미분방정식 예제1 : -ydx + xdy =0

Last Updated on 2024-01-06 by BallPen

주어진 미분방정식을 풀어 보세요.

아래의 미분방정식을 풀어보세요.

\tag{1} \bold{-ydx + xdy =0}

이 미분방정식은 두개의 풀이법을 적용할 수 있어요. 하나는 변수분리형 미분방정식 풀이법을 적용할 수 있고, 다른 하나는 불완전미분방정식 풀이법을 적용할 수 있습니다.

아래는 이번 글의 목차입니다.

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주어진 문제의 변수를 $x$ 와 $y$ 로 분리해 보세요. 그러면 아래와 같습니다.

\tag{2} \begin{align} ydx &= xdy\\ \end{align}

\tag{3} {1 \over x} dx = {1 \over y} dy

(3)식의 양변을 적분해보세요.

\tag{4} \ln x+\ln c_1 = \ln y + \ln c_2

(4)식에서 $c_1$ 과 $c_2$ 는 상수입니다. 이 식을 더욱 정리해봐요. 그리고 로그의 성질을 활용하면 아래 (5)식과 같이 표현할 수 있습니다.

\tag{5} \begin{align} &\ln x = \ln y + (\ln c_2 - \ln c_1)\\ &\ln x = \ln y + \ln c\\ &\ln x = \ln (cy) \end{align}

여기서도 $c$ 는 상수입니다. 마지막으로 (5)식을 다시 한번 더 정리하면 다음의 일반해가 도출됩니다.

\tag{6} x=cy

(1)식에 주어진 미분방정식은 불완전미분방정식입니다. 이때 적분인자 $1/x^2$ 를 양변에 곱해주면 완전미분방정식이 돼요.

이때 적분인자를 어떻게 구하는지는 불완전미분방정식 풀이법에 대한 글을 참고하기 바랍니다.

적분인자를 (1)식의 양변에 곱하면 아래의 식이 됩니다.

\tag{7} -\Big({1 \over x^2}\Big )ydx + \Big({1 \over x^2}\Big)xdy = \Big({1 \over x^2}\Big)0\\

\tag{8} -{y \over x^2}dx + {1 \over x}dy =0

이제 (8)식에 완전미분방정식 풀이법을 순서대로 적용하면 됩니다.

우선 아래의 관계가 성립함을 우리는 알고 있습니다.

\tag{9} {\partial f(x,y) \over \partial x} = -{y \over x^2}

(9)식을 정리하면 아래의 관계가 성립합니다.

\tag{10} df(x,y) = - {y \over x^2} dx

(10)식의 양변을 적분해서 $f(x,y)=c_1$ 을 구합니다.

\tag{11} \begin{align} \int df(x,y) = -\int {y \over x^2} dx\\ \end{align}

\tag{12} f(x,y) = {y \over x} + k(y) = c_1

(12)식에서 $k(y)$ 는 $y$ 만의 함수를 뜻합니다.

이번에는 아래 (13)식의 관계를 이용해요.

\tag{13} {\partial f(x,y) \over \partial y} = {1 \over x}

(12)식의 $f(x,y)$ 를 (13)식에 대입하면 아래와 같이 됩니다.

\tag{14} \begin{align} {\partial \over \partial y}\Big( {{y \over x} + k(y)\Big)} = {1 \over x}\\ \cancel{1 \over x} + {{dk(y) \over {dy}}} = \cancel{1 \over x}\\ {{dk(y)\over d y}} = 0\\ \end{align}

(14)식의 마지막 줄이 성립하기 위해서는 $k(y)$ 는 상수가 되어야 합니다.

\tag{15} k(y) = c_2

이제 마지막 절차로서 (15)식의 $k(y)$ 를 (12)식에 대입하고 정리합니다.

\tag{16} \begin{align} f(x,y) = &{y \over x} + k(y) = c_1\\ &{y \over x} + c_2 = c_1\\ &{y \over x} = (c_1 - c_2)\\ &{y \over x} = c_3\\ \end{align}

(16)식의 마지막줄을 최종적으로 다시 한번 더 정리해 봅니다.

\tag{17} x = {y \over c_3} =cy

불완전미분방정식 풀이법으로 구한 (17)식의 일반해는 변수분리형 미분방정식 풀이법으로 구한 (6)식의 해와 동일합니다.

흥미롭고 도움이 되는 글이었나요? 리뷰를 부탁드립니다.

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