Last Updated on 2025-08-28 by BallPen
역제곱 중심력이 작용할 때 행성 궤도가 갖는 에너지를 구해 봐요.
행성 궤도의 에너지 크기는 행성이 타원궤도를 갖는지 아니면 포물선궤도나 쌍곡선궤도를 갖는지에 따라 달라집니다.
그리고 행성 궤도를 알기 위해서는 이심율 \epsilon을 구해야 하는데요. 이심율은 행성의 궤도 방정식으로도 구할 수 있지만 이 글에서 소개하는 궤도의 에너지 방정식을 통해 구할 수도 있어요.
궤도의 에너지 방정식은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{D1}
{1 \over 2}ml^2 \Big[ \Big( {{du}\over{d \theta}}\Big)^2 + u^2\Big] + V(u^{-1}) = E
\end{align}여기서 m은 행성의 질량, l은 행성의 단위질량당 각운동량, \theta는 공전 각도, u는 태양으로부터 행성까지 거리의 역수, V(u^{-1})은 위치에너지, 마지막으로 E는 행성이 갖는 총에너지입니다.
위 식을 풀면 궤도식과 이심율을 구할 수 있는데요. 그러면 궤도에 따른 에너지의 크기 조건을 구할 수 있습니다. 결과를 요약하면 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{D2}
&E<0~이면~~\epsilon<1~~~\rightarrow~~~닫힌~궤도(타원,~~원)\\[8pt]
&E=0~이면~~\epsilon=1~~~\rightarrow~~~ 열린 ~궤도(포물선)\\[8pt]
&E>0~이면~~\epsilon>1~~~\rightarrow~~~열린~궤도(쌍곡선)
\end{aligned}더 구체적인 내용은 아래 본문에서 설명드릴게요. 아래는 이번 글의 목차에요.
Contents
1. (복습)궤도 방정식으로 구한 이심율
지난 글에서 뉴턴의 운동 제2법칙에 중심력을 적용하여 입자의 궤도 방정식을 만든 후, 그 방정식에 역제곱 중심력을 대입하면 행성의 궤도식을 도출할 수 있었어요.
구해진 궤도식은 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{1-1}
r = {{ml^2/k}\over{1+{\color{blue}(Aml^2 /k)} \cos \theta}}
\end{aligned}그리고 윗 식의 분모에 있는 파랑색 수식을 행성의 이심율 \epsilon으로 정의했습니다. 즉, 이심율은 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{1-2}
\epsilon= {{Aml^2}\over{k}}
\end{align}여기서 A는 상수이고, k는 GMm으로서 만유인력상수와 태양 질량과 행성 질량을 모두 곱한 양입니다.
이때 이심율이 𝜖=0이면 원, 0<𝜖<1이면 타원, 𝜖=1이면 포물선, 𝜖>1이면 쌍곡선 궤도가 만들어지게 됩니다.
이 글에서는 궤도의 에너지 방정식을 만들고 이 방정식을 풀어 (1-2)식과 다른 형태를 갖는 이심율을 구할 거에요. 그러면 (1-2)식에서 상수 A 속에 숨겨진 에너지에 관한 정보를 알게 됩니다.
2. 궤도의 에너지 방정식 유도
행성 궤도의 에너지 방정식은 아래에 주어진 역학적 에너지 보존 법칙부터 시작합니다. 즉, 행성의 운동에너지와 위치에너지의 합이 총 에너지 E로 일정하게 유지된다는 개념이죠.
\begin{align}
\tag{2-1}
{1 \over 2} mv^2 + V(r) = E
\end{align}여기서 m은 행성의 질량, v는 행성의 공전 속도, V(r)은 행성의 위치에너지이고, E는 총에너지를 뜻합니다.
행성은 태양을 하나의 초점으로 하는 평면상의 타원궤도를 갖고 공전하므로 극좌표계에서 운동을 다루는게 편리해요. 그래서 위 (2-1)식의 v^2에 극좌표계의 속도 공식을 적용해 봐요.
v^2=\vec v \cdot \vec v로 쓸 수 있으므로 정리하면 아래와 같습니다.
\begin{aligned}
\tag{2-2}
v^2&=\vec v \cdot \vec v \\[8pt]
&= (\dot r \hat{e_r} + r \dot \theta \hat{e_\theta})\cdot (\dot r \hat{e_r} + r \dot \theta \hat{e_\theta})\\[8pt]
&={\dot r} \dot r(\hat{e_r} \cdot {\hat {e_r}}) + \dot r r \dot \theta(\cancel{\hat{e_r} \cdot {\hat{e_\theta}}})+r\dot \theta \dot r (\cancel{{\hat {e_\theta }} \cdot \hat{e_r}}) + r \dot \theta r \dot \theta({\hat e_\theta} \cdot {\hat e_\theta}) \\[8pt]
&={\dot r}^2 + r^2 {\dot \theta}^2
\end{aligned}위 식의 세번째 줄에서 네번째 줄로 넘어갈 때 빗금친 항목처럼 서로 수직한 단위벡터끼리의 내적은 0이고 평행한 단위벡터끼리의 곱은 1이 되는 내적 규칙이 적용되었어요.
그럼 (2-2)식을 (2-1)식에 대입하면 아래의 (2-3)식이 됩니다.
\begin{align}
\tag{2-3}
{1 \over 2} m({\dot r}^2 + r^2 {\dot \theta}^2) + V(r) = E
\end{align}[식의 변형]
(2-3)식을 통해 궤도식 \(r(\theta)\)를 구하기 위해 식을 변형하도록 하겠습니다. 우선 r의 역수인 u를 정의하겠습니다.
\begin{align}
\tag{2-4}
r={1 \over u} = u^{-1}
\end{align}그리고 위 식의 r을 시간으로 미분해봐요. 왜냐면 (2-3)식에 \dot r이 있기 때문인에 그곳에 대입하려는 거에요. 그리고 독립변수를 t에서 \theta로 바꾸도록 해요.
\begin{aligned}
\tag{2-5}
\dot r &= (-1)u^{-2} {{du}\over{dt}}\\[10pt]
&=- {1 \over {u^2}} {{du}\over{d\theta}}{{d \theta}\over{dt}}\\[10pt]
&=- {\color{blue}{{1 \over {u^2}}{\dot \theta}}} {{du}\over{d\theta}}
\end{aligned}한편 행성의 단위질량당 각운동량은 l=L/m= r^2 \dot \theta이므로 다음과 같이 표현을 바꿀 수 있어요.
\begin{aligned}
\tag{2-6}
l={L \over m} &= r^2 \dot \theta\\[10pt]
&={1 \over u^2} \dot \theta \\[10pt]
&= {r \over u} \dot \theta
\end{aligned}그런데 윗 식의 두번째 줄을 잘 보면 (2-5)식 마지막 줄의 파랑색 부분과 같다는 것을 알 수 있어요. 그래서 (2-5)식을 다시 쓰면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{2-7}
\dot r = - {1 \over u^2} \dot \theta {{du}\over{d \theta}}=-l{{du}\over{d \theta}}
\end{align}[에너지 방정식 유도]
그럼 이제 (2-7)식과 (2-6)식 마지막 줄의 ul=r \dot \theta의 관계를 (2-3)식에 대입해 정리해 봐요.
그러면 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{2-8}
{1 \over 2} m({\dot r}^2 + r^2 {\dot \theta}^2) + V(r) = E\\[10pt]
{1 \over 2} m\Big[l^2 \Big( {{du}\over{d\theta}}\Big)^2 + (ul)^2 \Big] + V(u^{-1}) = E
\end{aligned}마지막으로 윗 식을 다시 한번 더 정리하면 다음과 같습니다.
\begin{align}
\tag{2-9}
{1 \over 2} ml^2\Big[\Big( {{du}\over{d\theta}}\Big)^2 + u^2 \Big] + V(u^{-1}) = E
\end{align}윗 식을 궤도의 에너지 방정식(Energy equation of the orbit)이라고 부릅니다.
이 미분방정식에 위치에너지를 대입하고 풀면 u(\theta)를 구할 수 있어요. 그리고 (2-4)식으로 r의 함수로 바꾸면 궤도식 r(\theta)를 구할 수 있게 됩니다.
3. 역제곱 힘의 위치에너지를 통한 궤도의 에너지 방정식 풀이
3-1. 역제곱 힘의 위치에너지
(2-9)식의 미분방정식을 풀기 위해서는 위치에너지 V(r)를 결정해야 합니다.
태양계는 제곱형 중심력인 만유인력에 의해 유지되므로, 힘 F가 r에만 의존하고 \theta와는 무관하므로 아래의 식이 성립합니다.
\begin{align}
\tag{3-1}
F(r) = - {{dV}\over{dr}}
\end{align}위 식은 만유인력이 보존력이기 때문에 위치에너지가 존재할 수 있는거에요. 윗 식의 양변을 변수분리하면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{3-2}
dV = - F(r)dr
\end{align}이제 양변을 적분합니다. 그리고 만유인력도 대입하세요. 아래에서 k는 GMm을 뜻합니다.
\begin{aligned}
\tag{3-3}
\int dV &= - \int F(r)dr\\[10pt]
&=- \int -{{k}\over{r^2}}dr
\end{aligned}결국 윗 식으로부터 위치에너지 V(r)을 구하면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{3-4}
V(r) = -{{k}\over{r}}
\end{align}이 위치에너지는 역제곱 힘인 만유인력으로부터 도출했다는 의미에서 역제곱 힘의 위치에너지라고 부릅니다. 그리고 식을 잘 보면 이전 글에서 유도했던 높이에 따른 위치에너지식과도 일치함을 알 수 있어요.
3-2. 궤도의 에너지 방정식 풀이 : 궤도식 구하기
이렇게 해서 만유인력으로부터 역제곱 힘의 위치에너지 V(r)을 구했으니 이를 V(u^{-1})로 변환합니다.
\begin{align}
\tag{3-5}
V(r) = V(u^{-1}) = -{{k}\over{r}} = -ku
\end{align}그리고 위 위치에너지를 (2-9)식에 대입하면 아래와 같습니다. 그리고 계속 정리해 나갑니다.
\begin{aligned}
\tag{3-6}
&{1 \over 2} ml^2\Big[\Big( {{du}\over{d\theta}}\Big)^2 + u^2 \Big] -ku = E\\[10pt]
&\Big( {{du}\over{d \theta}}\big)^2 + u^2 = {{2(E+ku)}\over{ml^2}}\\[10pt]
&{{du}\over{d\theta}} = \sqrt{{{2E}\over{ml^2}}+{{2ku}\over{ml^2}}-u^2}\\[10pt]
&d\theta = \Big( {{2E}\over{ml^2}}+ {{2ku}\over{ml^2}} - u^2 \Big)^{-{1 \over 2}}du
\end{aligned}이제 윗 식 마지막 줄의 양변을 적분하면 u를 구할 수 있게 되는데요. 적분 기호를 넣어 다시 쓰면 아래와 같아요.
\begin{align}
\tag{3-7}
\int d \theta = \int {1 \over{\sqrt{-u^2 + {{2k}\over{ml^2}}u + {{2E}\over{ml^2}}}}}du
\end{align}위 적분의 구체적인 풀이 과정은 이전 글을 참고해 주시기 바랍니다.
일단 위 식에서 a=-1, b=2k/ml^2, c=2E/ml^2로 치환한다면 (3-7)식의 해는 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{3-8}
\theta - \theta_0 = {1 \over{\sqrt{-a}}} \cos^{-1} \Big( - {{b+2au}\over{\sqrt{b^2 - 4ac}}}\Big)
\end{align}여기서 \theta_0는 적분 상수를 의미합니다. (3-8)식을 더 정리하면 다음과 같죠.
\begin{align}
\tag{3-9}
\cos\Big(\sqrt{-a}\big(\theta-\theta_0\big)\Big) = - {{b+2au}\over{\sqrt{b^2 - 4ac}}}
\end{align}그리고 윗 식을 u에 대해 정리한 후, 치환하기 전의 원래 식을 대입합니다.
\begin{aligned}
\tag{3-10}
u &= {1 \over 2a} \Big( - \sqrt{b^2 - 4ac} \cos \Big(\sqrt{-a} (\theta-\theta_0 )\Big) - b\Big)\\[10pt]
&={1 \over 2} \Big(\sqrt{{{4k^2}\over{m^2l^4}}+{{8E}\over{ml^2}}}\cos(\theta-\theta_0) + {{2k}\over{ml^2}}\Big)\\[10pt]
&={1 \over 2} \Big({{2k}\over{ml^2}} \sqrt{1+{{m^2l^4}\over{4k^2}}{{8E}\over{ml^2}}} \cos (\theta-\theta_0) + {{2k}\over{ml^2}}\Big)\\[10pt]
&={{k}\over{ml^2}}\Big(\sqrt{1+{{ml^2 2E}\over{k^2}}} \cos(\theta-\theta_0) + 1\Big)
\end{aligned}이제 윗 식을 (2-4)식에 따라 역수를 취하면 궤도식 r이 됩니다. 이때 초기 공전각도는 \theta_0=0으로 간주하겠습니다.
\begin{align}
\tag{3-11}
r={{ml^2/k}\over{1+{\color{red}\sqrt{1+{{2ml^2E}\over{k^2}}}}\cos\theta}}
\end{align}바로 윗 식이 궤도의 에너지 방정식 (2-9)식을 풀어 구한 궤도식이에요. 즉, 이 식은 (1-1)식과 같아야 한다는 의미입니다.
3-3. 궤도의 이심율
그럼 (1-1)식과 (3-11)식을 서로 비교해 봐요. 다른 모든 요소는 같지만 (3-11)식에서 빨강색으로 표현된 부분만 다르다는 것을 알 수 있어요.
그런데 빨강색으로 표현된 부분이 바로 이심율을 의미하잖아요. 그런데 식에 에너지 E가 포함되어 있어 더 구체적임을 알 수 있습니다..
(3-11)식에서 이심율 만을 다시 쓰면 다음과 같아요.
\begin{align}
\tag{3-12}
\epsilon = \sqrt{1+{{2Eml^2}\over{k^2}}}
\end{align}4. 행성 궤도의 에너지
이제 이 글에서 알고 싶은 행성 궤도가 갖는 에너지의 조건을 알아 봐요.
앞서 언급했듯이 이심율이 어떤 값을 갖느냐에 따라 행성의 궤도가 결정되는데요.
이심율이 𝜖=0이면 원, 0<𝜖<1이면 타원, 𝜖=1이면 포물선, 𝜖>1이면 쌍곡선 궤도가 만들어지게 됩니다.
이 관계를 (3-12)식에 반영하면 이심율 \epsilon과 행성궤도에 따른 에너지 E의 크기 조건을 알 수 있어요.
우선 (3-12)식의 근호안에 있는 물리량들을 보면 행성의 질량 m은 양수에요. 그리고 단위질량당 각운동량 l은 제곱으로 주어지므로 이것도 양수에요. 또한 k도 제곱으로 주어지므로 양수임이 자명해요.
따라서, E<0의 조건을 가지면 이심율 \epsilon<1의 조건이 성립함을 알 수 있어요. 그러므로 이 경우 행성은 타원 또는 원으로 주어지는 닫힌궤도로 돌게 됩니다.
같은 방식으로 E=0의 조건을 가지면 이심율 \epsilon=1의 조건이 성립해요. 따라서 이 경우 행성은 포물선 궤도인 열린궤도를 갖게 됩니다.
마지막으로 E>0의 조건을 가지면 이심율 \epsilon>1의 조건이 성립하겠죠. 그러므로 이 경우 행성은 쌍곡선의 열린궤도를 갖게 됩니다.
정리하면 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{4-1}
&E<0~이면~~\epsilon<1~~~\rightarrow~~~닫힌~궤도(타원,~~원)\\[8pt]
&E=0~이면~~\epsilon=1~~~\rightarrow~~~ 열린 ~궤도(포물선)\\[8pt]
&E>0~이면~~\epsilon>1~~~\rightarrow~~~열린~궤도(쌍곡선)
\end{aligned}그렇다면 이번에는 행성의 총 역학적에너지가 일정할 때 운동에너지가 클지 아니면 위치에너지가 클지도 생각해봐요.
E=T+V이고 역제곱 힘의 위치에너지 V는 (3-4)식처럼 음수에요.
그래서 닫힌 궤도의 경우 E<0의 조건이 성립하기 위해서는 운동에너지 T보다 위치에너지 V의 크기가 더 커야 함을 알수 있어요.
그리고 열린 궤도의 경우 E\geq 0이 성립하기 위해서는 위치에너지 V보다 운동에너지 T가 크거나 같아야 합니다.
이 관계를 정리하면 다음과 같아요.
\begin{aligned}
\tag{4-2}
&닫힌~궤도(타원, 원) ~~~\rightarrow ~~~ T < |V|\\[10pt]
&열린~궤도(포물선, ~쌍곡선)~~~\rightarrow ~~~T \geq |V|
\end{aligned}
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