함수의 미분 : 독립 및 종속 변수 미분

BallPen · 2024-12-01T16:33:20+09:00

함수의 미분 방법을 알아봐요. 함수가 독립변수 한개 또는 두개 이상에 의존할 수 도 있고, 아니면 함수가 종속변수에도 의존하는 경우가 있을 수 있어요. 자연과학이나 공학을 공부하다 보면 나올 수 있는 함수 유형들에 대한 미분법을 알아 봐요.

Last Updated on 2024-12-01 by BallPen

독립 및 종속 변수에 의존하는 다양한 함수의 미분 방법을 알아봐요.

함수의 미분 방법을 설명드립니다. 어떤 함수가 독립 및 종속 변수에 의존하는 경우 미분을 어떻게 하느냐에 관한 이야기에요.

예를 들어 독립변수를 $t$ 와 $x$ 라고 할 때 아래 함수들을 보면 독립변수에만 의존하는 경우도 있고 독립변수 뿐만아니라 종속변수에도 의존하는 경우도 있음을 알 수 있어요. 이 경우 어떻게 미분하면 될까요?

\begin{align*} s(t), ~y(t,x), ~F \big[s(t), y(t),t \big],~G\big[s(t,x),t,x\big] \end{align*}

자연과학이나 공학 등을 공부하다 보면 참으로 다양한 함수들을 미분하게 됩니다. 그때 이 글을 참고하면 좋을 것 같아요.

아래는 이번 글의 목차입니다.

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독립변수를 $t$ 와 $x$ 라고 할 때 아래의 함수들을 생각해봐요.

\tag{1-1} \begin{align*} s(t), ~y(t,x), ~F \big[s(t), y(t),t \big],~G\big[s(t,x),t,x\big] \end{align*}

앞에 있는 함수 $s$ 와 $y$ 는 독립변수 $t,~x$ 에만 의존하고, 함수 $F$ 와 $G$ 는 독립변수 $t,~x$ 뿐만 아니라 종속변수 $s,~y$ 에도 의존합니다.

먼저 독립변수에만 의존하는 함수의 미분법을 알아보고 그 다음에 독립변수와 종속변수에 의존하는 함수의 미분법을 살펴봐요.

(1-1)식에서 $s(t)$ 에 대한 미분입니다. 함수 $s$ 가 독립변수 $t$ 에 의존하는 가장 단순한 형태에요.

이 경우에는 다음과 같이 미분합니다.

\tag{1-2} \begin{align} ds = \Big({d s\over dt}\Big) dt \end{align}

함수 $s(t)=2t^2 +3t+2$ 를 미분하세요.

\tag{1-3} \begin{align} ds &= \Big[{d \over dt}{(2t^2 + 3t +2)}\Big] dt\\[10pt] &=(4t + 3)dt \end{align}

이번에는 (1-1)식의 $y(t,x)$ 에 대한 미분입니다. 종속변수 $y$ 가 독립변수 $t,~x$ 에 의존하므로 각 변수별로 편미분 후에 합해주면 됩니다.

\tag{1-4} \begin{align} dy = \Big({\partial y \over \partial t}\Big)dt + \Big({\partial y \over \partial x}\Big)dx \end{align}

함수 $y(t,x)= 2t^2 + 3x + 2$ 를 미분하세요.

\tag{1-5} \begin{align} dy &= \Big[{\partial \over{\partial t}}(2t^2 + 3x +2)\Big] dt + \Big[{\partial \over {\partial x}}(2t^2 + 3x +2)\Big] dx\\[10pt] &=4tdt + 3dx \end{align}

(1-1)식에서 $F\big[s(t),y(t), t\big]$ 에 대한 미분입니다. 종속변수 $s(t),~y(t)$ 가 모두 독립변수 $t$ 에 의존하고 있어요.

이 경우 각 종속변수와 독립변수에 대한 편미분을 한 후 모두 합해주면 됩니다.

\tag{1-6} \begin{align} dF &= \Big({{\partial F} \over{\partial s}}\Big) {\color{blue}ds} + \Big({{\partial F} \over{\partial y}}\Big){\color{blue}dy} + \Big({{\partial F} \over{\partial t}}\Big)dt\\[10pt] &=\Big({{\partial F} \over{\partial s}}\Big) {\color{blue}\Big({ds \over dt} \Big)dt} + \Big({{\partial F} \over{\partial y}}\Big) {\color{blue}\Big({dy \over dt}\Big) dt} + \Big({{\partial F} \over{\partial t}}\Big)dt\\[10pt] &=\Big[{{\partial F} \over{\partial s}} {ds \over dt} + {{\partial F} \over{\partial y}} {dy \over dt} + {{\partial F} \over{\partial t}}\Big]dt \end{align}

윗 식 첫번째 줄에서 $ds$ 와 $dy$ 는 독립변수 하나에만 의존하므로 (1-2)식의 미분을 적용한거에요.

함수 $F(s(t), y(t),t) = 3s+2y+t$ 를 미분하세요. 이때 $s=2t^2,~y=3t$ 입니다.

이 문제를 풀기위해서는 우선 (1-2)식을 적용하여 종속변수 $s(t)$ 와 $y(t)$ 의 미분을 먼저 구해야 합니다. 이를 구하면 아래와 같아요.

\tag{1-7} \begin{align} &ds =\Big[{{d}\over{dt}}(2t^2)\Big] dt= 4t dt\\[10pt] &dy=\Big[{{d}\over{dt}}(3t)\Big]dt=3dt \end{align}

이제 함수 $F$ 를 다음과 같이 미분하면 됩니다. 이때 바로 위에서 구한 미분을 대입해줍니다.

\tag{1-8} \begin{align} dF &= \Big({{\partial F}\over{\partial s}}\Big)ds + \Big({{\partial F}\over{\partial y}}\Big)dy + \Big({{\partial F}\over{\partial t}}\Big)dt\\[10pt] &=\Big[{{\partial}\over{\partial s}}(3s+2y+t)\Big]4tdt + \Big[{{\partial}\over{\partial y}}(3s+2y+t)\Big]3dt\\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~+\Big[{{\partial}\over{\partial t}}(3s+2y+t)\Big]dt\\[10pt] &=(3)4tdt + (2)3dt + (1)dt\\[10pt] &=(12t+7)dt \end{align}

이번에는 (1-1)식의 $G\big[s(t,x),t,x\big]$ 에 대한 미분입니다. 다소 복잡해 보이지만 앞에서의 미분 규칙을 그대로 적용하면 됩니다.

\tag{1-9} \begin{align} dG &= \Big({{\partial G} \over{\partial s}}\Big) {\color{blue}ds} + \Big({{\partial G} \over{\partial t}}\Big)dt + \Big({{\partial G} \over{\partial x}}\Big)dx\\[10pt] &=\Big({{\partial G}\over{\partial s}}\Big) {\color{blue}\Big[\Big({{\partial s}\over{\partial t}}\Big)dt+\Big({{\partial s}\over{\partial x}}\Big) dx\Big]} + \Big({{\partial G} \over{\partial t}}\Big)dt + \Big({{\partial G} \over{\partial x}}\Big)dx\\[10pt] &=\Big({{\partial G}\over{\partial s}}{{\partial s}\over{\partial t}} + {{\partial G}\over{\partial t}}\Big)dt + \Big({{\partial G}\over{\partial s}} {{\partial s}\over{\partial x}}+{{\partial G}\over{\partial x}}\Big)dx \end{align}

함수 $G(s(t,x), t, x) = 3s+2t+4x$ 를 미분하세요. 이때 $s=3t^2 + x$ 입니다.

이 문제를 풀기위해서는 우선 (1-4)식을 적용하여 종속변수 $s(t,x)$ 의 미분을 먼저 구해야 합니다. 이를 구하면 아래와 같아요.

\tag{1-10} \begin{align} ds &= \Big({\partial s \over \partial t}\Big)dt + \Big({\partial s \over \partial x}\Big)dx\\[10pt] &=\Big[{{\partial}\over{\partial t}}(3t^2 + x)\Big]dt + \Big[{{\partial}\over{\partial x}}(3t^3 + x)\Big] dx\\[10pt] &=6tdt + dx \end{align}

이제 함수 $G$ 를 미분하면 됩니다. 이때 바로 위에서 구한 $ds$ 를 대입하세요.

\tag{1-11} \begin{align} dG &= \Big({{\partial G} \over{\partial s}}\Big) ds + \Big({{\partial G} \over{\partial t}}\Big)dt + \Big({{\partial G} \over{\partial x}}\Big)dx\\[10pt] &=\Big[{{\partial}\over{\partial s}}(3s+2t+4x)\Big](6tdt + dx) + \Big[{{\partial}\over{\partial t}}(3s+2t+4x)\Big]dt \\[10pt] &~~~~~~~~~~~~~~~+ \Big[{{\partial}\over{\partial x}}(3s+2t+4x)\Big]dx\\[10pt] &=(3)(6tdt + dx) +(2)dt + (4)dx\\[10pt] &=18tdt + 2dt+7dx\\[10pt] &=(18t + 2)dt + 7dx \end{align}

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