 2 π f 0 = T 2 π ω 0 \omega_0 ω 0 f 0 f_0 f 0
한편 위에서 말씀드리기를 푸리에 급수는 sin \sin sin cos \cos cos sin \sin sin cos \cos cos
이를 보이게 하기 위해서는 아래의 오일러 공식 을 (3)식의 각 항에 적용하면 됩니다.
e i θ = cos θ + i sin θ (4) \tag{4}
e^{i \theta} = \cos {\theta} + i \sin {\theta} e i θ = cos θ + i sin θ ( 4 ) 또한 (3)식을 ∑ \sum ∑ sin \sin sin cos \cos cos
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω 0 t = ∑ n = − ∞ ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) (5) \tag{5}
\begin{align}
f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t}\\
&=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \big( \cos{n \omega_0 t + i\sin{n\omega_0 t}} \big)
\end{align} f ( t ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e in ω 0 t = n = − ∞ ∑ ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) ( 5 ) (5)식에서 n n n c n c_n c n
2-3. 푸리에 계수 위에서 말씀드렸듯이 문제는 푸리에 계수 c n c_n c n
푸리에 계수를 구하기 위해 f ( t ) f(t) f ( t ) e i r ω 0 t e^{ir\omega_0 t} e i r ω 0 t r r r
이때 내적이란 벡터와 벡터를 곱셈하는 방법 중의 하나를 말하는데요. 함수의 내적에 대한 내용을 잠시만 복습해 보겠습니다. 이 부분이 어려운 분은 무시하고 넘어가도 상관없습니다.
[함수의 내적] 어느 두 벡터가 있을때 내적 은 다음과 같이 표현됩니다.
A ⃗ ⋅ B ⃗ = ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ cos θ (R-1) \tag{R-1}
\vec{A} \cdot \vec{B} = |\vec{A}||\vec{B}| \cos \theta A ⋅ B = ∣ A ∣∣ B ∣ cos θ ( R-1 ) 그러므로 두 벡터의 사이각 θ \theta θ 0 ∘ 0^{\circ} 0 ∘ ∣ A ⃗ ∣ ∣ B ⃗ ∣ |\vec{A}||\vec{B}| ∣ A ∣∣ B ∣ θ \theta θ 9 0 ∘ 90^{\circ} 9 0 ∘
그래서 임의의 어느 두 벡터가 직교하는지의 여부를 판단하는데 내적을 활용할 수가 있어요.
이와 동일하게 복소함수로 주어지는 어떤 벡터함수 f 1 f_1 f 1 f 2 f_2 f 2
( f 1 ⋅ f 2 ) = ∫ a b f 1 ( x ) f 2 ∗ ( x ) d x (R-2) \tag{R-2}
\begin{align}
(f_1 \cdot f_2) = \int_a^b f_1(x)f_2^* (x)dx
\end{align} ( f 1 ⋅ f 2 ) = ∫ a b f 1 ( x ) f 2 ∗ ( x ) d x ( R-2 ) 이때 한 함수의 켤레복소수를 곱한 후 적분하게 되는데요. 그 이유는 내적의 결과가 실수가 되도록 하기 위한 것입니다.
예를 들어 a x ^ + b y ^ a\hat{x} + b\hat{y} a x ^ + b y ^ ( a , b ) (a,b) ( a , b ) ( a , b ) ⋅ ( a , b ) (a,b)\cdot(a,b) ( a , b ) ⋅ ( a , b ) a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2 ( a + i b ) ⋅ ( a + i b ) (a+ib)\cdot(a+ib) ( a + ib ) ⋅ ( a + ib ) ( a + i b ) ( a − i b ) (a+ib)(a-ib ) ( a + ib ) ( a − ib ) a 2 + b 2 a^2 + b^2 a 2 + b 2
한편 두 벡터가 직교함수인 경우 아래의 식과 같이 0이 됩니다.
( f 1 ⋅ f 2 ) = ∫ a b f 1 ( x ) f 2 ∗ ( x ) d x = 0 (R-3) \tag{R-3}
\begin{align}
(f_1 \cdot f_2) = \int_a^b f_1(x)f_2^* (x)dx =0
\end{align} ( f 1 ⋅ f 2 ) = ∫ a b f 1 ( x ) f 2 ∗ ( x ) d x = 0 ( R-3 ) 왜냐면 두 벡터의 사이각이 9 0 ∘ 90^{\circ} 9 0 ∘
[계속] 계속 진행하겠습니다.
f ( t ) f(t) f ( t ) e i r ω 0 t e^{ir\omega_0 t} e i r ω 0 t
그리고 내적 한다는 것은 (R-2)식에서와 같이 켤레복소수를 곱한 후 한 주기 동안 적분한다는 것을 기억하세요. 주기적으로 반복되는 함수이므로 한 주기만 적분해도 전체 구간의 특성을 이해할 수 있습니다.
(5)식의 f ( t ) f(t) f ( t )
( f ( t ) ⋅ e i r ω 0 t ) = ∫ 0 T f ( t ) e − i r ω 0 t d t = ∫ 0 T ( ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω 0 t ) e − i r ω 0 t d t = ∫ 0 T ( ∑ n = − ∞ ∞ c n e i ( n − r ) ω 0 t ) d t = ∫ 0 T ∑ n = − ∞ ∞ c n ( cos ( n − r ) ω 0 t + i sin ( n − r ) ω 0 t ) d t n = r 일때 , = ∫ 0 T c n d t = c n T n ≠ r 일때 , = ∫ 0 T ∑ n = − ∞ ∞ c n ( cos k ω 0 t + i sin k ω 0 t ) d t = 0 (6) \tag{6}
\begin{align}
\Big( f(t)\cdot e^{ir\omega_0 t} \Big) &= \int_0^T f(t) e^{-ir\omega_0 t} dt\\
&=\int_0^T \Big( \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{in\omega_0 t} \Big)e^{-ir\omega_0 t} dt\\
&=\int_0^{T} \Big(\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n e^{i(n-r) \omega_0 t}\Big) dt\\
&=\int_0^T \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \Big( \cos{(n-r)\omega_0 t +i\sin{(n-r)\omega_0 t\big)}} ~dt\\
\color{blue}n=r일때,\\
&{\color{blue} =\int_0^T c_n dt}\\
& \color{blue}=c_n T\\
\color{red}n\not= r일때, \\
&\color{red} =\int_0^T \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \Big(\cos k \omega_0t +i\sin k\omega_0 t\Big) ~dt\\
&\color{red}=0
\end{align} ( f ( t ) ⋅ e i r ω 0 t ) n = r 일때 , n = r 일때 , = ∫ 0 T f ( t ) e − i r ω 0 t d t = ∫ 0 T ( n = − ∞ ∑ ∞ c n e in ω 0 t ) e − i r ω 0 t d t = ∫ 0 T ( n = − ∞ ∑ ∞ c n e i ( n − r ) ω 0 t ) d t = ∫ 0 T n = − ∞ ∑ ∞ c n ( cos ( n − r ) ω 0 t + i sin ( n − r ) ω 0 t ) d t = ∫ 0 T c n d t = c n T = ∫ 0 T n = − ∞ ∑ ∞ c n ( c o s k ω 0 t + i s i n k ω 0 t ) d t = 0 ( 6 ) 결국 (6)식의 파랑색 수식과 같이 n n n r r r c n T c_n T c n T
반면에 빨강생 수식과 같이 n n n r r r n − r n-r n − r k k k sin \sin sin cos \cos cos n n n r r r f ( t ) f(t) f ( t ) e i r ω 0 t e^{ir\omega_0 t} e i r ω 0 t
결국 (6)식의 파랑색 수식 부분만을 활용하여 푸리에 계수 c n c_n c n
c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t (7) \tag{7}
\begin{align}
c_n = {{1}\over{T}}\int_0^T f(t)e^{-in\omega_0 t} dt
\end{align} c n = T 1 ∫ 0 T f ( t ) e − in ω 0 t d t ( 7 ) 푸리에 계수 c n c_n c n
(7)식에 따르면 c n c_n c n c n c_n c n
c n = a n − i b n ( n 이 양수인 경우 ) c n = a n + i b n ( n 이 음수인 경우 ) (8) \tag{8}
\begin{align}
c_n = a_n-ib_n~~~~(n이 ~양수인 ~경우)\\
c_n = a_n + ib_n~~~~(n이 ~음수인 ~경우)
\end{align} c n = a n − i b n ( n 이 양수인 경우 ) c n = a n + i b n ( n 이 음수인 경우 ) ( 8 ) 그런데(8)식에서 허수기호 앞의 부호가 서로 다른데요. 물론 수학적으로 저렇게 표현되는 이유를 증명할 수 있습니다만, 간단한 예를 들어 그 이유를 설명해 보겠습니다..
+ n +n + n
f ( t ) = ∑ n = 1 ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω o t ) = ∑ n = 1 ∞ ( ( a n − i b n ) ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) ) = ∑ n = 1 ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t + i a n sin n ω o t − i b n cos n ω 0 t ) (9) \tag{9}
\begin{align}
f(t) &= \sum_{n=1}^{\infty}c_n (\cos n \omega_0 t + i\sin n\omega_o t)\\
&=\sum_{n=1}^{\infty}\Big((a_n
- i b_n)(\cos n\omega_0 t + i \sin n \omega_0t)\Big)\\
&= \sum_{n=1}^{\infty}\Big(a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0t\\
~&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~+ia_n \sin n\omega_o t -i b_n \cos n\omega_0 t \Big)
\end{align} f ( t ) = n = 1 ∑ ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω o t ) = n = 1 ∑ ∞ ( ( a n − i b n ) ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) ) = n = 1 ∑ ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t + i a n sin n ω o t − i b n cos n ω 0 t ) ( 9 ) 이번에는 − n -n − n
f ( t ) = ∑ n = − 1 − ∞ c n ( cos ( − n ) ω 0 t + i sin ( − n ) ω o t ) = ∑ n = − 1 − ∞ ( ( a n + i b n ) ( cos n ω 0 t − i sin n ω 0 t ) ) = ∑ n = − 1 − ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t − i a n sin n ω o t + i b n cos n ω 0 t ) (10) \tag{10}
\begin{align}
f(t)&=\sum_{n=-1}^{-\infty}c_n (\cos (-n) \omega_0 t + i\sin (-n)\omega_o t)\\
&=\sum_{n=-1}^{-\infty}\Big((a_n + i b_n)(\cos n\omega_0 t - i \sin n \omega_0t)\Big)\\
&=\sum_{n=-1}^{-\infty}\Big(a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0t\\
&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~-ia_n \sin n\omega_o t +i b_n \cos n\omega_0 t \Big)
\end{align} f ( t ) = n = − 1 ∑ − ∞ c n ( cos ( − n ) ω 0 t + i sin ( − n ) ω o t ) = n = − 1 ∑ − ∞ ( ( a n + i b n ) ( cos n ω 0 t − i sin n ω 0 t ) ) = n = − 1 ∑ − ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t − i a n sin n ω o t + i b n cos n ω 0 t ) ( 10 ) 그러면 (9)식과 (10)식을 서로 합하면 n = 0 n=0 n = 0 n = − ∞ n=-\infty n = − ∞ ∞ \infty ∞ n = 0 n=0 n = 0 c 0 c_0 c 0
그리고 전개식에서 허수기호가 붙은 항들은 모두 무시하세요. 그래야 등호의 양쪽이 모두 실수함수가 되기 때문이에요.이 관계를 반영하여 (9)와 (10)식을 종합하여 정리하면 최종적으로 다음과 같이 표현할 수 있게 된 답니다.
f ( t ) = ∑ n = − ∞ ∞ c n e i n ω 0 t = c 0 + ∑ n = − ∞ ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) n = 0 제외 = c 0 + ∑ n = − ∞ ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ) n = 0 제외 (11) \tag{11}
\begin{align}
f(t) &= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n e^{in\omega_0 t}\\
&=c_0 +\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n \big( \cos{n \omega_0 t + i\sin{n\omega_0 t}} \big)_{n=0제외}\\
&=c_0+\sum_{n=-\infty}^{\infty} \big(a_n \cos n\omega_0 t + b_n \sin n\omega_0 t \big)_{n=0제외}
\end{align} f ( t ) = n = − ∞ ∑ ∞ c n e in ω 0 t = c 0 + n = − ∞ ∑ ∞ c n ( cos n ω 0 t + i sin n ω 0 t ) n = 0 제외 = c 0 + n = − ∞ ∑ ∞ ( a n cos n ω 0 t + b n sin n ω 0 t ) n = 0 제외 ( 11 ) (11)식의 가장 마지막 줄이 푸리에급수를 공부할 때 가장 많이 보게되는 식일 거에요. 다시 한번 더 말씀드리면 n = 0 n=0 n = 0 c 0 c_0 c 0 c n c_n c n a n a_n a n b n b_n b n
3. 푸리에 급수 예제 풀이 다음 예제를 풀어보죠.
[문제] T = 2 π T=2\pi T = 2 π
f ( t ) = { p − π 2 < t < π 2 0 π 2 < t < 3 π 2 (12) \tag{12}
f(t) = \begin{cases} p & -{{{\pi}\over{2}}< t < {{\pi}\over{2}}} \\ 0 & {{\pi}\over{2}} < t < {{3\pi}\over{2}} \end{cases}
f ( t ) = { p 0 − 2 π < t < 2 π 2 π < t < 2 3 π ( 12 ) [풀이] (7)식으로 푸리에 계수 c n c_n c n
이때 적분 구간을 − π 2 -{{\pi}\over{2}} − 2 π π 2 {{\pi}\over{2}} 2 π π 2 {{\pi}\over{2}} 2 π 3 π 2 {{3\pi}\over{2}} 2 3 π
제일 먼저 n = 0 n=0 n = 0
c 0 = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t = 1 2 π ∫ − π 2 π 2 p e − i ( 0 ) ω 0 t d t = p 2 π [ t ] − π 2 π 2 = p 2 (S-1) \tag {S-1}
\begin{align}
c_0 &= {{1}\over{T}} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega_0 t} dt\\
&={{1}\over{2\pi}}\int_{- {{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}}pe^{-i (0)\omega_0 t}dt\\
&={{p}\over{2\pi}}[t]_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}}\\
&={{p}\over{2}}
\end{align} c 0 = T 1 ∫ 0 T f ( t ) e − in ω 0 t d t = 2 π 1 ∫ − 2 π 2 π p e − i ( 0 ) ω 0 t d t = 2 π p [ t ] − 2 π 2 π = 2 p ( S-1 ) n = 0 n=0 n = 0
c n = 1 T ∫ 0 T f ( t ) e − i n ω 0 t d t = 1 2 π ∫ − π 2 π 2 p e − i n ω 0 t d t = p 2 π ∫ − π 2 π 2 ( cos ( n ω 0 t ) − i sin ( n ω 0 t ) ) d t = p 2 π ( ∫ − π 2 π 2 cos ( n ω 0 t ) d t − i ∫ − π 2 π 2 sin ( n ω 0 t ) d t ) = p 2 π ( [ 1 n ω 0 sin ( n ω 0 t ) ] − π 2 π 2 − i [ − 1 n ω 0 cos ( n ω 0 t ) ] − π 2 π 2 ) = p 2 n π ω 0 2 sin ( n π ω 0 2 ) + i p 2 n π ω 0 ( 0 ) = p n π ω 0 sin ( n π ω 0 2 ) = p n π ( 2 π / T ) sin ( n π ( 2 π / T ) 2 ) = p n π sin n π 2 (S-2) \tag{S-2}
\begin{align}
c_n &= {{1}\over{T}} \int_0^T f(t) e^{-i n \omega_0 t} dt\\
&= {{1}\over{2\pi}} \int_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}} p e^{-i n\omega_0 t} dt\\
&={{p}\over{2\pi}}\int_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}}\Big(\cos(n\omega_0 t)-i\sin(n\omega_0 t)\Big)dt\\
&={{p}\over{2\pi}}\Big( \int_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}} \cos(n\omega_0 t) dt - i\int_{-{\pi}\over{2}}^{{\pi}\over{2}}\sin(n\omega_0 t)dt \Big)\\
&={{p}\over{2\pi}}\Big(\Big[{{1}\over{n\omega_0}}\sin(n\omega_0 t)\Big]_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}} - i\Big[-{{1}\over{n\omega_0}}\cos(n\omega_0 t)\Big]_{-{{\pi}\over{2}}}^{{\pi}\over{2}}\Big)\\
&={{p}\over{2n\pi \omega_0}} 2\sin\big({{n\pi\omega_0}\over{2}}\big)+i{{p}\over{2n\pi\omega_0}}(0)\\
&={{p}\over{n\pi\omega_0}}\sin \big({{n\pi\omega_0}\over{2}}\big)\\
&={{p}\over{n\pi (2\pi/T)}}\sin\big( {{n\pi(2\pi/T)}\over{2}} \big)\\
&={{p}\over{n\pi}}\sin{{n\pi}\over{2}}
\end{align} c n = T 1 ∫ 0 T f ( t ) e − in ω 0 t d t = 2 π 1 ∫ − 2 π 2 π p e − in ω 0 t d t = 2 π p ∫ − 2 π 2 π ( cos ( n ω 0 t ) − i sin ( n ω 0 t ) ) d t = 2 π p ( ∫ − 2 π 2 π cos ( n ω 0 t ) d t − i ∫ 2 − π 2 π sin ( n ω 0 t ) d t ) = 2 π p ( [ n ω 0 1 sin ( n ω 0 t ) ] − 2 π 2 π − i [ − n ω 0 1 cos ( n ω 0 t ) ] − 2 π 2 π ) = 2 nπ ω 0 p 2 sin ( 2 nπ ω 0 ) + i 2 nπ ω 0 p ( 0 ) = nπ ω 0 p sin ( 2 nπ ω 0 ) = nπ ( 2 π / T ) p sin ( 2 nπ ( 2 π / T ) ) = nπ p sin 2 nπ ( S-2 ) 이때 위에서 말씀드렸습니다만 푸리에계수 c n c_n c n a n a_n a n b n b_n b n b n b_n b n
그래서 (S-2)식의 가장 마지막 답을 (11)식의 a n a_n a n
결국 문제에 주어진 주기함수의 푸리에 급수는 다음과 같이 쓸 수 있습니다.
f ( t ) = p 2 + ∑ n = − ∞ + ∞ ( p n π sin n π 2 cos n ω 0 t ) n = 0 제외 (S-3) \tag{S-3}
f(t) = {{p}\over{2}} + {\sum_{n=-\infty}^{+\infty}}\Big({{p}\over{n\pi}} \sin{{n\pi}\over{2}} \cos n\omega_0 t \Big)_{n=0제외} f ( t ) = 2 p + n = − ∞ ∑ + ∞ ( nπ p sin 2 nπ cos n ω 0 t ) n = 0 제외 ( S-3 ) 급수의 모양을 간결하게 보이기 위해 만일 p = 1 p=1 p = 1
f ( t ) = ⋯ − 1 3 π cos 3 ω 0 t + 0 + 1 π cos ω o t + 1 2 + 1 π cos ω o t + 0 − 1 3 π cos 3 ω 0 t + ⋯ = 1 2 + 2 π cos ω 0 t − 2 3 π cos 3 ω 0 t + ⋯ (S-4) \tag{S-4}
\begin{align}
f(t) &= \cdots - {{1}\over{3\pi}}\cos3 \omega_0 t +0+ {{1}\over{\pi}} \cos \omega_o t + {{1}\over{2}} + {{1}\over{\pi}} \cos \omega_o t+0 - {{1}\over{3\pi}}\cos3 \omega_0 t + \cdots\\
&={1 \over 2} + {2 \over \pi} \cos \omega_0 t -{{2}\over{3 \pi}}\cos 3\omega_0 t + \cdots
\end{align} f ( t ) = ⋯ − 3 π 1 cos 3 ω 0 t + 0 + π 1 cos ω o t + 2 1 + π 1 cos ω o t + 0 − 3 π 1 cos 3 ω 0 t + ⋯ = 2 1 + π 2 cos ω 0 t − 3 π 2 cos 3 ω 0 t + ⋯ ( S-4 ) 위 결과는 n = − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 n = − 3 , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 n = − 2 n=-2 n = − 2 n = 2 n=2 n = 2 n n n
이를 반영해서 (S-4)식의 마지막 줄을 (S-3)식의 형태로 다시 쓰면 다음과 같습니다. 이때 ∑ \sum ∑
f ( t ) = p 2 + ∑ n = 1 + ∞ ( 2 p n π sin n π 2 cos n ω 0 t ) (S-5) \tag{S-5}
f(t) = {{p}\over{2}} + {\sum_{n=1}^{+\infty}}\Big({{2p}\over{n\pi}} \sin{{n\pi}\over{2}} \cos n\omega_0 t \Big) f ( t ) = 2 p + n = 1 ∑ + ∞ ( nπ 2 p sin 2 nπ cos n ω 0 t ) ( S-5 )
지금까지 푸리에 급수 전개에 대한 원리와 기본 개념을 설명드렸습니다. 앞으로 몇 편에 걸쳐 푸리에 급수와 변환에 대한 글이 이어질 거에요. 참고하세요.
흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.
![[그림 1] <span class="katex-eq" data-katex-display="false">\sin</span>함수는 대표적인 주기함수이며, 주기 함수는 푸리에 급수 전개가 가능합니다.](https://ballpen.blog/wp-content/uploads/2022/04/Screen-Shot-2022-04-29-at-1.39.04-PM-1024x289.png)
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