Last Updated on 2025-01-29 by BallPen
1계 1차 비선형 미분방정식을 선형 미분방정식으로 변환하여 해를 구하는 방법을 알아 봐요.
1계 1차 비선형 미분방정식 중 일반해를 구하는 방법이 알려진 경우가 있어요. 대표적인 경우가 베르누이 미분 방정식(Bernulli differential equation)입니다.
베르누이 미분방정식의 해를 구하기 위해서는 비선형 미분방정식을 선형 미분방정식으로 변환한 후 풀면 되는데요.
이에 대해 상세히 알아 봐요. 아래는 이번 글의 목차입니다.
1. 1계 1차 선형 미분방정식 복습
1계 1차 선형 미분방정식의 표준 형태는 다음과 같아요.
dxdy+p(x)y=r(x)(1-1)
그리고 윗 식에서 r(x)=0인 경우 제차형 1계 1차 선형 미분방정식, r(x)=0인 경우 비제차형 1계 1차 선형 미분방정식이라고 합니다.
제차형 1계 1차 선형 미분방정식의 일반해는 다음과 같아요.
y=ce−∫p(x)dx(1-2)
그리고 비제차형 1계 1차 선형 미분방정식의 일반해는 다음 식과 같죠.
y=e−∫p(x)dx[∫e∫p(x)dxr(x)dx+c](1-3)
2. 1계 1차 비선형 미분방정식 풀이 방법
1계 1차 비선형 미분방정식 중 베르누이 미분방정식은 일반해를 구하는 방법이 알려져 있어요. 베르누이 미분방정식의 기본 형태는 다음과 같아요.
dxdy+p(x)y=f(x)yn(2-1)
그리고 이 식이 비선형인 이유는 종속변수가 yn으로 주어져 있기 때문이에요.
결국 1계 1차 선형 미분방정식과는 다른 형태이기 때문에 (1-2)식 또는 (1-3)식의 일반해 공식으로 해를 구할 수 없습니다.
하지만 (2-1)식을 약간 변형하면 선형 미분방정식으로 바꿀 수 있게 되는데요. 이에 대해 더 알아봐요.
2-1. 선형 미분방정식으로의 변환과 풀이
(2-1)식의 우변에 있는 yn의 역수를 식의 양변에 곱해주면 다음과 같을 거에요.
yn1dxdy+yn1p(x)y=f(x)(2-2)
그리고 윗 식을 더 정리하면 다음과 같죠.
yn1dxdy+yn−11p(x)=f(x)(2-3)
이제 치환을 할 건데요. 윗 식 중간에 있는 yn−11을 u로 치환한 후 다음과 같이 양변을 독립변수 x에 대한 도함수를 구하면 다음과 같아요.
yn−11=u
y1−n=u
dxdy1−n=dxdu
dydy1−ndxdy=dxdu
(1−n)y−ndxdy=dxdu
yn1dxdy=1−n1u′
그런데 바로 윗 식의 좌변을 보면 (2-3)식의 가장 좌변항과 같은 모양이라는 것을 알 수 있어요. 그래서 (2-3)식에 바로 윗식을 대입하면 다음과 같습니다.
1−nu′+p(x)u=f(x)(2-4)
그리고 윗식을 다음과 같이 또 한번 정리할 수 있어요.
u′+(1−n)p(x)u=(1−n)f(x)(2-5)
윗 식을 조금 더 익숙한 형태로 바꾸면 다음과 같아요.
dxdu+(1−n)p(x)u=(1−n)f(x)(2-6)
이렇게 하고 났더니 윗 식을 잘 보시면 1계 1차 선형 미분방정식으로 변환되었음을 알 수 있어요. 즉 (1-1)식과 같은 형태가 되었다는 뜻이에요. 다만 y가 u로 바뀐 것만 달라요.
이제 (1-3)식으로 u에 대한 일반해를 구한 후 y로 바꾸어 정리하면 되는 거에요.
예제를 하나 풀어보겠습니다.
2-2. 예제
다음 (2-7)식에 미분방정식이 있어요. 이 미분방정식을 풀어 보세요.
2xydxdy+2y2=3x−6(2-7)
일단 윗 식을 정리해서 (2-1)식의 베르누이 미분방정식과 같은 형태가 되는지 알아봐요.
dxdy+2xy2y2=2xy3x−6(2-8)
dxdy+x1y=(23−2x6)y1(2-9)
그 결과 (2-9)식을 보면 (2-1)식의 베르누이 비선형 미분방정식과 형태가 같다는 것을 알 수 있어요. 이때 1/y는 y−1로 보시면 됩니다.
이제 (2-9)식을 선형 미분방정식으로 바꾸면 되는데요. 일단 양변에 (2-9)식의 가장 오른쪽에 있는 y−1의 역수인 y를 곱해주세요.
ydxdy+x1y2=(23−2x6)(2-10)
그리고 나중에 아래에서 필요해서 그런데요. 윗 식의 양변에 2를 곱해두도록 하겠습니다.
2ydxdy+x2y2=2(23−2x6)(2-11)
그리고 윗 식 중간에 있는 y2을 u로 치환하고 독립변수 x에 대한 도함수를 구하세요. 다음과 같이요.
y2=u
dxdy2=dxdu
dydy2dxdy=dxdu
2ydxdy=dxdu
그 결과 윗 식의 좌변을 보면 (2-11)식의 가장 좌변항과 그 형태가 같다는 것을 알 수 있어요. 그러므로 윗 식을 (2-11)식에 대입하고 정리하면 다음과 같이 되죠.
dxdu+x2u=(26−x6)(2-12)
그 결과 윗 식은 (1-1)식 형태의 선형 미분방정식으로 바뀌었음을 알 수 있어요. 이제 (1-3)식을 적용해서 u를 구하면 됩니다.
u=e−∫x2dx[∫e∫x2dx(26−x6)dx+c]=e−2lnx[∫e2lnx(26−x6)dx+c]=x−2[∫x2(26−x6)dx+c]=x−2[∫3x2dx−∫6xdx+c]=x−2(x3−3x2+c)=x−3+x−2c(2-13)
이때 y2=u이므로 y2은 다음과 같아요.
y2=x−3+x−2c(2-14)
바로 윗 식의 y가 (2-7)식에 주어진 1계 1차 비선형 미분방정식의 일반해입니다.
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